第12讲 二次函数A组 基础题组一、选择题1.(2022陕西)对于抛物线y=ax2+(2a-1)x+a-3,当x=1时,y>0,则这条抛物线的顶点一定在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.(2022威海)抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)如图所示,下列结论错误的是( )A.abc<0B.a+c<bC.b2+8a>4acD.2a+b>03.(2022甘肃兰州)将抛物线y=3x2-3向右平移3个单位长度,得到的新抛物线的表达式为( )A.y=3(x-3)2-3B.y=3x2C.y=3(x+3)2-3D.y=3x2-64.如图,一次函数y1=kx+n(k≠0)与二次函数y2=ax2+bx+c(a≠0)的图象相交于A(-1,5),B(9,2)两点,则关于x的不等式kx+n≥ax2+bx+c的解集为( )25\nA.-1≤x≤9B.-1≤x<9C.-1<x≤9D.x≤-1或x≥95.在同一坐标系中,一次函数y=-mx+n2与二次函数y=x2+m的图象可能是( )二、填空题6.(2022湖北武汉)已知关于x的二次函数y=ax2+(a2-1)x-a的图象与x轴的一个交点的坐标为(m,0).若2<m<3,则a的取值范围是 . 7.某农场拟建两间矩形饲养室,一面靠现有墙(墙足够长),中间用一道墙隔开,并在如图所示的三处各留1m宽的门.已知计划中的材料可建墙体(不包括门)总长为27m,则能建成的饲养室面积最大为 m2. 8.如图,Rt△OAB的顶点A(-2,4)在抛物线y=ax2(a≠0)上,将Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°,得到△OCD,边CD与该抛物线交于点P,则点P的坐标为 . 三、解答题9.如图,需在一面墙上绘制几个相同的抛物线型图案.按照图中的直角坐标系,最左边的抛物线可以用y=ax2+bx(a≠0)表示.已知抛物线上B,C两点到地面的距离均为34m,到墙边的距离分别为12m,32m.(1)求该拋物线的函数关系式,并求图案最高点到地面的距离;25\n(2)若该墙的长度为10m,则最多可以连续绘制几个这样的拋物线型图案?B组 提升题组 一、选择题1.下列关于二次函数y=ax2-2ax+1(a>1)的图象与x轴交点的判断,正确的是( )A.没有交点B.有一个交点,且它位于y轴右侧C.有两个交点,且它们均位于y轴左侧D.有两个交点,且它们均位于y轴右侧2.(2022枣庄)下图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分,且过点A(3,0),二次函数图象的对称轴是直线x=1,下列结论正确的是( )A.b2<4acB.ac>0C.2a-b=0D.a-b+c=03.(2022潍坊)已知二次函数y=-(x-h)2(h为常数),当自变量x的值满足2≤x≤5时,与其对应的函数值y的最大值为-1,则h的值为( )A.3或6B.1或6C.1或3D.4或64.(2022菏泽)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则一次函数y=bx+a与反比例函数y=a+b+cx在同一平面直角坐标系中的图象大致是( )25\n二、填空题5.(2022青岛)若抛物线y=x2-6x+m与x轴没有交点,则m的取值范围是 . 6.(2022淄博)已知抛物线y=x2+2x-3与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),将这条抛物线向右平移m(m>0)个单位,平移后的抛物线与x轴交于C,D两点(点C在点D的左侧),若B,C是线段AD的三等分点,则m的值为 . 三、解答题7.