第五节 解直角三角形的实际应用姓名：________ 班级：________ 限时：______分钟1．(2022·滨州)在△ABC中，∠C＝90°，若tanA＝，则sinB＝________．2．(2022·德州)如图，在4×4的正方形方格中，小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上，则∠BAC的正弦值是________．3．(2022·潍坊)如图，一艘渔船正以60海里/小时的速度向正东方向航行，在A处测得岛礁P在东北方向上，继续航行1.5小时后到达B处，此时测得岛礁P在北偏东30°方向，同时测得岛礁P正东方向上的避风港M在北偏东60°方向．为了在台风到来之前用最短时间到达M处，渔船立刻加速以75海里/小时的速度继续航行________小时即可到达．(结果保留根号)4．(2022·孝感)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，则sinA等于()A. B.C. D.5．(2022·宜昌)如图，要测量小河两岸相对的两点P，A的距离，可以在小河边取PA的垂线PB上的一点C，测得PC＝100米，∠PCA＝35°，则小河宽PA等于()A．100sin35°米B．100sin55°米9\nC．100tan35°米D．100tan55°米6．(2022·日照)如图，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O的圆心O在格点上，则∠BED的正切值等于()A.B.C．2D.7．(2022·上海)如图，已知△ABC中，AB＝BC＝5，tan∠ABC＝.(1)求边AC的长；(2)设边BC的垂直平分线与边AB的交点为D，求的值．8．(2022·台州)图1是一辆吊车的实物图，图2是其工作示意图，AC是可以伸缩的起重臂，其转动点A离地面的高度AH为3.4m．当起重臂AC长度为9m．张角∠HAC为118°时，求操作平台C离地面的高度．(结果保留小数点后一位；参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53)9\n9．(2022·昆明盘龙区一模)如图，C地在A地的正东方向，因有大山阻隔，由A地到C地需绕行B地．已知B地位于A地北偏东67°方向，距离A地520km，C地位于B地南偏东30°方向，若打通穿山隧道，建成两地直达高铁，求A地到C地之间高铁线路的长．(结果保留整数；参考数据：sin67°≈，cos67°≈，tan67°≈，≈1.73)9\n10．(2022·河南)“高低杠”是女子体操特有的一个竞技项目，其比赛器材由高、低两根平行杠及若干支架组成，运动员可根据自己的身高和习惯在规定范围内调节高、低两杠间的距离．某兴趣小组根据高低杠器材的一种截面图编制了如下数学问题，请你解答．如图所示，底座上A，B两点间的距离为90cm.低杠上点C到直线AB的距离CE的长为155cm，高杠上点D到直线AB的距离DF的长为234cm，已知低杠的支架AC与直线AB的夹角∠CAE为82.4°，高杠的支架BD与直线AB的夹角∠DBF为80.3°.求高、低杠间的水平距离CH的长．(结果精确到1cm；参考数据sin82.4°≈0.991，cos82.4°≈0.132，tan82.4°≈7.500，sin80.3°≈0.983，cos80.3°≈0.168，tan80.3°≈5.850)11．(2022·昆明官渡区一模)如图，河的两岸MN与PQ相互平行，点A，B是PQ上的两点，C是MN上的点，某人在点A处测得∠CAQ＝30°，再沿AQ方向前进20米到达点B，测得∠CBQ＝60°，求这条河的宽是多少米？(结果精确到0.1米；参考数据≈1.414，≈1.732)9\n12．(2022·宜宾)某游乐场一转角滑梯如图所示，滑梯立柱AB、CD均垂直于地面，点E在线段BD上，在C点测得点A的仰角为30°，点E的俯角也为30°，测得B、E间距离为10米，立柱AB高30米．求立柱CD的高(结果保留根号)．13．(2022·常州)京杭大运河是世界文化遗产．综合实践活动小组为了测出某段运河的河宽(岸沿是平行的)，如图，在岸边分别选定了点A、B和点C、D，先用卷尺量得AB＝160m，CD＝40m，再用测角仪测得∠CAB＝30°，∠DBA＝60°，求该段运河的河宽(即CH的长)．