专题五 解直角三角形的实际应用类型一母子型(2022·河南)如图所示，某数学活动小组选定测量小河对岸大树BC的高度，他们在斜坡上D处测得大树顶端B的仰角是30°，朝大树方向下坡走6米到达坡底A处，在A处测得大树顶端B的仰角是48°.若坡角∠FAE＝30°，求大树的高度．(结果保留整数．参考数据：sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11，≈1.73)例1题图【分析】根据所求构造直角三角形，在直角三角形中，利用锐角三角函数的性质求解问题即可．【自主解答】如解图，延长BD交AE于点G，过点D作DH⊥AE于点H.例1题解图∵由题意，得∠DAE＝∠BGH＝30°，DA＝6，∴GD＝DA＝6，∴GH＝AH＝DA·cos30°＝3，∴GA＝6.设BC＝x米，在Rt△GBC中，GC＝＝x.在Rt△ABC中，AC＝＝.∵GC－AC＝GA，∴x－＝6，解得x≈13.即大树的高度约为13米．1．(2022·泰州)日照间距系数反映了房屋日照情况．如图①，当前后房屋都朝向正南时，日照间距系数＝L∶(H－H1)，其中L为楼间水平距离，H为南侧楼房高度，H1为北侧楼房底层窗台至地面高度．如图②，山坡EF朝北，EF长为15m，坡度为i＝1∶0.75，山坡顶部平地EM上有一高为22.5m的楼房AB，底部A到E点的距离为4m.22\n(1)求山坡EF的水平宽度FH；(2)欲在AB楼正北侧山脚的平地FN上建一楼房CD，已知该楼底层窗台P处至地面C处的高度为0.9m，要使该楼的日照间距系数不低于1.25，底部C距F处至少多远？图①图②22\n2.(2022·商丘模拟)如图，兰兰站在河岸上的G点，看见河里有一只小船沿垂直于岸边的方向划过来，此时，测得小船C的俯角是∠FDC＝30°，若兰兰的眼睛与地面的距离是1.5米，BG＝1米，BG平行于AC所在的直线，迎水坡的坡度i＝4∶3，坡高BE＝8米，求小船C到岸边的距离CA的长？(参考数据：≈1.7，结果保留一位小数)3．如图，某校一幢教学大楼的顶部竖有一块“传承文明，启智求真”的宣传牌CD、小明在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为60°，沿山坡向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为45°.已知山坡AB的坡度i＝1∶，AB＝10米，AE＝15米，求这块宣传牌CD的高度．(测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米．参考数据：≈1.414，≈1.732)22\n4．(2022·新乡一模)如图，为探测某座山的高度AB，某飞机在空中C处测得山顶A处的俯角为31°，此时飞机的飞行高度为CH＝4千米；保持飞行高度与方向不变，继续向前飞行2千米到达D处，测得山顶A处的俯角为50°.求此山的高度AB.(参考数据：tan30°≈0.6，tan50°≈1.2)5．(2022·烟台)汽车超速行驶是交通安全的重大隐患，为了有效降低交通事故的发生，许多道路在事故易发路段设置了区间测速，如图，学校附近有一条笔直的公路l，其间设有区间测速，所有车辆限速40千米/小时，数学实践活动小组设计了如下活动：在l上确定A，B两点，并在AB路段进行区间测速．在l外取一点P，作PC⊥l，垂足为点C.测得PC＝30米，∠APC＝71°，∠BPC＝35°.上午9时测得一汽车从点A到点B用时6秒，请你用所学的数学知识说明该车是否超速．(参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70，sin71°≈0.95，cos71°≈0.33，tan71°≈2.90)6．(2022·河南说明与检测)如图，在电线杆CD上的C处引拉线CE，CF固定电线杆，拉线CE和地面所成的角∠CED＝60°，在离电线杆6米的B处安置高为1.5米的测角仪AB，在A处测得电线杆上C处的仰角为30°，求拉线CE的长．