(2022广东)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=-x2+ax+b交x轴于A(1,0),B(3,0)两点,点P是抛物线上在第一象限内的一点,直线BP与y轴相交于点C.(1)求抛物线y=-x2+ax+b的解析式;(2)当点P是线段BC的中点时,求点P的坐标;(3)在(2)的条件下,求sin∠OCB的值.8.(2022陕西)已知抛物线L:y=x2+x-6与x轴相交于A、B两点(点A在点B的左侧),并与y轴相交于点C.(1)求A、B、C三点的坐标,并求△ABC的面积;(2)将抛物线L向左或向右平移,得到抛物线L',且L'与x轴相交于A'、B'两点(点A'在点B'的左侧),并与y轴相交于点C',要使△A'B'C'和△ABC的面积相等,求所有满足条件的抛物线的函数表达式.二次函数的综合应用培优训练 一、选择题25\n1.向上发射一枚炮弹,经x秒后的高度为y千米,且时间与高度的关系为y=ax2+bx.若此炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等,则在下列哪一个时间的高度是最高的 ( )A.第9.5秒B.第10秒C.第10.5秒D.第11秒2.烟花厂为成都春节特别设计制作了一种新型礼炮,这种礼炮的升空高度h(m)与飞行时间t(s)的关系式是h=-32t2+12t+30,若这种礼炮在升空到最高点时引爆,则从点火升空到引爆需要的时间为( )A.3sB.4sC.5sD.6s3.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分如图所示,x=-1是对称轴,下列结论:①ac<0;②a-b+c=-9a;③若(-3,y1),32,y2是抛物线上两点,则y1>y2;④将抛物线沿x轴向右平移一个单位后得到的新抛物线的表达式为y=a(x2-9).其中正确的是( )A.①②③B.①③④C.①②④D.①②③④二、填空题4.科学家为了推测最适合某种珍奇植物生长的温度,将这种植物分别放在不同温度的环境中,经过一定时间后,测试出这种植物高度的增长情况,部分数据如表:温度t/℃-4-2014植物高度增长量l/mm4149494625科学家经过猜想并推测出l与t之间是二次函数关系.由此可以推测最适合这种植物生长的温度为 ℃. 5.如图,直线y=mx+n与抛物线y=ax2+bx+c交于A(-1,p),B(4,q)两点,则关于x的不等式mx+n>ax2+bx+c的解集是 . 25\n三、解答题6.旅游公司在景区内配置了50辆观光车供游客租赁使用,假定每辆观光车一天内最多只能出租一次,且每辆车的日租金x(元)是5的倍数.发现每天的运营规律如下:当x不超过100元时,观光车能全部租出;当x超过100元时,每辆车的日租金每增加5元,租出去的观光车就会减少1辆.已知所有观光车每天的管理费是1100元.(1)优惠活动期间,为使观光车全部租出且每天的净收入为正,则每辆车的日租金至少应为多少元?(注:净收入=租车收入-管理费)(2)当每辆车的日租金为多少元时,每天的净收入最多?7.我国中东部地区雾霾天气趋于严重,环境治理已刻不容缓.我市某电器商场根据民众健康需要,代理销售某种家用空气净化器,其进价是200元/台.经过市场销售后发现:在一个月内,当售价是400元/台时,可售出200台,且售价每降低10元/台,就可多售出50台.供货商规定这种空气净化器售价不能低于300元/台,代理销售商每月要完成不低于450台的销售任务.(1)试确定月销售量y(台)与售价x(元/台)之间的函数关系式;(2)求售价x的范围;(3)当售价x(元/台)定为多少时,商场每月销售这种空气净化器所获得的利润w(元)最大?最大利润是多少?25\n8.如图,直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6(a≠0)相交于A12,52和B(4,m)两点,点P是线段AB上异于A、B的动点,过点P作PC⊥x轴于点D,交抛物线于点C.(1)求抛物线的解析式;(2)是否存在这样的P点,使线段PC的长有最大值?