专题一在坐标系中求解相关量类型一平面直角坐标系中图形的变换如图，矩形ABCD的边BC在x轴上，点A在第二象限，点D在第一象限，AB＝2，OD＝4，将矩形ABCD绕点O旋转，使点D落在x轴上，则点C对应点的坐标是( )A．(－，1)B．(－1，)C．(－1，)或(1，－)D．(－，1)或(1，－)【分析】根据矩形的性质得到CD＝AB＝2，∠DCO＝90°，根据已知条件得到∠DOC＝60°，OC＝2，①当顺时针旋转至△OD′C′时，过C′作C′E⊥OD′于E，②当逆时针旋转至△OD″C″时，如解图，过点C″作C″F⊥OD″于F，解直角三角形即可得到结论．【自主解答】在矩形ABCD中，∵CD＝AB＝2，∠DCO＝90°，OD＝4，∴∠DOC＝60°，OC＝2.①当顺时针旋转至△OD′C′时，如解图，∠D′OC′＝∠DOC＝60°，OC′＝OC＝2，过点C′作CE⊥OD′于E，则OE＝OC′＝1，C′E＝OC′＝，∴C′(1，－)．②当逆时针旋转至△OD″C″时，如解图，∠D″OC″＝∠DOC＝60°，OC″＝OC＝2，过C″作C″F⊥OD″于F，则OF＝OC″＝1，C″F＝OC′＝.∴C″(－1，)．综上所述，点C对应点的坐标是(1，－)，(－1，)，故选C.1．(2022·13\n河南说明与检测)如图，菱形OABC的一边OA在x轴上，将菱形OABC绕原点O顺时针旋转75°至OA′B′C′的位置．若OB＝2，∠C＝120°，则点B′的坐标为()A．(3，)B．(3，－)C．(，)D．(，－)2．(2022·河南模拟)如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x经过点A，作AB⊥x轴于点B，将△ABO绕点B顺时针旋转60°得到△BCD.若点B的坐标为(2，0)，则点C的坐标为()A．(5，)B．(5，1)C．(6，)D．(6，1)3．(2022·新乡改编)如图，在平面直角坐标系中，正方形MNEO的边长为，O为坐标原点，M、E在坐标轴上，把正方形MNEO绕点O顺时针旋转后得到正方形M′N′E′O，N′E′交y轴于点F，且点F恰为N′E′的中点，则点M′的坐标为()A．(－1，2)B．(－，1)C．(－1，)D．(－2，1)4．在平面直角坐标系中，Rt△AOB的两条直角边OA、OB分别在x轴和y轴上，OA＝3，OB＝4.把△AOB绕点A顺时针旋转120°，得到△ADC.边OB上的一点M旋转后的对应点为M′.当AM′＋DM取得最小值时，点M的坐标为()A．(0，)B．(0，)13\nC．(0，)D．(0，3)类型二平面直角坐标系中图形的规律探索如图，动点P从(0，3)出发，沿箭头所示方向运动，每当碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当点P第2018次碰到矩形的边时，点P的坐标为( )A．(1，4)B．(5，0)C．(7，4)D．(8，3)【分析】根据反射角与入射角的定义作出图形，可知每6次反弹为一个循环组依次循环，用2022除以6，根据商和余数的情况确定所对应的点的坐标即可．【自主解答】如解图，经过6次反弹后动点回到出发点(0，3)，∵2018÷6＝336……2，∴当点P第2018次碰到矩形的边时为第337个循环组的第2次反弹，点P的坐标为(7，4)．1．(2022·河南说明与检测)如图所示，小球从台球桌面ABCD上的点P(0，1)出发，撞击桌边发生反弹，反射角等于入射角．若小球以每秒个单位长度的速度沿图中箭头方向运动，则第50秒时小球所在位置的坐标为()A．(2，3)B．(3，4)C．(3，2)D．(0，1)2．