第22讲 与圆有关的位置关系A组 基础题组一、选择题1.☉O的半径r=5cm,圆心到直线的距离OM=4cm,在直线上有一点P,且PM=3cm,则点P( )A.在☉O内B.在☉O上C.在☉O外D.可能在☉O上或在☉O内2.下列语句中,正确的是( )A.长度相等的弧是等弧B.在同一平面上的三点确定一个圆C.三角形的内心是三角形三边垂直平分线的交点D.三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等3.(2022福建)如图,AB是☉O的直径,BC与☉O相切于点B,AC交☉O于点D.若∠ACB=50°,则∠BOD等于 ( )17\nA.40°B.50°C.60°D.80°4.如图,PA,PB切☉O于A,B两点,∠APB=80°,C是☉O上不同于A,B的任一点,则∠ACB等于( )A.80°B.50°或130°C.100°D.40°5.(2022重庆)如图,已知AB是☉O的直径,点P在BA的延长线上,PD与☉O相切于点D,过点B作PD的垂线交PD的延长线于点C.若☉O的半径为4,BC=6,则PA的长为( )A.4B.23C.3D.2.56.如图,点I和O分别是△ABC的内心和外心,则∠AIB和∠AOB的关系为( )A.∠AIB=∠AOBB.∠AIB≠∠AOBC.2∠AIB-12∠AOB=180°D.2∠AOB-12∠AIB=180°7.如图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=5,AD,AB,BC分别与☉O相切于E,F,G三点,过点D作☉O的切线交BC于点M,切点为N,则DM的长为( )17\nA.133B.92C.4313D.2二、填空题8.直角三角形的两条直角边长分别是5cm和12cm,则它的外接圆半径为 ,内切圆半径为 . 9.(2022江苏连云港)如图,AB是☉O的弦,点C在过点B的切线上,且OC⊥OA,OC交AB于点P,已知∠OAB=22°,则∠OCB= °. 三、解答题10.(2022东营)如图,CD是☉O的切线,点C在直径AB的延长线上.(1)求证:∠CAD=∠BDC;(2)若BD=23AD,AC=3,求CD的长.11.(2022东营)如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的☉O交BC于点D,过点D作☉O的切线DE,交AC于点E,AC的反向延长线交☉O于点F.(1)求证:DE⊥AC;(2)若DE+EA=8,☉O的半径为10,求AF的长.17\nB组 提升题组 一、选择题1.下图是一块三角形余料,已知AB=20cm,BC=7cm,AC=15cm,现将余料裁剪成一个圆形材料,则该圆的最大面积是( )A.πcm2 B.2πcm2C.4πcm2D.8πcm22.如图,☉O的半径为2,点A的坐标为(2,23),直线AB为☉O的切线,B为切点,则B点的坐标为( )A.-32,85 B.-3,1C.-45,95D.-1,3二、填空题17\n3.(2022安徽)如图,菱形ABOC的边AB,AC分别与☉O相切于点D,E.若点D是AB的中点,则∠DOE= °. 4.(2022山西)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=8,点D是AB的中点,以CD为直径作☉O,☉O分别与AC,BC交于点E,F,过点F作☉O的切线FG,交AB于点G,则FG的长为 . 三、解答题5.(2022菏泽)如图,△ABC内接于☉O,AB=AC,∠BAC=36°,过点A作AD∥BC,与∠ABC的平分线交于点D,BD与AC交于点E,与☉O交于点F.(1)求∠DAF的度数;(2)求证:AE2=EF·ED;(3)求证:AD是☉O的切线.6.(2022广东)如图,四边形ABCD中,AB=AD=CD,以AB为直径的☉O经过点C,连接AC、OD交于点E.(1)证明:OD∥BC;(2)若tan∠ABC=2,证明:DA与☉O相切;(3)在(2)的条件下,连接BD交☉O于点F,连接EF,若BC=1,求EF的长.17\n7.(2022衡阳)如图,已知△ABC内接于☉O,AB为☉O的直径,BD⊥AB,交AC的延长线于点D.(1)E为BD的中点,连接CE,求证:CE是☉O的切线;(2)若AC=3CD,求∠A的大小.8.(2022威海)已知:AB为☉O的直径,AB=2,弦DE=1,直线AD与BE相交于点C,弦DE在☉O上运动且保持长度不变,☉O的切线DF交BC于点F.(1)如图1,若DE∥AB,求证:CF=EF;(2)如图2,当点E运动至与点B重合时,试判断CF与BF是否相等,并说明理由.