若存在,求出这个最大值;若不存在,请说明理由.9.如图,直线y=-x+3与x轴,y轴分别交于B(3,0),C(0,3)两点,抛物线y=ax2+bx+c过A(1,0),B,C三点.(1)求抛物线的解析式;(2)若点M是抛物线在x轴下方的一个动点,过点M作MN∥y轴交直线BC于点N,求线段MN的最大值;(3)在(2)的条件下,当MN取得最大值时,在抛物线的对称轴l上是否存在点P,使△PBN是以BN为腰的等腰三角形?若存在,求出点P的坐标,若不存在,请说明理由.10.如图,在矩形OABC中,点O为原点,点A的坐标为(0,8),点C的坐标为(6,0).抛物线y=-49x2+bx+c经过点A、C,与AB交于点D.(1)求抛物线的函数解析式;25\n(2)点P为线段BC上一个动点(不与点C重合),点Q为线段AC上一个动点,AQ=CP,连接PQ,设CP=m,△CPQ的面积为S.①求S关于m的函数表达式;②当S最大时,在抛物线y=-49x2+bx+c的对称轴l上是否存在点F,使△DFQ为直角三角形,若存在,请直接写出所有符合条件的点F的坐标;若不存在,请说明理由.11.如图1,平面直角坐标系中,二次函数y=-14x2+bx+c的图象与坐标轴分别交于点A、B、C,其中点A(0,8),OB=12OA.(1)求二次函数的表达式;(2)若OD=OB,点F为该二次函数在第二象限内图象上的动点,E为DF的中点.①当△CEF的面积最大时,求出点E的坐标;②如图2,将△CEF绕点E旋转180°,C点落在M处,若M点恰好在该抛物线上,求出此时△CEF的面积.25\n12.如图,直线y=-x+2与x轴交于B点,与y轴交于C点,A点坐标为(-1,0).(1)求过A、B、C三点的抛物线的解析式;(2)在直线BC上方的抛物线上有一点D,过D作DE⊥BC于E,作DF∥y轴交BC于F,求△DEF周长的最大值;(3)在满足第(2)问的条件下,在线段BD上是否存在一点P,使∠DFP=∠DBC.若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由.13.如图,在平面直角坐标系中,直线y=12x+2与x轴交于点A,与y轴交于点C.抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=-32且经过A、C两点,与x轴的另一交点为点B.(1)求二次函数y=ax2+bx+c的表达式;(2)若点P为直线AC上方的抛物线上的一点,连接PA,PC,BC.求四边形PABC面积的最大值,并求出此时点P的坐标;(3)抛物线上是否存在点M,过点M作MN垂直x轴于点N,使得以点A,M,N为顶点的三角形与△ABC相似?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.25\n第12讲 二次函数A组 基础题组一、选择题1.C 当x=1时,y=a+2a-1+a-3>0,解得a>1,又根据抛物线顶点坐标公式可得-2a-12a<0,4a(a-3)-(2a-1)24a=-8a-14a<0,所以这条抛物线的顶点一定在第三象限,故选C.2.D A.由图象开口可知:a<0,由对称轴可知:-b2a>0,∴b>0,∴由抛物线与y轴的交点可知:c>0,∴abc<0,故A正确;B.由图象可知:x=-1时,y<0,∴y=a-b+c<0,∴a+c<b,故B正确;C.由图象可知:顶点的纵坐标大于2,∴4ac-b24a>2,∵a<0,∴4ac-b2<8a,∴b2+8a>4ac,故C正确;D.对称轴x=-b2a<1,a<0,∴2a+b<0,故D错误.故选D.3.A 4.A 5.D二、填空题6.答案 -3<a<-2或13<a<12解析 把(m,0)代入y=ax2+(a2-1)x-a得am2+(a2-1)m-a=0,m=-(a2-1)±(a2-1)2+4a22a=-(a2-1)±(a2+1)2a,解得m1=1a,m2=-a,25\n∵2<m<3,∴2<1a<3或2<-a<3,解得13<a<12或-3<a<-2.7.