图形的相似21图形的相似限时:30分钟夯实基础1.如图K21-1,两个等边三角形、两个矩形、两个正方形、两个菱形各成一组,每组中的一个图形在另一个图形的内部,对应边平行,且对应边之间的距离都相等,那么两个图形不相似的一组是( )图K21-12.如图K21-2,已知直线a∥b∥c,直线m,n与a,b,c分别交于点A,C,E和点B,D,F.若AC=4,CE=6,BD=3,则DF的值是( )图K21-2A.4B.4.5C.5D.5.53.如图K21-3,点F在▱ABCD的边AB上,射线CF交DA的延长线于点E.在不添加辅助线的情况下,与△AEF相似的三角形有( )图K21-3A.0个B.1个C.2个D.3个4.[2022·自贡]如图K21-4,在△ABC中,D,E分别是AB,AC的中点.若△ADE的面积为4,则△ABC的面积为( )10\n图K21-4A.8B.12C.14D.165.[2022·潍坊]在平面直角坐标系中,点P(m,n)是线段AB上一点,以原点O为位似中心把△AOB放大到原来的2倍,则点P的对应点的坐标为( )A.(2m,2n) B.(2m,2n)或(-2m,-2n)C.12m,12n D.12m,12n或-12m,-12n6.如图K21-5,为了估计河的宽度,在河的对岸选定一个目标点A,在近岸取点B,C,D,E,使点A,B,D在一条直线上,且AD⊥DE,点A,C,E也在一条直线上,且DE∥BC.如果BC=24m,BD=12m,DE=40m,那么河的宽度AB约为( )图K21-5A.20mB.18mC.28mD.30m7.[2022·邵阳]已知a6=b5=c4,且a+b-2c=6.则a的值为 . 图K21-68.如图K21-6,已知零件的外径为30mm,现用一个交叉卡钳(两条尺长AC和BD相等,OC=OD)测量零件的内孔直径AB.若OC∶OA=1∶2,且量得CD=12mm,则零件的厚度x= mm. 10\n9.如图K21-7,在▱ABCD中,点E在边BC上,点F在边AD的延长线上,且DF=BE,EF与CD交于点G.(1)求证:BD∥EF;(2)若DGGC=23,BE=4,求EC的长.图K21-710.[2022·陕西]周末,小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽.测量时,他们选择了河对岸岸边的一棵大树,将其底部作为点A,在他们所在的岸边选择了点B,使得AB与河岸垂直,并在B点竖起标杆BC,再在AB的延长线上选择点D,竖起标杆DE,使得点E与点C,A共线.已知CB⊥AD,ED⊥AD,测得BC=1m,DE=1.5m,BD=8.5m.测量示意图如图K21-8所示.请根据相关测量信息,求河宽AB.图K21-810\n能力提升11.[2022·达州]如图K21-9,E,F是平行四边形ABCD对角线AC上两点,AE=CF=14AC,连接DE,DF并延长,分别交AB,BC于点G,H,连接GH,则S△ADGS△BGH的值为( )图K21-9A.12B.23C.34D.112.[2022·随州]在△ABC中,AB=6,AC=5,点D在边AB上,且AD=2,点E在边AC上,当AE= 时,以A,D,E为顶点的三角形与△ABC相似. 13.[2022·盐城]如图K21-10,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,P,Q分别为边BC,AB上的两个动点.若要使△APQ是等腰三角形且△BPQ是直角三角形,则AQ= . 图K21-1014.一块材料的形状是锐角三角形ABC,边BC=120mm,高AD=80mm,把它加工成正方形零件如图K21-11①,使正方形的一边在BC上,其余两个顶点分别在AB,AC上.(1)求证:△AEF∽△ABC;(2)求这个正方形零件的边长;(3)如果把它加工成矩形零件(如图②),那么这个矩形的最大面积是多少?10\n图K21-11拓展练习15.[2022·淮安]如果三角形的两个内角α与β满足2α+β=90°,那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”.(1)若△ABC是“准互余三角形”,∠C>90°,∠A=60°,则∠B= . (2)如图K21-12①,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=5.若AD是∠BAC的平分线,不难证明△ABD是“准互余三角形”.试问在边BC上是否存在点E(异于点D),使得△ABE也是“准互余三角形”?若存在,请求出BE的长;若不存在,请说明理由.(3)如图②,在四边形ABCD中,AB=7,CD=12,BD⊥CD,∠ABD=2∠BCD,且△ABC是“准互余三角形”,求对角线AC的长.图K21-1210\n参考答案1.B 2.B 3.C 4.D5.B [解析]当放大后的△A'OB'与△AOB在原点O同侧时,点P对应点的坐标为(2m,2n);当放大后的△A'OB'与△AOB在原点O两侧时,点P对应点的坐标为(-2m,-2n).