解直角三角形的实际应用解直角三角形的实际应用是中考的常考内容之一，它通常以实际生活为背景，考查学生运用直角三角形知识建立数学模型的能力，解答这类问题的方法是运用“遇斜化直”的数学思想，即通过作辅助线(斜三角形的高线)把它转化为直角三角形问题，然后根据已知条件与未知元素之间的关系，利用解直角三角形的知识，列出方程来求解．类型1 仰角、俯角问题1．(2022·深圳)小丽为了测旗杆AB的高度，小丽眼睛距地面1.5米，小丽站在C点，测出旗杆A的仰角为30°，小丽向前走了10米到达点E，此时的仰角为60°，求旗杆的高度．2．(2022·安徽)如图，平台AB高为12m，在B处测得楼房CD顶部点D的仰角为45°，底部点C的俯角为30°，求楼房CD的高度(≈1.7)．3．(2022·青岛)小明在热气球A上看到正前方横跨河流两岸的大桥BC，并测得B，C两点的俯角分别为45°和35°，已知大桥BC与地面在同一水平面上，其长度为100m．请求出热气球离地面的高度．(结果保留整数，参考数据：sin35°≈，cos35°≈，tan35°≈)4\n类型2 方位角问题1．(2022·邵阳)一艘观光游船从港口A处以北偏东60°的方向出港观光，航行80海里至C处时发生了侧翻沉船事故，立即发出了求救信号．一艘在港口正东方向B处的海警船接到求救信号，测得事故船在它的北偏东37°方向，马上以40海里/小时的速度前往救援，求海警船到达事故船C处所需的大约时间．(温馨提示：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6)2．(2022·娄底)如图，有小岛A和小岛B，轮船以45km/h的速度由C向东航行，在C处测得A的方位角为北偏东60°，测得B的方位角为南偏东45°，轮船航行2小时后到达小岛B处，在B处测得小岛A在小岛B的正北方向．求小岛A与小岛B之间的距离．(结果保留整数，参考数据：≈1.41，≈2.45)3．(2022·贺州)如图，一艘海轮在A点时测得灯塔C在它的北偏东42°方向上，它沿正东方向航行80海里后到达B处，此时灯塔C在它的北偏西55°方向上．(1)求海轮在航行过程中与灯塔C的最短距离；(结果精确到0.1)4\n(2)求海轮在B处时与灯塔C的距离．(结果保留整数，参考数据：sin55°≈0.819，cos55°≈0.574，tan55°≈1.428，tan42°≈0.900，tan35°≈0.700，tan48°≈1.111)参考答案类型11．∵∠ADG＝30°，∠AFG＝60°，∴∠DAF＝30°.∴AF＝DF＝10米．在Rt△FGA中，AG＝AF·sin∠AFG＝10×＝5(米)．∴AB＝1.5＋5米．答：旗杆AB的高度为(1.5＋5)米． 2.过点B作BE⊥CD于点E.根据题意，∠DBE＝45°，∠CBE＝30°.∵AB⊥AC，CD⊥AC，∴四边形ABEC为矩形．∴CE＝AB＝12m．在Rt△CBE中，tan∠CBE＝，∴BE＝＝12×＝12(m)．在Rt△BDE中，由∠DBE＝45°，得DE＝BE＝12m．∴CD＝CE＋DE＝12(＋1)≈32.4(m)．答：楼房CD的高度约为32.4m．3.作AD⊥CB延长线于点D.由题知∠ACD＝35°，∠ABD＝45°.在Rt△ACD中，∠ACD＝35°，∴tan35°＝≈.∴CD＝AD.在Rt△ABD中，∠ABD＝45°，∴tan45°＝＝1.∴BD＝AD.由题得BC＝CD－DB＝100.∴AD－AD＝100.解得AD≈233m．答：热气球到地面的距离约为233米．类型21．过点C作CD⊥AB，交AB的延长线于点D.4\n由题意得∠CAD＝30°，∠CBD＝53°，AC＝80海里，在Rt△ACD中，sin30°＝，∴CD＝40海里．在Rt△CBD中，sin53°＝，∴CB＝≈＝50(海里)．∴行驶时间为＝1.25(小时)．答：海警船到达C处需1.25小时． 2.过点C作CP⊥AB于P，∵∠BCF＝45°，∠ACE＝60°，AB∥EF，∴∠PCB＝∠PBC＝45°.∠CAP＝60°.∵轮船的速度是45km/h，轮船航行2小时，∴BC＝90km.∵BC2＝BP2＋CP2，∴BP＝CP＝45km.∵∠CAP＝60°，∴tan60°＝＝.∴AP＝15km.∴AB＝AP＋PB＝15＋45≈100(km)．答：小岛A与小岛B之间的距离是100km. 3.(1)过C作AB的垂线，设垂足为D.根据题意，得∠1＝∠2＝42°，∠3＝∠4＝55°.设CD的长为x海里．在Rt△ACD中，tan42°＝，则AD＝x·tan42°.在Rt△BCD中，tan55°＝，则BD＝x·tan55°.∵AB＝80海里，∴AD＋BD＝80海里．∴x·tan42°＋x·tan55°＝80.解得x≈34.4.答：海轮在航行过程中与灯塔C的最短距离是34.4海里．(2)在Rt△BCD中，cos55°＝，∴BC＝≈60(海里)．答：海轮在B处时与灯塔C的距离是60海里．4