(2022·河南说明与检测)如图，在平面直角坐标中，函数y＝2x和y＝－x的图象分别为直线l1，l2，过点(1，0)作x轴的垂线交l1于点A1，过点A1作y轴的垂线交l2于点A2，过点A2作x轴的垂线交l113\n于点A3，过点A3作y轴的垂线交l2于点A4，…，依次进行下去，则点A2018的坐标为()A．(－21009，21009)B．(－21008，21009)C．(21008，21009)D．(21009，－21009)3．如图所示，平面直角坐标系中，已知A(0，0)，B(2，0)，△AP1B是等腰直角三角形，且∠P1＝90°，把△AP1B绕B顺时针旋转180°，得到△BP2C；把△BP2C绕点C顺时针旋转180°，得到△CP3D…，依次类推，则旋转2017次后得到的等腰直角三角形的直角顶点P2018的坐标为()A．(4034，1)B．(4033，－1)C．(4036，－1)D．(4035，－1)4．(2022·阜新改编)如图，在平面直角坐标系中，将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，依此方式，绕点O连续旋转2018次得到正方形OA2018B2018C2018，如果点A的坐标为(1，0)，那么点B2018的坐标为________________．类型三根据几何图形中的动点问题判断函数图象(2022·潍坊)如图，菱形ABCD的边长是4厘米，∠B＝60°，动点P以1厘米/秒的速度自A点出发沿AB方向运动至B点停止，动点Q以2厘米/秒的速度自B点出发沿折线BCD运动至D点停止．若点P、Q同时出发运动了t秒，记△BPQ的面积为S厘米2，下面图象中能表示S与t之间的函数关系的是( )13\n【分析】应根据0≤t＜2和2≤t＜4两种情况进行讨论．把t当作已知数值，就可以求出S，从而得到函数的解析式，进一步即可求解．【自主解答】当0≤t＜2时，S＝2t××(4－t)＝－t2＋4t；当2≤t＜4时，S＝×4××(4－t)＝－t＋4；只有选项D的图象符合，故选D.1．(2022·攀枝花)如图，点A的坐标为(0，1)，点B是x轴正半轴上的一动点，以AB为边作Rt△ABC，使∠BAC＝90°，∠ACB＝30°，设点B的横坐标为x，点C的纵坐标为y，能表示y与x的函数关系的图象大致是()13\n2．(2022·东营)如图所示，已知△ABC中，BC＝12，BC边上的高h＝6，D为BC上一点，EF∥BC，交AB于点E，交AC于点F.设点E到边BC的距离为x，则△DEF的面积y关于x的函数图象大致为()3．(2022·烟台)如图，矩形ABCD中，AB＝8cm，BC＝6cm，点P从点A出发，以1cm/s的速度沿A→D→C方向匀速运动，同时点Q从点A出发，以2cm/s的速度沿A→B→C方向匀速运动．当一个点到达点C时，另一个点也随之停止．设运动时间为t(s)，△APQ的面积为S(cm2)，下列能大致反映S与t之间函数关系的图象是()13\n4．(2022·葫芦岛)如图，在▱ABCD中，AB＝6，BC＝10，AB⊥AC，点P从点B出发沿着B→A→C的路径运动，同时点Q从点A出发沿着A→C→D的路径以相同的速度运动，当点P到达点C时，点Q随之停止运动，设点P运动的路程为x，y＝PQ2，下列图象中大致反映y与x之间的函数关系的是()5．(2022·河南说明与检测)如图，菱形ABCD的边长为5cm，sinA＝.点P从点A出发，以1cm/s的速度沿折线AB→BC→CD运动，到达点D停止；点Q同时从点A出发，以1cm/s的速度沿AD运动，到达点D停止．设点P运动x(s)时，△APQ的面积为y(cm2)，则能够反映y与x之间函数关系的图象是()13\n类型四已知函数图象计算相关量(2022·驻马店一模)如图①，则等边三角形ABC中，点P为BC边上的任意一点，且∠APD＝60°，PD交AC于点D.