故选B.6.B7.12 [解析]设a6=b5=c4=k,则a=6k,b=5k,c=4k.∵a+b-2c=6,∴6k+5k-8k=6,3k=6.解得k=2.∴a=6k=12.8.39.解:(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC.∴DF∥BE.又∵DF=BE,∴四边形BEFD是平行四边形.∴BD∥EF.(2)∵BE=4,∴DF=4.∵DF∥EC,∴∠F=∠GEC.又∵∠DGF=∠CGE,∴△DFG∽△CEG.∴DGGC=DFCE,即23=4CE.∴EC=6.10.解:∵CB⊥AD,ED⊥AD,∴∠ABC=∠ADE=90°.又∵∠CAB=∠EAD,∴△ABC∽△ADE.10\n∴BCED=ABAD.∵BC=1m,DE=1.5m,BD=8.5m,∴AD=AB+8.5.∴11.5=ABAB+8.5.解得AB=17.∴河宽AB的长为17m.11.C [解析]如图,过点H作HM∥AB,交AD于点M,连接MG.设S平行四边形ABCD=1.∵AE=CF=14AC,∴S△ADE=14S△ADC=18S平行四边形ABCD=18,S△DEC=38.∴S△AEG=19S△DEC=124.∴S△ADG=S△ADE+S△AEG=18+124=16.∵CHAD=13,∴DMAD=13,S△AMG=23S△ADG=19.∵AGCD=13,∴AGGB=12,S△GBH=2S△AMG=29.∴S△ADGS△BGH=1629=34.故选C.12.125或53 [解析]当AEAD=ABAC时,∵∠A=∠A,∴△AED∽△ABC,此时AE=AB·ADAC=6×25=125;当ADAE=ABAC时,∵∠A=∠A,∴△ADE∽△ABC,此时AE=AC·ADAB=5×26=53.故答案为125或53.13.154或307 [解析]在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,∴AB=62+82=10.当QP⊥BC时,QP∥AC,∴ABAC=QBQP.显然,若△APQ是等腰三角形,则必是QP=AQ.设QP=AQ=x,则QB=10-x,∴106=10-xx.∴AQ=x=154.当PQ⊥AB时,△APQ是等腰直角三角形,PQ=AQ.∵△ABC∽△PBQ,∴ACBC=PQBQ.∴68=AQ10-AQ.∴AQ=307.14.解:(1)证明:∵四边形EGHF为正方形,∴BC∥EF,∴△AEF∽△ABC.10\n(2)设正方形零件的边长为a.在正方形EFHG中,EF∥BC.∵AD⊥BC,∴AK⊥EF.∵△AEF∽△ABC,∴a120=80-a80,解得a=48,∴正方形零件的边长为48mm.(3)设EG=x,矩形EGHF的面积为y.∵△AEF∽△ABC,∴EF120=80-x80,∴EF=32(80-x),∴y=32(80-x)·x=-32(x-40)2+2400,∴当x=40时,y最大,且最大值为2400,∴矩形EGHF的最大面积为2400mm2.15.解:(1)由“准互余三角形”定义可知,若△ABC是“准互余三角形”,∠C>90°,则有2∠A+∠B=90°或2∠B+∠A=90°,又∠A=60°,代入2∠A+∠B=90°不成立,所以代入2∠B+∠A=90°,可得∠B=15°.(2)存在,BE=95.∵点E在BC边上,∴∠AEB>90°.∴2∠BAE+∠B=90°或2∠B+∠BAE=90°.∵点E异于点D,∴2∠BAE+∠B=90°不成立.10\n由图可知,在Rt△ABC中,可得∠BAE+∠EAC+∠B=90°.又由“准互余三角形”定义可知,2∠B+∠BAE=90°,∴∠B=∠EAC.∴△ABC∽△EAC.∴ACEC=BCAC.∵AC=4,BC=5,∴EC=165.∴BE=BC-EC=95.(3)∵∠ABC=∠ABD+∠CBD=2∠BCD+∠CBD=90°+∠BCD,∴∠ABC>90°.以下分2种情况进行讨论:①∵△ABC为“准互余三角形”,∴∠BAC+2∠ACB=90°.设∠ACD=x,∠ACB=y,则可得∠BAC=90°-2y,∠ABD=2x+2y.∴∠AEB=90°-2x.又在△CDE中,∠CED=90°-x,由90°-2x=90°-x,得x=0°,与构成四边形矛盾,舍去.10\n②若2∠BAC+∠ACB=90°,设∠BAC=x,则∠ACB=90°-2x.∴∠ABC=90°+x,如图,过点B作BE⊥AB,交AC于点E,则∠ABC=90°+∠CBE.∴∠CBE=∠BAC.∴△CBE∽△CAB,∴CBCA=CECB,即CB2=CE·CA.由∠ABD=2∠BCD,易得∠BAC=∠BCD,则△BAE∽△DCB.设AE=7a,则CB=12a.由CEBC=BCAC=BEAB,得CE=9a,BE=214.由勾股定理,得AE=354=7a.解得a=54.∴AC=16a=20.10