(参考数据：≈1.41，≈1.73.结果保留一位小数．)22\n7．(2022·河南说明与检测)某数学兴趣小组在学习《锐角三角函数》以后，开展测量物体高度的实践活动，他们在河边的一点A处测得河对岸小山顶上一座铁塔的塔顶C的仰角为66°、塔底B的仰角为60°，已知铁塔的高度BC为20m(如图)，你能根据以上数据求出小山的高BD吗？8．(2022·河南说明与检测)太阳能光伏发电因其清洁、安全、便利、高效等特点，已成为世界各国普遍关注和重点发展的新兴产业．如图是太阳能电池板支撑架的截面图，其中的粗线表示支撑角钢，太阳能电池板与支撑角钢AB的长度相同，均为300cm，AB的倾斜角为30°，BE＝CA＝50cm22\n，支撑角钢CD、EF与底座地基台面接触点分别为D、F，CD垂直于地面，FE⊥AB于点E.两个底座地基高度相同(即点D、F到地面的垂直距离相同)，均为30cm，点A到地面的垂直距离为50cm，求支撑角钢CD和EF的长度各是多少厘米．(结果保留根号) 9．(2022·遵义)如图，吊车在水平地面上吊起货物时，吊绳BC与地面保持垂直，吊臂AB与水平线的夹角为64°，吊臂底部A距地面1.5m．(计算结果精确到0.1m，参考数据sin64°≈0.90，cos64°≈0.44，tan64°≈2.05)(1)当吊臂底部A与货物的水平距离AC为5m时，吊臂AB的长为____________m；(2)如果该吊车吊臂的最大长度AD为20m，那么从地面上吊起货物的最大高度是多少？(吊钩的长度与货物的高度忽略不计)22\n类型二背靠背型(2022·河南)“高低杠”是女子体操特有的一个竞技项目，其比赛器材由高、低两根平行杠及若干支架组成，运动员可根据自己的身高和习惯在规定范围内调节高、低两杠间的距离．某兴趣小组根据高低杠器材的一种截面图编制了如下数学问题，请你解答．如图所示，底座上A，B两点间的距离为90cm.低杠上点C到直线AB的距离CE的长为155cm，高杠上点D到直线AB的距离DF的长为234cm，已知低杠的支架AC与直线AB的夹角∠CAE为82.4°，高杠的支架BD与直线AB的夹角∠DBF为80.3°.求高、低杠间的水平距离CH的长．(结果精确到1cm，参考数据sin82.4°≈0.991，cos82.4°≈0.132，tan82.4°≈7.500，sin80.3°≈0.983，cos80.3°≈0.168，tan80.3°≈5.850) 例2题图22\n【分析】利用锐角三角函数，在Rt△ACE和Rt△DBF中，分别求出AE、BF的长．计算出EF.通过矩形CEFH的性质得到CH的长．【自主解答】解：在Rt△ACE中，AE＝＝≈20.7，在Rt△BDF中，BF＝＝≈40，∵在矩形CEFH中，CH＝EF，∴CH＝EF＝AE＋AB＋BF＝20.7＋90＋40≈151(cm)．答：高低杠间的水平距离CH的长为151cm.1．(2022·驻马店一模)小明利用寒假进行综合实践活动，他想利用测角仪和卷尺测量自家所住楼(甲楼)与对面邮政大楼(乙楼)的高度，现小明用卷尺测得甲楼宽AE是8m，用测角仪在甲楼顶E处与A处测得乙楼顶部D的仰角分别为37°和42°，同时在A处测得乙楼底部B处的俯角为32°，请根据小明测得数据帮他计算甲、乙两个楼的高度．(精确到0.01m)(cos32°≈0.85，tan32°≈0.62，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)22\n2．(2022·甘肃省卷)随着中国经济的快速发展以及科技水平的飞速提高，中国高铁正迅速崛起．高铁大大缩短了时空距离，改变了人们的出行方式．如图，A，B两地被大山阻隔，由A地到B地需要绕行C地，若打通穿山隧道，建成A，B两地的直达高铁，可以缩短从A地到B地的路程．已知：∠CAB＝30°，∠CBA＝45°，AC＝640公里，求隧道打通后与打通前相比，从A地到B地的路程将约缩短多少公里？