设线段PB的长度为x，CD的长度为y，若y与x的函数关系的大致图象如图②，则等边三角形ABC的面积为________．图①图②【分析】设出等边三角形的边长，根据等边三角形的性质和相似三角形的性质、以及二次函数的最值，即可确定CD取得最大值时等边三角形的边长，进而得到△ABC的面积．【自主解答】由题可得，∠APD＝60°，∠ABC＝∠C＝60°，∴∠BAP＝∠CPD，∴△ABP∽△PCD，∴＝.设AB＝a，则＝，∴y＝.当x＝a时，y取得最大值2，即P为BC中点时，CD的最大值为2，∴此时∠APB＝∠PDC＝90°，∠CPD＝30°，∴PC＝BP＝4，∴等边三角形的边长为8，∴根据等边三角形的性质，可得S＝×82＝16.1．如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E，F分别是边BC，AD的中点，AB＝2，BC＝4，一动点P从点B出发，沿着B－A－D－C在矩形的边上运动，运动到点C停止，点M为图①中某一定点，设点P运动的路程为x，△BPM的面积为y，表示y与x的函数关系的图象大致如图②所示．则点M的位置可能是图①中的()图①13\n图②A．点CB．点OC．点ED．点F2．(2022·许昌一模)如图①，四边形ABCD中，BC∥AD，∠A＝90°，点P从A点出发，沿折线AB→BC→CD运动，到点D时停止．已知△PAD的面积S大小与点P运动的路程x的函数图象如图②所示，则点P从开始到停止运动的总路程为()图①图②A．4B．2＋C．5D．4＋3．如图①，在矩形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，动点P从点A出发，沿AB匀速运动，到达点B时停止．设点P所走的路程为x，线段OP的长为y.若y与x之间的函数图象如图②所示，则矩形ABCD的周长为________．图①图②4．(2022·信阳模拟)如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点P以每秒2cm的速度从点A出发，沿折线AC－CB运动，到点B停止．过点P作PD⊥AB，垂足为D，PD的长y(cm)与点P的运动时间x(秒)的函数图象如图②所示．当点P运动5秒时，PD的长为________________．13\n图①图②参考答案类型一针对训练1．D2．A 【解析】∵AB⊥x轴于点B，点B的坐标为(2，0)，∴y＝2，∴点A的坐标为(2，2)，∴AB＝2，OB＝2.由勾股定理得，OA＝＝＝4，第2题解图∴∠A＝30°，∠AOB＝60°.∵△ABO绕点B顺时针旋转60°得到△BCD，∴∠C＝30°，CD∥x轴．设AB与CD相交于点E，则BE＝AB＝×2＝，CE＝＝＝3，∴点C的横坐标为3＋2＝5，∴点C的坐标为(5，)，故选A.3．D 【解析】∵四边形M′N′E′O为正方形，13\n第3题解图∴OE′＝N′E′，∠OE′N′＝90°.又∵F是N′E′的中点，∴E′F＝E′N′＝OE′.∵由旋转性质可知，∠E′OF＝∠MOM′，∴在Rt△E′OF中，tan∠E′OF＝；过点M′作M′G⊥x轴，垂足为点G.在Rt△M′GO中，tan∠MOM′＝.设M′G＝k，则OG＝2k.在Rt△M′GO中，OM′＝.根据勾股定理，得M′G2＋OG2＝OM′2.即k2＋(2k)2＝()2，解得k1＝－1(舍)，k2＝1.∴M′G＝1，OG＝2.又∵点M′在第二象限，∴点M′的坐标为(－2，1)．故选D.4．A 【解析】∵把△AOB绕点A顺时针旋转120°，得到△ADC，点M是BO边上的一点，∴AM＝AM′，∴AM′＋DM的最小值＝AM＋DM的最小值．作点D关于直线OB的对称点D′，连接AD′交OB于M，则AD′＝AM′＋DM的最小值，过D作DE⊥x轴于E，如解图，∵∠OAD＝120°，∴∠DAE＝60°.