第22讲 与圆有关的位置关系A组 基础题组一、选择题17\n1.B 2.D 3.D4.B 连接OA,OB.∵PA,PB切☉O于A,B两点,∴∠PAO=∠PBO=90°.∵∠P=80°,∴在四边形APBO中,∠AOB=360°-90°-90°-80°=100°.当点C在优弧AB上时,∠ACB=12∠AOB=50°.当点C在劣弧AB上时,∠ACB=180°-50°=130°.故选B.5.A 连接DO,∵PD与☉O相切于点D,∴∠PDO=90°.∵BC⊥PC,∴∠PCB=90°,∴DO∥BC,∴△POD∽△PBC,∴POPB=ODBC,∴PA+4PA+8=46,∴PA=4,故选A.6.C ∵点O是△ABC的外心,∴∠C=12∠AOB.∵点I是△ABC的内心,∴∠IAB=12∠CAB,∠IBA=12∠CBA.∴∠AIB=180°-(∠IAB+∠IBA)=180°-12(∠CAB+∠CBA)=180°-12(180°-∠C)=90°+12∠C,17\n∴2∠AIB=180°+∠C,∴2∠AIB=180°+12∠AOB,即2∠AIB-12∠AOB=180°.7.A 连接OE,OF,ON,OG,在矩形ABCD中,∵AD,AB,BC分别与☉O相切于E,F,G三点,∴∠AEO=∠AFO=∠OFB=∠BGO=90°,∵∠A=∠B=90°,CD=AB=4,∴四边形AFOE,FBGO是正方形,∴AF=BF=AE=BG=2,∴DE=AD-AE=3.∵DM是☉O的切线,∴DN=DE=3,MN=MG,∴CM=5-2-MN=3-MN.在Rt△DMC中,DM2=CD2+CM2,∴(3+NM)2=(3-NM)2+42,∴NM=43,∴DM=3+43=133,故选A.二、填空题8.答案 6.5cm;2cm解析 ∵直角边长分别为5cm和12cm,∴斜边长是13cm,∴这个直角三角形的外接圆的半径为12×13=6.5(cm).根据直角三角形内切圆的半径等于两条直角边的和与斜边的差的一半,可得其内切圆的半径是5+12-132=2(cm).9.答案 44解析 连接OB,17\n∵BC是☉O的切线,∴OB⊥BC,∴∠OBA+∠CBP=90°,∵OC⊥OA,∴∠A+∠APO=90°,∵OA=OB,∠OAB=22°,∴∠OBA=∠OAB=22°,∴∠APO=∠CBP=68°,∵∠APO=∠CPB,∴∠CPB=∠CBP=68°,∴∠OCB=180°-68°-68°=44°,故答案为44.三、解答题10.解析 (1)证明:连接OD,∵OB=OD,∴∠OBD=∠ODB.∵CD是☉O的切线,OD是☉O的半径,∴∠ODB+∠BDC=90°.∵AB是☉O的直径,∴∠ADB=90°.∴∠OBD+∠CAD=90°,∴∠CAD=∠BDC.(2)∵∠C=∠C,∠CAD=∠BDC,∴△CDB∽△CAD,17\n∴BDAD=CDAC.∵BDAD=23,∴CDAC=23.∵AC=3,∴CD=2.11.解析 (1)证明:∵OB=OD,∴∠ABC=∠ODB.∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,∴∠ODB=∠ACB,∴OD∥AC.∵DE是☉O的切线,OD是半径,∴DE⊥OD,∴DE⊥AC.(2)如图,过点O作OH⊥AF于点H,则∠ODE=∠DEH=∠OHE=90°,∴四边形ODEH是矩形,∴OD=EH,OH=DE.设AH=x.∵DE+AE=8,OD=10,∴AE=10-x,OH=DE=8-(10-x)=x-2.在Rt△AOH中,由勾股定理知AH2+OH2=OA2,即x2+(x-2)2=102,解得x1=8,x2=-6(不合题意,舍去).∴AH=8.17\n∵OH⊥AF,∴AH=FH=12AF,∴AF=2AH=2×8=16.B组 提升题组一、选择题1.C 当该圆为三角形内切圆时面积最大,设内切圆半径为rcm,则该三角形面积为12·r·(AB+BC+AC)=21r.根据已知条件易得△ABC的面积S=42cm2,则可得r=2,所以所求的最大面积为4πcm2.故选C.2.D 过点A作AC⊥x轴于点C,过点B作BD⊥x轴于点D.∵☉O的半径为2,点A的坐标为(2,23),即OC=2=xA,∴AC=23=yA,∴AC是圆O的切线,∴在Rt△OCA中,tan∠AOC=ACOC=232=3,∴∠AOC=60°.又∵直线AB为☉O的切线,∴∠AOB=∠AOC=60°.∴∠BOD=180°-∠AOB-∠AOC=60°.又∵OB=2,∴OD=1,BD=3,即B点的坐标为(-1,3).故选D.二、填空题3.答案 6017\n解析 ∵AB,AC分别与☉O相切于点D,E,∴OD⊥AB,OE⊥AC.