答案 75解析 设垂直于墙的材料长为x米,则平行于墙的材料长为27+3-3x=30-3x,则总面积S=x(30-3x)=-3x2+30x=-3(x-5)2+75,故饲养室的最大面积为75平方米.8.答案 (2,2)解析 ∵Rt△OAB的顶点A(-2,4)在抛物线y=ax2(a≠0)上,∴4=4a,解得a=1,∴抛物线的解析式为y=x2,∵AB⊥x轴,∴B(-2,0),∴OB=2,∵将Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°,得到△OCD,∴D点在y轴上,且OD=OB=2,∴D(0,2),∵DC⊥OD,∴DC∥x轴,∴P点的纵坐标为2,代入y=x2,得2=x2,解得x=2(负值舍去),∴P(2,2).三、解答题9.解析 (1)根据题意得B12,34,C32,34,把B,C代入y=ax2+bx(a≠0)得34=14a+12b,34=94a+32b,解得a=-1,b=2,25\n∴拋物线的函数关系式为y=-x2+2x,∴图案最高点到地面的距离=-224×(-1)=1m.(2)令y=0,即-x2+2x=0,解得x1=0,x2=2,∵10÷2=5,∴最多可以连续绘制5个这样的拋物线型图案.B组 提升题组一、选择题1.D ∵a>1,∴Δ=(-2a)2-4a=4a(a-1)>0,∴ax2-2ax+1=0有两个不相等的实数根,即函数图象与x轴有两个交点,x=2a-4a(a-1)2a>0,故选D.2.D ∵抛物线与x轴有两个交点,∴b2-4ac>0,即b2>4ac,所以A选项错误;∵抛物线开口向上,∴a>0,∵抛物线与y轴的交点在x轴下方,∴c<0,∴ac<0,所以B选项错误;∵二次函数图象的对称轴是直线x=1,∴-b2a=1,∴2a+b=0,所以C选项错误;∵抛物线过点A(3,0),二次函数图象的对称轴是x=1,∴抛物线与x轴的另一个交点为(-1,0),∴a-b+c=0,所以D选项正确.故选D.3.B 对于二次函数y=-(x-h)2(h为常数),当x=h时,函数有最大值0,又当自变量x的值满足2≤x≤5时,与其对应的函数值y的最大值为-1,故h<2或h>5.当h<2,2≤x≤5时,y随x的增大而减小,故当x=2时,y有最大值,此时-(2-h)2=-1,解得h1=1,h225\n=3(舍去);当h>5,2≤x≤5时,y随x的增大而增大,故当x=5时,y有最大值,此时-(5-h)2=-1,解得h1=6,h2=4(舍去),综上可知h=1或6.故选B.4.B ∵二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上,∴a>0,∵该抛物线对称轴位于y轴的右侧,∴a、b异号,即b<0.∵当x=1时,y<0,∴a+b+c<0.∴一次函数y=bx+a的图象经过第一、二、四象限,反比例函数y=a+b+cx的图象分布在第二、四象限,故选B.二、填空题5.答案 m>9解析 ∵抛物线y=x2-6x+m与x轴没有交点,∴Δ<0,即(-6)2-4×1×m<0,解得m>9.6.答案 2解析 如图,∵B,C是线段AD的三等分点,∴AC=BC=BD,由题意得:AC=BD=m,当y=0时,x2+2x-3=0,(x-1)(x+3)=0,x1=1,x2=-3,∴A(-3,0),B(1,0),∴AB=3+1=4,25\n∴AC=BC=2,∴m=2,故答案为2.三、解答题7.解析 (1)把A(1,0),B(3,0)代入抛物线y=-x2+ax+b,得0=-1+a+b,0=-9+3a+b,解得a=4,b=-3.∴抛物线的解析式为y=-x2+4x-3.(2)当点P是线段BC的中点时,易得点P的横坐标为32,当x=32时,y=34,所以点P的坐标为32,34.(3)由(2)得点C的坐标为0,32,∴OC=32,又OB=3,∴BC=OC2+OB2=352.∴sin∠OCB=OBBC=3352=255.8.