(参考数据：≈1.7，≈1.4)3．(2022·常州)京杭大运河是世界文化遗产．综合实践活动小组为了测出某段运河的河宽(岸沿是平行的)，如图，在岸边分别选定了点A、B和点C、D，先用卷尺量得AB＝160m，CD＝40m，再用测角仪测得∠CAB＝30°，∠DBA＝60°，求该段运河的河宽(即CH的长)．22\n4．(2022·眉山)知识改变世界，科技改变生活．导航装备的不断更新极大方便了人们的出行．如图，某校组织学生乘车到黑龙滩(用C表示)开展社会实践活动，车到达A地后，发现C地恰好在A地的正北方向，且距离A地13千米，导航显示车辆应沿北偏东60°方向行驶至B地，再沿北偏西37°方向行驶一段距离才能到达C地，求B、C两地的距离．(参考数据：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈)5.(2022·河南说明与检测)如图，B地在A地的北偏东56°方向上，C地在B地的北偏西19°方向上，原来从A地到C地的路线为A→B→C，现在沿A地北偏东26°方向新修了一条直达C地的公路，路程比原来少了20千米．求从A地直达C地的路程(结果保留整数．参考数据：≈1.41，≈1.73)．22\n6．(2022·河南说明与检测)如图，某数学活动小组为测量学校旗杆AB的高度，从旗杆正前方2米处的点C出发，沿斜面坡度i＝1∶的斜坡CD前进4米到达点D，在点D处安置测角仪，测得旗杆顶部A的仰角为37°，量得仪器的高DE为1.5米，已知A，B，C，D，E在同一平面内，AB⊥BC，AB∥DE，求旗杆AB的高度．(参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈.计算结果保留根号)．7．(2022·河南说明与检测)中国南海是中国固有领海，我方渔政船经常在此海域执勤巡察，一天我方渔政船停在小岛A北偏西37°方向的B处，观察A岛周边海域，据测算，渔政船距A岛的距离AB长为10海里，此时位于A岛正西方向C处的我方渔船遭到某国军舰的袭扰，船长发现在其北偏东50°的方向上有我方渔政船，便发出紧急求救信号，渔政船接警后，立即沿BC航线以每小时30海里的速度前往救助，问渔政船大约需要多少分钟能到达渔船所在的C处？(参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，sin40°≈0.64，cos40°≈0.77)22\n8．(2022·河南说明与检测)如图，在一笔直的海岸线l上有A、B两个观测站，A在B的正东方向，AB＝2km.有一艘小船在点P处，从A测得小船在北偏西60°的方向，从B测得小船在北偏东45°的方向．(1)求点P到海岸线l的距离；(2)小船从点P处沿射线AP的方向航行一段时间后，到点C处，此时，从B测得小船在北偏西15°的方向．求点C与点B之间的距离．(上述两小题的结果都保留根号)22\n9．(2022·衡阳)一名徒步爱好者来衡阳旅行，他从宾馆C出发，沿北偏东30°的方向行走2000米到达石鼓书院A处，参观后又从A处沿正南方向行走一段距离，到达位于宾馆南偏东45°方向的雁峰公园B处，如图所示．(1)求这名徒步爱好者从石鼓书院走到雁峰公园的途中与宾馆之间的最短距离；(2)若这名徒步爱好者以100米/分的速度从雁峰公园返回宾馆，那么他在15分钟内能否到达宾馆？22\n参考答案类型一针对训练1．解：(1)∵iEF＝1∶0.75＝＝，设EH＝4x，则FH＝3x，EF＝＝5x＝15，∴x＝3，∴FH＝3x＝9，即山坡EF的水平宽度FH为9m.第1题解图(2)如解图，延长BA、FH交于点G，则AG＝EH＝4×3＝12，GH＝AE＝4，∴BG＝BA＋AG＝22.5＋12＝34.5.设CF＝y，则CG＝CF＋FH＋GH＝y＋9＋4＝y＋13，由题知CG∶(BG－CP)≥1.25，∴≥1.25，解得y≥29，∴底部C距F处至少29m远．2．