知识点23：勾股定理及逆定理OABC812一、选择题1.（2022慈溪市年初中毕业生学业考试模拟试卷数学试题，12，3分）已知△ABC中，AC=BC，∠C=Rt∠．如图，将△ABC进行折叠，使点A落在线段BC上(包括点B和点C)，设点A的落点为D，折痕为EF，当△DEF是等腰三角形时，点D可能的位置共有（）(A)2种(B)3种(C)4种(D)5种【答案】B2.（佛山市一中2022年中考模拟试卷数学卷，8，3分）如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC是正方形,点A的坐标是(4,0),点P为边AB上一点,∠CPB=,沿CP折叠正方形,折叠后,点B落在平面内处,则的坐标为A.B.C.D.【答案】C3.（·2022年福州市初中毕业班质量检查数学试卷，8，4分）△ABC中，、、分别是∠A，∠B，∠C的对边，如果，那么下列结论正确的是（）A、B、C、D、【答案】B4.（2022·三河市2022－2022学年度九年级第一次教学质量检测，6，2分）如图所示，在圆⊙O内有折线OABC，其中OA＝8，AB＝12，∠A＝∠B＝60°，则BC的长为（）A．19B．16C．18D．20\n【答案】D5.（2022山东济南市中考模拟试卷13，3分）给出下列命题：①反比例函数的图象经过一、三象限，且随的增大而减小；②对角线相等且有一个内角是直角的四边形是矩形；③我国古代三国时期的数学家赵爽，创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合得到方法，给出了勾股定理的详细证明（右图）；④相等的弧所对的圆周角相等.其中正确的是（▲）（A）③④（B）①②③（C）②④（D）①②③④（第5题③）【答案】B6.（2022-2022学年度第二学期初三数学一模试题，12，2分）如图1，将边长为12cm的正方形纸片ABCD折叠，使得点A落在边CD上的E点，折痕为MN，若MN的长为13cm，则CE的长为（）A．6B．7C．8D．10ABCMN图1【答案】B7.（重庆綦江县2022年初中毕业暨高中招生模拟考试，5，4分）如图，以正方形的边为直径作⊙O,过点作直线切⊙O于点,交边于点.则三角形和直角梯形周长之比为()\nA.3:4B.4:5C.5:6D.6:7【答案】A8.（2022年南京市综合体九年级中考模拟卷（1），6，2分）(第8题)(第5题)将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF．若AB＝6，则BC的长为(▲)A．1B．2C．2D．12【答案】C9.（2022年南京市综合体九年级中考模拟卷（1），11，2分）如图，平行四边形ABCD中，AD＝5cm，AB⊥BD，点O是两条对角线的交点，OD＝2，则AB＝▲cm．(第10题)(第9题)【答案】310．（2022·北京市门头沟区数学一模试题，4，4分）如图，在矩形ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，点E、F分别是OD、OC的中点．如果AC=10，BC=8，那么EF的长为A．6B．5C．4D．3【答案】D11.（北京房山区2022年初三数学统一练习(一)，4，4分）如图，AB为圆O的直径，弦CD^AB，垂足为点E，联结OC，若OC=5，AE=2，则CD等于A．3B．4C．6D．8\n（11题图）【答案】D12.（大连市2022年初中毕业升学考试试测（一），7，3分）如图4，在矩形ABCD中，DE平分∠ADC交BC于点E，EF⊥AD交AD于点F，若EF＝3，AE＝5，则AD等于A．5B．6C．7D．8ABCDEF图4【答案】C13.（2022年内蒙古乌海二中初三年级毕业模拟考试试题，10,3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，AB的垂直平分线DE交BC的延长线于点E，则CE的长为（）ADBEC第13题图A．B．C．D．2【答案】B14.（2022山东省2022年中考模拟试卷，12，3分）ACB0．5=i1：第14题.右图为护城河改造前后河床的横断面示意图，将河床原竖直迎水面BC改建为坡度1：0．5的迎水坡AB，已知AB=4米，则河床面的宽减少了________________米．（即求AC的长）【答案】415.（2022河北省石家庄市中考模拟试卷，12，2分）如图7，将边长为12cm的正方形纸片ABCD折叠，使得点A落在边CD上\n的E点，折痕为MN，若MN的长为13cm，则CE的长为（）A．6B．7C．8D．10ABCMN图7【答案】B16.（2022福建省晋江市初中数学质检测试，7题，3分）如图，以点为圆心的两个同心圆中，大圆的弦是小圆的切线，为切点，若两圆的半径分别是、，则弦的长为（）.A.B.C.D.AOB第16题图C【答案】A17.