解析 (1)令y=0,得x2+x-6=0,解得x=-3或x=2,∴A(-3,0),B(2,0).∴AB=5,令x=0,得y=-6,∴C(0,-6),∴OC=6,∴S△ABC=12AB·OC=12×5×6=15.(2)由题意得A'B'=AB=5.要使S△A'B'C'=S△ABC,只要抛物线L'与y轴的交点为C'(0,-6)或C'(0,6)即可.25\n设所求抛物线L':y=x2+mx+6,y=x2+nx-6.∵抛物线L'与抛物线L的顶点的纵坐标相同,∴24-m24=-24-14,-24-n24=-24-14,解得m=±7,n=±1(n=1舍去).∴抛物线L'的函数表达式为y=x2+7x+6,y=x2-7x+6或y=x2-x-6.二次函数的综合应用培优训练一、选择题1.C 当x=7时,y=49a+7b;当x=14时,y=196a+14b.根据题意得49a+7b=196a+14b,∴b=-21a,根据二次函数图象的对称性及抛物线的开口方向,得当x=-b2a=10.5时,y最大,即高度最高.故选C.2.B ∵礼炮在升空到最高点时引爆,且二次函数图象的开口向下,∴高度h取最大值时,t=-b2a,即t=-122×-32=4.故选B.3.D ∵二次函数的图象开口向下,∴a<0,∵抛物线与y轴的正半轴相交,∴c>0,∴ac<0,故①正确;∵抛物线的对称轴x=-b2a=-1,∴b=2a,当x=2时,y=0,25\n∴4a+2b+c=0,∴4a+4a+c=0,∴c=-8a,∴a-b+c=-9a,故②正确;∵抛物线的对称轴为x=-1,∴当x=-1时,抛物线有最大值,-3距离-1有2个单位长度,32距离-1有52个单位长度,∴y1>y2,故③正确;设抛物线的解析式为y=a(x+1)2+k,将抛物线沿x轴向右平移一个单位后得出平移后的解析式y=ax2+k,∵c=-8a,∴a+k=-8a,∴k=-9a,∴将抛物线沿x轴向右平移一个单位后得到的新抛物线的表达式为y=ax2-9a,即y=a(x2-9),故④正确.正确结论为①②③④.故选D.二、填空题4.答案 -1解析 设l=at2+bt+c(a≠0),将(0,49),(1,46),(4,25)代入后得方程组c=49,a+b+c=46,16a+4b+c=25,解得a=-1,b=-2,c=49,所以l与t之间的二次函数解析式为l=-t2-2t+49,当t=-b2a=-1时,l有最大值50,即最适合这种植物生长的温度是-1℃.5.答案 x<-1或x>4解析 由题图可知,当x<-1或x>4时,直线y=mx+n的图象在抛物线y=ax2+bx+c的上方,∴不等式mx+n>ax2+bx+c的解集为x<-1或x>4.三、解答题25\n6.解析 (1)由题意知,若观光车能全部租出,则0<x≤100,由50x-1100>0,解得x>22,∵x是5的倍数,∴每辆车的日租金至少应为25元.(2)设每天的净收入为y元,当0<x≤100时,y1=50x-1100,∵y1随x的增大而增大,∴当x=100时,y1的最大值为50×100-1100=3900;当x>100时,y2=50-x-1005x-1100=50x-15x2+20x-1100=-15x2+70x-1100=-15(x-175)2+5025,当x=175时,y2的最大值为5025,5025>3900,故当每辆车的日租金为175元时,每天的净收入最多,是5025元.7.解析 (1)根据题中条件售价每降低10元/台,月销售量就可多售出50台,则月销售量y(台)与售价x(元/台)之间的函数关系式为y=200+50×400-x10,化简得y=-5x+2200.(2)根据供货商规定这种空气净化器售价不能低于300元/台,代理销售商每月要完成不低于450台的销售任务,则x≥300,-5x+2200≥450,解得300≤x≤350.所以售价x的范围为300≤x≤350.(3)w=(x-200)(-5x+2200),整理得w=-5(x-320)2+72000.25\n∵x=320在300≤x≤350内,∴当x=320时,w有最大值,为72000,即售价定为320元/台时,商场每月销售这种空气净化器所获得的利润w最大,最大利润是72000元.8.