∵AD＝AO＝3，第4题解图∴DE＝×3＝，AE＝，∴D(，)，∴D′(－，)．设直线AD′的解析式为y＝kx＋b，∴∴∴直线AD′的解析式为y＝－x＋，当x＝0时，y＝，∴M(0，)，故选A.类型二针对训练1．A 2.A 3.D 4．(－1，1) 【解析】∵四边形OABC是正方形，且OA＝1，∴B(1，1)，连接OB，如解图，由勾股定理，得OB＝，由旋转得：OB＝OB1＝OB2＝OB3＝…＝.∵将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，相当于将线段OB绕点O逆时针旋转45°，依次得到∠AOB＝∠BOB1＝∠B1OB2＝…＝45°，∴B1(0，)，B2(－1，1)，B3(－，0)，…，发现是8次一循环，所以2018÷8＝252…2，∴点B2018的坐标为(－1，1)．13\n第4题解图类型三针对训练1．C 【解析】如解图，过点C作CD⊥y轴于点D，∵∠BAC＝90°，∴∠DAC＋∠OAB＝90°，∵∠DCA＋∠DAC＝90°，∴∠DCA＝∠OAB.又∵∠CDA＝∠AOB＝90°，∴△CDA∽△AOB，∴＝＝＝tan30°，则＝，故y＝x＋1(x＞0)，则选项C符合题意．故选C.第1题解图2．D 【解析】过点A向BC作AH⊥BC于点H，所以根据相似比可知：＝，即EF＝2(6－x)，所以y＝×2(6－x)x＝－x2＋6x(0＜x＜6)，该函数图象是抛物线的一部分，故选D.3．A 【解析】由题意，得AP＝t，AQ＝2t.①当0≤t≤4时，Q在边AB上，P在边AD上，如解图①，S△APQ＝AP·AQ＝·t·2t＝t2，故选项C、D不正确；②当4＜t≤6时，Q在边BC上，P在边AD上，如解图②，S△APQ＝AP·AB＝t·8＝4t，故选项B不正确；故选A.图①图②第3题解图4．B 【解析】在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，BC＝10，∴AC＝13\n＝8，当0≤x≤6时，AP＝6－x，AQ＝x，∴y＝PQ2＝AP2＋AQ2＝2x2－12x＋36；当6≤x≤8时，AP＝x－6，AQ＝x，∴y＝PQ2＝(AQ－AP)2＝36；当8≤x≤14时，CP＝14－x，CQ＝x－8，∴y＝PQ2＝CP2＋CQ2＝2x2－44x＋260，故选B.5．C类型四针对训练1．B 【解析】∵AB＝2，BC＝4，四边形ABCD是矩形，∴当x＝6时，点P到达D点，此时△BPM的面积为0，说明点M一定在BD上，∴从选项中可得只有O点符合，∴点M的位置可能是图①中的点O.2．D 【解析】作CE⊥AD于点E，如解图所示，由图象可知，点P从A到B运动的路程是2，当点P与点B重合时，△ADP的面积是5，由B到C运动的路程为2，∴＝＝5，解得AD＝5.又∵BC∥AD，∠A＝90°，CE⊥AD，∴∠B＝90°，∠CEA＝90°，∴四边形ABCE是矩形，∴AE＝BC＝2，∴DE＝AD－AE＝5－2＝3，∴CD＝＝＝，∴点P从开始到停止运动的总路程为AB＋BC＋CD＝2＋2＋＝4＋.第2题解图3．28 【解析】∵当OP⊥AB时，OP最小，且此时AP＝4，OP＝3，∴AB＝2AP＝8，AD＝2OP＝6，∴C矩形ABCD＝2(AB＋AD)＝2×(8＋6)＝28.4．2.4cm 【解析】∵P以每秒2cm的速度从点A出发，∴从题图②中得出AC＝2×3＝6cm，BC＝(7－3)×2＝8cm.∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∴AB＝＝＝10cm，∴sinB＝＝＝.∵当点P运动5秒时，BP＝2×7－2×5＝4cm，∴PD＝4×sinB＝4×＝2.4(cm)．13