在菱形ABOC中,AB=BO,∵点D是AB的中点,∴BD=12AB=12BO,∴∠BOD=30°,∴∠B=60°,又∵OB∥AC,∴∠A=120°,∴在四边形ADOE中,∠DOE=360°-90°-90°-120°=60°.4.答案 125解析 如图,连接OF,∵FG为☉O的切线,∴OF⊥FG.∵Rt△ABC中,D为AB中点,∴CD=BD,∴∠DCB=∠B.∵OC=OF,∴∠OCF=∠OFC,∴∠CFO=∠B,∴OF∥BD,∴AB⊥FG.∵O为CD的中点,∴F为BC的中点,∴CF=BF=12BC=4.∵Rt△ABC中,AB=AC2+BC2=10,∴sin∠B=ACAB=35,∴在Rt△BGF中,FG=BFsin∠B=4×35=125.三、解答题5.解析 (1)∵AD∥BC,∴∠D=∠CBD,∵AB=AC,∠BAC=36°,∴∠ABC=∠ACB=12×(180°-∠BAC)=72°,∴∠AFB=∠ACB=72°,∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠CBD=12∠ABC=12×72°=36°,17\n∴∠D=∠CBD=36°,∴∠BAD=180°-∠D-∠ABD=180°-36°-36°=108°,∠BAF=180°-∠ABF-∠AFB=180°-36°-72°=72°,∴∠DAF=∠BAD-∠BAF=108°-72°=36°.(2)证明:∵∠CBD=36°,∠FAC=∠CBD,∴∠FAC=∠D,∵∠AED=∠AEF,∴△AEF∽△DEA,∴AEEF=EDAE,∴AE2=EF·ED.(3)证明:连接OA、OF,∵∠ABF=36°,∴∠AOF=2∠ABF=72°,∵OA=OF,∴∠OAF=∠OFA=12×(180°-∠AOF)=54°,由(1)知∠DAF=36°,∴∠OAD=36°+54°=90°,即OA⊥AD,又∵OA为半径,∴AD是☉O的切线.6.解析 (1)证明:如图1,连接OC,则OA=OC,图1∴点O在线段AC的垂直平分线上,同理,点D也在线段AC的垂直平分线上,17\n∴OD是线段AC的垂直平分线,∴OD⊥AC,AE=EC,∵AB为☉O的直径,∴∠BCA=90°,即BC⊥AC,∴OD∥BC.(2)证明:∵tan∠ABC=2,∴BC=12AC,由(1)得E是AC的中点,∴AE=12AC,∴BC=AE.∵AB=AD,∴Rt△ABC≌Rt△DAE,∴∠BAC=∠ADE,∴∠OAD=∠BAC+∠EAD=∠ADE+∠EAD=90°,∴AB⊥AD,∴DA与☉O相切.(3)如图2,连接AF,则AF⊥BD,图2∵BC=1,∴AC=ED=2,∴AD=CD=AB=AC2+BC2=5,∴AO=BO=12AB=52,∴OD=AO2+AD2=52.∵AB=AD,AB⊥AD,∴△ABD是等腰直角三角形,∴BD=2AB=10.17\n且F是BD的中点,∴FD=12BD=102,∴FDOD=EDBD=105,∵∠EDF=∠BDO,∴△DEF∽△DBO,∴EFBO=EDBD=105,∴EF=105BO=22.7.解析 (1)证明:连接OC.∵AB为☉O的直径,∴∠ACB=∠DCB=90°.∵E为BD的中点,∴BE=CE,∴∠EBC=∠ECB.∵OC=OB,∴∠OCB=∠OBC,∴∠ECB+∠OCB=∠EBC+∠OBC.∵BD⊥AB,∴∠OCE=∠OBE=90°,∴CE是☉O的切线.(2)设CD=m,则AC=3m.由(1)知∠ACB=∠DCB,又易得∠A=∠CBD,∴△ACB∽△BCD,∴ACCB=BCCD,∴BC2=AC·CD,∴BC=3m,17\n∴tanA=BCAC=33,∴∠A=30°.8.解析 (1)证明:如图1,连接OD,OE,∵AB=2,∴OA=OD=OE=OB=1.∵DE=1,∴OD=OE=DE,∴△ODE是等边三角形,∴∠ODE=∠OED=60°.∵DE∥AB,∴∠AOD=∠ODE=60°,∠EOB=∠OED=60°,∴△AOD和△BOE是等边三角形,∴∠OAD=∠OBE=60°,∴∠CDE=∠OAD=60°,∠CED=∠OBE=60°,∴△CDE是等边三角形.∵DF是☉O的切线,∴OD⊥DF,∴∠EDF=90°-60°=30°,∴∠DFE=90°,∴DF⊥CE,∴CF=EF.(2)相等,理由如下:如图2,点E运动至与点B重合时,BC是☉O的切线,∵☉O的切线DF交BC于点F,∴BF=DF,∴∠BDF=∠DBF,∵AB是直径,∴∠ADB=∠BDC=90°,∴∠BDF+∠FDC=∠DBF+∠C=90°,∴∠FDC=∠C,17\n∴DF=CF,∴BF=CF.图1图217