解：如解图，延长DG交CA于点H，得Rt△ABE和矩形BEHG.i＝＝，第2题解图∵BE＝8，∴AE＝6，∵DG＝1.5，BG＝1，∴DH＝DG＋GH＝1.5＋8＝9.5，AH＝AE＋EH＝6＋1＝7.在Rt△CDH中，∵∠C＝∠FDC＝30°，DH＝9.5，∴CH＝＝9.5.又∵CH＝CA＋AH，即9.5＝CA＋7，∴CA≈9.2(米)．答：CA的长约是9.2米．3．解：如解图，过点B作BF⊥AE，交EA的延长线于点F，作BG⊥DE于点G.22\n∵Rt△ABF中，i＝tan∠BAF＝＝，第3题解图∴∠BAF＝30°，∴BF＝AB＝5，AF＝5.∴BG＝AF＋AE＝5＋15.∵Rt△BGC中，∠CBG＝45°，∴CG＝BG＝5＋15.Rt△ADE中，∠DAE＝60°，AE＝15，∴DE＝AE·tan60°＝AE＝15.∴CD＝CG＋GE－DE＝5＋15＋5－15＝20－10≈2.7m.答：宣传牌CD高约2.7米．4．解：如解图，延长BA交CD的延长线于点E，则BE⊥CE，CH＝BE＝4千米，设AE＝x千米，第4题解图∵Rt△ADE中，∠ADE＝50°，∴DE＝＝＝x.∴CE＝x＋2.∵Rt△ACE中，∠ACE＝31°，∴AE＝CE·tan31°，即x＝0.6×(x＋2)，解得x＝2.4，∴AB＝BE－AE＝4－2.4＝1.6(千米)．答：山的高度AB约为1.6千米．22\n5．解：在Rt△APC中，AC＝PC·tan∠APC＝30·tan71°≈30×2.90＝87米，在Rt△BPC中，BC＝PCtan∠BPC＝30·tan35°≈30×0.70＝21米，则AB＝AC－BC＝87－21＝66米，该汽车的平均速度为＝11m/s，∵40km/h≈11.1m/s，∴该车没有超速．6．解：如解图，过点A作AH⊥CD，垂足为点H，由题意知，四边形ABDH为矩形，∠CAH＝30°，第6题解图∴AB＝DH＝1.5，BD＝AH＝6.在Rt△ACH中，CH＝AH·tan∠CAH，∴CH＝6·tan30°＝2(米)．∵DH＝1.5，∴CD＝(2＋1.5)(米)．在Rt△CDE中，∵∠CED＝60°，∴CE＝＝4＋≈5.7(米)，答：拉线CE的长约为5.7米．7．解：能求出小山的高，设小山的高BD为xm.在Rt△ABD中，AD＝.同理，在Rt△ACD中，AD＝＝.即＝.解得：x≈67.4.答：小山的高BD约为67.4m.8．解：如解图，过点A作AG⊥CD，垂足为点G，则∠CAG＝30°，在Rt△ACG中，22\n第8题解图CG＝CA·sin30°＝50×＝25.由题意得GD＝50－30＝20，则CD＝CG＋GD＝25＋20＝45.连接FD并延长与BA的延长线交于点H.由题意得∠H＝30°.∵在Rt△CDH中，CH＝＝2CD＝90，∴EH＝EC＋CH＝AB－BE－AC＋CH＝300－50－50＋90＝290.在Rt△EFH中，EF＝EH·tan30°＝290×＝.∴支撑角钢CD的长度为45cm，EF的长度为cm.9．解：(1)11.4 【解法提示】在Rt△ABC中，∵∠BAC＝64°，AC＝5m，∴AB＝＝5÷0.44≈11.4m；第9题解图(2)如解图，过点D作DH⊥地面于H，交水平线于点E，在Rt△ADE中，∵AD＝20m，∠DAE＝64°，EH＝1.5m，∴DE＝sin64°×AD≈20×0.9≈18m，即DH＝DE＋EH＝18＋1.5＝19.5m，答：如果该吊车吊臂的最大长度AD为20m，那么从地面上吊起货物的最大高度是19.5m.类型二22\n针对训练1．解：如解图，过点A作AN⊥BD于点N，第1题解图在Rt△DNE，tan37°＝≈0.75＝，设DN＝3x，则EN＝4x，在Rt△DNA中，有DN＝3x，AN＝4x－8，∵tan42°＝＝≈0.90，解得：x＝12，∴DN＝3×12＝36，AN＝4×12－8＝40，在Rt△BNA中，由题意知∠NAB＝32°，∵tan32°＝，∴BN＝tan32°AN≈24.8，∴DB＝DN＋BN＝36＋24.8＝60.8，AC＝BN＝24.8，答：甲楼的高为60.8m，乙楼的高为24.8m.2．