（2022年河南中招最后20天押题试卷数学（六），5，3分）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是正方形，点A的坐标是(2，0)，点P为边AB上一点，∠CPB＝60°，沿CP折叠正方形，折叠后，点B落在平面内点B′处，则B′点的坐标为（）A.（1，）B.（1,2-）ABCP60°B’yOx(第17题)C.(2,-1)D.(,2-)【答案】B18（2022年长沙市初中毕业学业水平考试模拟试卷（一），18，3分）如图，已知矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C/处，BC/交AD于E，AD=8，AB=4，则DE的长为A.3B.4C.5D.618.\n【答案】19.（2022年江苏太仓市初三教学质量调研试卷，6，3分）如图，正三角形的内切圆半径为1，那么这个正三角形的边长为A．2B．3C．D．2【答案】D20．（浙江省化妆师上城区2022年中考模拟卷数学，10，3分）下列命题：如图，正方形ABCD中，E、F分别为AB、AD上的点，AF＝BE，CE、BF交于H，BF交AC于M，O为AC的中点，OB交CE于N，连OH.下列结论中：①BF⊥CE；②OM＝ON；③；④.其中正确的命题有（）(第10题图)A．只有①②B．只有①②④C．只有①④D．①②③④【答案】B21.（2022·××省××市X模，题号，分值）××××××××××××××××【答案】22.（2022·××省××市X模，题号，分值）××××××××××××××××【答案】23.（2022·××省××市X模，题号，分值）××××××××××××××××【答案】24.（2022·××省××市X模，题号，分值）××××××××××××××××【答案】25.（2022·××省××市X模，题号，分值）××××××××××××××××【答案】\n70.（2022·××省××市X模，题号，分值）××××××××××××××××【答案】68.（2022·××省××市X模，题号，分值）××××××××××××××××【答案】69.（2022·××省××市X模，题号，分值）××××××××××××××××【答案】70.（2022·××省××市X模，题号，分值）××××××××××××××××【答案】68.（2022·××省××市X模，题号，分值）××××××××××××××××【答案】69.（2022·××省××市X模，题号，分值）××××××××××××××××【答案】70.（2022·××省××市X模，题号，分值）××××××××××××××××【答案】二、填空题1.（江西省2022年中等学校招生考试，15，3分）如图在梯形ABCD中,∠DCB=900;AB∥CD,AB=25,BC=24.将该梯形折叠,点A愉好与点D重合,BE为折痕,那么AD的长度为________._B_D_E_A_C【答案】AD=302.（江西省2022年中等学校招生考试五，14，3分）如图是一个圆锥形冰淇淋，已知它的母线长是13cm，高是12cm，则这个圆锥形冰淇淋的底面面积是cm2(第2题图)腾王阁牌【答案】3.（2022·卢湾区2022学年初中毕业统一学业模拟考试，17，4分）如图，点是的重心，，垂足为点，若，则点到的距离为 ▲ （第3题图）\n【答案】94.（2022年松江区初中毕业生学业模拟考试数学试卷，17，4分）如图，矩形ABCD与圆心在AB上的圆O交于点G、B、F、E，GB=10，EF=8，那么AD=▲．GABCDFOE(第4题图)【答案】35.（2022酒泉市学校招生学业考试模拟试卷，13，3分）如图，在⊙O中，弦AB＝AC＝5cm，BC＝8cm，则⊙O的半径等于cm。【答案】6.（2022年郑州市中考数学模拟试卷,14,3分）如图，，切⊙O于，两点，若，⊙O的半径为，则阴影部分的面积为．APBO【答案】7.（2022黄冈市红安县初中毕业生调研考试，7，3分。）如图1，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若AC=6，BC=5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是_______________；\n图2ABC图1ABC【答案】768.（浙江舟山市2022年初中毕业生学业模拟考试试卷，16，4分）如图，Rt△ABC中，∠C=Rt∠，AC=10，BC=20，正方形DEFG顶点G、F分别在AC、BC边上，D、E在边AB上，且JE//GH//BC，IF//DK//AC，则四边形HIJK的面积=。【答案】9.（重庆一中初2022级10—11学年度下期半期考试，14，4分）圆锥的高为4cm，底面半径为3cm，则它的侧面积为_________cm2.(结果保留)【答案】1510．（北京昌平区2022—2022学年第二学期初三年级第一次统一练习，11，4分）如图，已知菱形ABCD的边长为5，对角线AC，BD相交于点O，BD=6，则菱形ABCD的面积为.