解析 (1)∵B(4,m)在直线y=x+2上,∴m=6,即B(4,6),∵A12,52和B(4,6)在抛物线y=ax2+bx+6上,∴a122+12b+6=52,16a+4b+6=6,解得a=2,b=-8,∴抛物线的解析式为y=2x2-8x+6.(2)存在.设动点P的坐标为(n,n+2),点C的坐标为(n,2n2-8n+6),∴PC=(n+2)-(2n2-8n+6)=-2n2+9n-4=-2n-942+498,∵-2<0,∴抛物线开口向下,有最大值,∴当n=94时,线段PC的长有最大值498.9.解析 (1)由题意将点A(1,0)、B(3,0)、C(0,3)代入抛物线y=ax2+bx+c中,得a+b+c=0,9a+3b+c=0,c=3,解得a=1,b=-4,c=3,∴抛物线的解析式为y=x2-4x+3.(2)设点M的坐标为(m,m2-4m+3),∵MN∥y轴,∴点N的坐标为(m,-m+3).∵A(1,0),B(3,0)在抛物线上且点M是抛物线在x轴下方的一个动点.∴1<m<3.∵线段MN=-m+3-(m2-4m+3)=-m2+3m=-m-322+94,25\n∴当m=32时,线段MN取最大值,最大值为94.(3)假设存在.设点P的坐标为(2,n).当m=32时,点N的坐标为32,32,∴PB=(2-3)2+(n-0)2=1+n2,PN=2-322+n-322,BN=3-322+0-322=322.△PBN以BN为腰的等腰三角形,分二种情况:①当PB=BN,即1+n2=322时,解得n=±142,此时点P的坐标为2,-142或2,142.②当PN=BN,即2-322+n-322=322时,解得n=3±172,此时点P的坐标为2,3-172或2,3+172.综上可知:在抛物线的对称轴l上存在点P,使△PBN是以BN为腰的等腰三角形,点P的坐标为2,-142或2,142或2,3-172或2,3+172.10.解析 (1)将A、C两点坐标代入抛物线解析式,得c=8,-49×36+6b+c=0,解得b=43,c=8,∴抛物线的解析式为y=-49x2+43x+8.(2)①∵OA=8,OC=6,25\n∴AC=OA2+OC2=10,过点Q作QE⊥BC与E点,则sin∠ACB=QEQC=ABAC=35,∴QE10-m=35,∴QE=35(10-m),∴S=12·CP·QE=12m×35(10-m)=-310m2+3m.②∵S=12·CP·QE=12m×35(10-m)=-310m2+3m=-310(m-5)2+152,∴当m=5时,S取最大值;在抛物线对称轴l上存在点F,使△DFQ为直角三角形,∵抛物线y=-49x2+43x+8的对称轴为x=32,D的坐标为(3,8),Q的坐标为(3,4),当∠FDQ=90°时,F132,8,当∠FQD=90°时,则F232,4,当∠DFQ=90°时,设F32,n,则FD2+FQ2=DQ2,即94+(8-n)2+94+(n-4)2=16,解得n=6±72,∴F332,6+72,F432,6-72,满足条件的点F共有四个,分别为F132,8,F232,4,F332,6+72,F432,6-72.11.解析 (1)∵OA=8,25\n∴OB=12OA=4,∴B(4,0),∵y=-14x2+bx+c的图象过点A(0,8),B(4,0),∴-14×42+4b+c=0,c=8,解得b=-1,c=8,∴二次函数的表达式为y=-14x2-x+8.(2)①当y=0时,-14x2-x+8=0,解得x1=4,x2=-8,∴C点坐标为(-8,0),∵D点坐标为(0,4),∴设直线CD的解析为y=kx+d(k≠0),故-8k+d=0,d=4,解得k=12,d=4,故直线DC的解析为y=12x+4.