解：如解图，过点C作CD⊥AB于点D，在Rt△ADC和Rt△BCD中，∵∠CAB＝30°，∠CBA＝45°，AC＝640，∴CD＝AC＝320，AD＝320，∴BD＝CD＝320，BC＝320，∴AC＋BC＝640＋320≈1088，∴AB＝AD＋BD＝320＋320≈864，∴1088－864＝224(公里)，答：隧道打通后与打通前相比，从A地到B地的路程将约缩短224公里．第2题解图3．解：如解图，过D作DE⊥AB于点E，可得四边形CHED为矩形，22\n∴HE＝CD＝40m，设CH＝DE＝xm，在Rt△BDE中，∠DBA＝60°，∴BE＝＝xm，在Rt△ACH中，∠BAC＝30°，∴AH＝＝xm，由AH＋HE＋EB＝AB＝160m，得x＋40＋x＝160，解得：x＝30，即CH＝30m，答：该段运河的河宽为30m.第3题解图4．解：如解图，过点B作BD⊥AC于点D，则∠BAD＝60°，∠DBC＝90°－37°＝53°，第4题解图设AD＝x，在Rt△ABD中，BD＝ADtan∠BAD＝x，在Rt△BCD中，CD＝BDtan∠DBC＝x×＝x，由AC＝AD＋CD可得x＋x＝13，解得：x＝4－3，则BC＝＝＝×(4－3)＝20－5，即BC两地的距离为(20－5)千米．5．解：如解图，过点B作BD⊥AC，垂足为D.设BD＝x.第5题解图在Rt△ABD中，22\n∵∠BAD＝56°－26°＝30°，∴AB＝＝2x，AD＝＝x.在Rt△BCD中，∵∠C＝26°＋19°＝45°，∴BC＝＝x，CD＝＝x.∴AC＝x＋x.由题意得AB＋BC－AC＝20，∴2x＋x－(x＋x)＝20，解得x≈29.4.∴AC≈2.73×29.4＝80.262≈80(千米)．∴从A地直达C地的路程约为80千米．6．解：如解图，延长ED交BC延长线于点F，则∠CFD＝90°，第6题解图∵tan∠DCF＝i＝＝，∴∠DCF＝30°，∵CD＝4，∴DF＝CD＝2，CF＝CD·cos∠DCF＝4×＝2.∴BF＝BC＋CF＝2＋2＝4.过点E作EG⊥AB于G，则GE＝BF＝4，BG＝EF＝ED＋DF＝1.5＋2＝3.5，又∵∠AEG＝37°，∴AG＝GE·tan∠AEG＝4·tan37°≈3.∴AB＝AG＋BG＝(3＋3.5)米．答：旗杆AB的高度约为(3＋3.5)米．7．解：如解图，过点B作BD⊥AC，垂足为D，第7题解图根据题意，得∠ABD＝∠BAM＝37°，∠CBD＝∠BCN＝50°，22\n∵在Rt△ABD中，cos∠ABD＝.∴BD＝AB·cos37°≈10×0.8＝8(海里)．∵在Rt△CBD中，cos∠CBD＝，∴BC＝≈＝12.5(海里)．∴12.5÷30＝(小时)，×60＝25(分钟)．∴渔政船大约需25分钟能到达渔船所在的C处．8．解：(1)如解图，过点P作PD⊥AB于点D，设PD＝x，由题意得知，∠PBD＝45°，∠PAD＝30°.在Rt△BDP中，BD＝PD＝x，在Rt△PDA中，AD＝＝PD＝x，∵AB＝2km，∴x＋x＝2，解得x＝－1，∴点P到海岸线l的距离为(－1)km.(2)如解图，过点B作BF⊥CA于点F，在Rt△ABF中，BF＝AB·sin30°＝2×＝1km.在△ABC中，∠C＝180°－∠BAC－∠ABC＝180°－30°－45°－45°－15°＝45°，∴在Rt△BFC中，BC＝BF＝×1＝km.∴点C与点B之间的距离为km.第8题解图9．解：(1)如解图，过点C作CP⊥AB于P，第9题解图22\n由题意可得：∠A＝30°，AC＝2000米，则CP＝AC＝1000米；答：这名徒步爱好者从石鼓书院走到雁峰公园的途中与宾馆之间的最短距离为1000米．(2)∵在Rt△PBC中，PC＝1000米，∠PBC＝∠BPP＝45°，∴BC＝PC＝1000米．∵这名徒步爱好者以100米/分的速度从雁峰公园返回宾馆需要的时间为＝10＜15.∴他在15分钟内能到达宾馆．22