9\n14．(2022·荆门)数学实践活动小组借助载有测角仪的无人机测量象山岚光阁与文明湖心亭之间的距离．如图，无人机所在位置P与岚光阁阁顶A，湖心亭B在同一铅垂面内，P与B的垂直距离为300米，A与B的垂直距离为150米，在P处测得A，B两点的俯角分别为α，β，且tanα＝，tanβ＝－1，试求岚光阁与湖心亭之间的距离AB.(计算结果若含有根号，请保留根号)参考答案1. 2. 3.4．A 5.C 6.D7．解：(1)过点A作AE⊥BC，在Rt△ABE中，tan∠ABC＝＝，AB＝5，∴AE＝3，BE＝4，∴CE＝BC－BE＝5－4＝1，在Rt△AEC中，根据勾股定理得：AC＝＝；(2)∵DF垂直平分BC，∴BD＝CD，BF＝CF＝，∵tan∠DBF＝＝，∴DF＝，在Rt△BFD中，根据勾股定理得：BD＝＝，∴AD＝5－＝，则＝.9\n8．解：如解图，作CE⊥BD，AF⊥CE，垂足分别为E、F，∴∠CAF＝118°－90°＝28°，由题意得，CF＝AC·sin28°＝9×0.47＝4.23，EF＝AH＝3.4，∴CE＝CF＋EF＝4.23＋3.4＝7.63≈7.6(m)．答：平台C离地面的高度约为7.6m.9．解：如解图，过点B作BD⊥AC于点D，∵B地位于A地北偏东67°方向，距离A地520km，∴∠ABD＝67°，∵在Rt△ABD中，sin∠ABD＝，cos∠ABD＝，∴AD＝AB·sin67°＝520×＝480(km)，BD＝AB·cos67°＝520×＝200(km)，∵C地位于B地南偏东30°方向，∴∠CBD＝30°，∵在Rt△BDC中，tan∠CBD＝， ∴CD＝BD·tan30°＝200×＝(km)，∴AC＝AD＋CD＝480＋≈480＋115＝595(km)，答：A地到C地之间高铁线路的长约为595km.10．解：在Rt△ACE中，9\n∵tan∠CAE＝，∴AE＝＝≈≈21(cm)，在Rt△DBF中，∵tan∠DBF＝，∴BF＝＝≈＝40(cm)，∵EF＝EA＋AB＋BF≈21＋90＋40＝151(cm)，∵CE⊥EF，CH⊥DF，DF⊥EF，∴四边形CEFH是矩形，∴CH＝EF＝151cm，答：高、低杠间的水平距离CH的长约为151cm.11．解：如解图，过点C作CD⊥PQ于D，垂足为点D，∵∠CAB＝30°，∠CBD＝60°，∴∠ACB＝30°，∴AB＝BC＝20米，在Rt△CDB中，∵∠BDC＝90°，sin∠CBD＝＝＝，解得CD＝10≈17.3米．答：这条河的宽约为17.3米．12．解：如解图，作CF⊥AF，垂足为F，∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴四边形CDBF是矩形，∴CF＝BD，CD＝BF，∠ECF＝∠CED＝30°，设DE＝x，∴CF＝BD＝BE＋DE＝10＋x，在Rt△CDE中，tan∠CED＝，∴CD＝xtan30°；在Rt△ACF中，tan∠ACF＝，∴AF＝(10＋x)tan30°；∵AB＝AF＋BF＝AF＋CD＝30，即xtan30°＋(10＋x)tan30°＝30，解得：x＝15－5，9\n∴CD＝xtan30°＝15－(米)．答：立柱CD的高为(15－)米．13．解：如解图，过D作DE⊥AB，可得四边形CHED为矩形，∴HE＝CD＝40m，设CH＝DE＝xm，在Rt△BDE中，∠DBA＝60°，∴BE＝x·tan30°＝xm，在Rt△ACH中，∠HAC＝30°，∴AH＝＝xm，由AB＝AH＋HE＋EB＝x＋40＋x＝160m，解得x＝30，即CH＝30m， 答：该段运河的河宽为30m.14．解：如解图，过点P作PD⊥QB于点D，过点A作AE⊥PD于点E，由题意得∠PBD＝β，∠PAE＝α，AC＝150，PD＝300，在Rt△PBD中，BD＝＝＝300(＋1)．∵∠AED＝∠EDC＝∠ACD＝90°，∴四边形EDCA是矩形．∴DC＝EA，ED＝AC＝150.∴PE＝PD－ED＝300－150＝150.在Rt△PEA中，EA＝＝＝300.∴BC＝BD－DC＝BD－EA＝300(＋1)－300＝300.在Rt△ACB中，AB＝＝＝450. 答：岚光阁与湖心亭之间的距离AB为450米．9