如图,过点F作y轴的平行线交DC于点P,设F点坐标为m,-14m2-m+8,则P点坐标为m,12m+4,则FP=-14m2-32m+4,∴S△FCD=12·FP·OC=12×-14m2-32m+4×8=-m2-6m+16,∵E为FD中点,∴S△CEF=12×S△FCD=-12m2-3m+8=-12(m+3)2+252,25\n当m=-3时,S△CEF有最大值,∴-14m2-m+8=-14×9+3+8=354,E点纵坐标为12×354+4=518,∴F-3,354,∴E-32,518.②∵F点坐标为m,-14m2-m+8,C点坐标为(-8,0),D点坐标为(0,4),∴Mm+8,-14m2-m+12,又∵M点在抛物线上,∴-14(m+8)2-(m+8)+8=-14m2-m+12,解得m=-7,故S△CEF=-12m2-3m+8=92.12.解析 (1)直线y=-x+2与x轴交于B(2,0),与y轴交于C(0,2),设过A、B、C的抛物线的解析式为y=ax2+bx+c(a≠0),把A(-1,0),B(2,0),C(0,2)的坐标代入,解得a=-1,b=1,c=2,∴抛物线的解析式为y=-x2+x+2.(2)设D(x,-x2+x+2),F(x,-x+2),∴DF=(-x2+x+2)-(-x+2)=-x2+2x,所以x=1时,DF最大=1,∵OB=OC,∴△OBC为等腰直角三角形,∵DE⊥BC,DF∥y轴,∴∠DFE=∠OCB=45°,∴△DEF为等腰直角三角形,∴△DEF周长的最大值为1+2.25\n(3)存在.如图,当△DEF周长最大时,D(1,2),F(1,1).延长DF交x轴于H,作PM⊥DF于M,则DB=5,DH=2,OH=1,当∠DFP=∠DBC时,△DFP∽△DBF,∴DFDP=DBDF,∴DP=55,∴PMBH=DMDH=DPDB=15,∴PM=15,DM=25,∴P点的横坐标为OH+PM=1+15=65,P点的纵坐标为DH-DM=2-25=85,∴P65,85.13.解析 (1)对于y=12x+2,当x=0时,y=2,当y=0时,x=-4,∴C(0,2),A(-4,0),由抛物线的对称性可知:点A与点B关于x=-32对称,∴点B的坐标为(1,0).∵抛物线y=ax2+bx+c过A(-4,0),B(1,0),∴可设抛物线解析式为y=a(x+4)(x-1),又∵抛物线过点C(0,2),∴2=-4a,∴a=-12,∴y=-12x2-32x+2.(2)设Pm,-12m2-32m+2.25\n过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q,∴Qm,12m+2,∴PQ=-12m2-32m+2-12m+2=-12m2-2m,∵S△PAC=12×PQ×(xC-xA)=12×PQ×4=2PQ=-m2-4m=-(m+2)2+4,∴当m=-2时,△PAC的面积有最大值4,易知S△ACB=12×OC×AB=12×2×5=5.则四边形PABC面积的最大值是9,此时P(-2,3).(3)存在.在Rt△AOC中,tan∠CAO=12,在Rt△BOC中,tan∠BCO=12,∴∠CAO=∠BCO,∵∠BCO+∠OBC=90°,∴∠CAO+∠OBC=90°,∴∠ACB=90°,∴△ABC∽△ACO∽△CBO,如下图:①当M点与C点重合,即M(0,2)时,△MAN∽△BAC;25\n②根据抛物线的对称性,当M(-3,2)时,△MAN∽△ABC;③当点M在第四象限时,设Mn,-12n2-32n+2,则N(n,0),∴MN=12n2+32n-2,AN=n+4,当MNAN=12时,MN=12AN,即12n2+32n-2=12(n+4),整理得n2+2n-8=0,解得n1=-4(舍),n2=2,∴M(2,-3);当MNAN=21时,MN=2AN,即12n2+32n-2=2(n+4),整理得n2-n-20=0,解得n1=-4(舍),n2=5,∴M(5,-18).综上所述,存在M1(0,2),M2(-3,2),M3(2,-3),M4(5,-18),使得以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似.25