【答案】2411.（2022·北京市海淀区数学一模试题，11，4分）如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点H，若∠D=30°，CH=1cm，则AB=cm．【答案】\n12.（2022·北京市丰台区数学一模试题，11，4分）如图，AB为⊙O的弦，⊙O的半径为5，OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，且CD＝l，则弦AB的长是．【答案】613.（2022·江苏阜宁GSJY中考冲刺预测数学一模试题，18，3分）已知：点F在正方形纸片ABCD的边CD上，AB=2，∠FBC=30°（如图1）；沿BF折叠纸片，使点C落在纸片内点C＇处（如图2）；再继续以BC＇为轴折叠纸片，把点A落在纸片上的位置记作A＇（如图3），则点D和A＇之间的距离为_________.ADADDC＇FFFA＇BCBB图1图2图3【答案】14.…（2022－2022学年度淮北市“五校”联考5一模），14，5分）如图，正方形ABCD中，E是BC边上一点，以E为圆心，EC为半径的半圆与以A为圆心，AB为半径的圆弧外切，则tan∠EAB的值是_________【答案】3/415.（2022·江苏省泰州市中考数学适应性训练试题，16题，3分）（第15题）如图，过正方形的顶点作直线，过作的垂线，垂足分别为．若，，则的长度为．\n【答案】16.（2022江苏省南康市九年级摸底考试数学试题，16，3分）在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，F是AB边上的中点，点D、E分别在AC、BC边上运动，且保持AD=CE．连结DE、DF、EF．在此运动变化过程中，有下列五个结论：①△DFE是等腰直角三角形；②四边形CDFE不可能为正方形；③DE长度的最小值为4；④四边形CDFE的面积保持不变；⑤△CDE面积的最大值为8．其中正确结论是．【答案】①④⑤17.（2022年河南中招考试说明解密预测试卷数学（四），12，3分）如图，边长为3的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转30º后得到正方形EFCG，EF交AD于点H，那么DH的长为.【答案】18.（2022年河南中招最后20天押题试卷数学(五)，11题，3分）如图，是⊙的直径，弦于，如果AB=10，CD=6，那么BE的长为．【答案】919.（2022年河南中招最后20天押题试卷数学(一)，14题，3分）如图，在梯形中，，，cm，cm，将该梯形折叠，点恰好与点重合，为折痕，那么梯形的面积为cm2．DCBEA（第19题）\n【答案】38420．（2022年江苏省扬州市九年级网上阅卷适应性数学试题，15题，3分）如图，将⊙O沿着弦AB翻折，劣弧恰好经过圆心Ο，若⊙O的半径为4cm，则弦AB的长度等于cm.【答案】420．（2022年江苏省扬州市九年级网上阅卷适应性数学试题，16题，3分）为方便行人，打算修建一座高5米的过街天桥，若天桥的斜面的坡度为i=1:1.5，则斜坡的长度为______________米（结果保留根号）.【答案】21（2022·年苏州市中考数学模拟试卷(十)，8，3分）如图，将边长为8cm的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在BC边中点E处，点A落在点F处，折痕为MN，则线段CN的长是()A．3cmB．4cmC．5cmD．6cm【答案】A22（江西省2022年数学中考样卷(三)，11题，3分）如图，已知⊙O的半径为2cm，点C是直径AB的延长线上一点，第22题图且，过点C作⊙O的切线,切点为D,则CD=★cm．【答案】23.（2022年东阳市初中学业考试数学调研测试卷，15，4分）如图是一个有部分埋入土中的排污管道的截面图，如果测得AB与\n弓形的高度EF均为80cm，那么此管道的半径为▲cm。【答案】50cm24.（2022·××省××市X模，题号，分值）××××××××××××××××【答案】25.（2022·××省××市X模，题号，分值）××××××××××××××××【答案】26.（2022·××省××市X模，题号，分值）××××××××××××××××【答案】27.（2022·××省××市X模，题号，分值）××××××××××××××××【答案】28.（2022·××省××市X模，题号，分值）××××××××××××××××【答案】三、解答题1.（江西省2022年中等学校招生考试二，20，8分）如图，将直角三角形纸片ABC沿边BC所在直线向右平移，使B点移至斜边BC的中点E处，连接AD、AE、CD。（1）求证：四边形AECD是菱形。（2）若直角三角形纸片ABC的斜边BC的长为100cm，且AC＝60cm.求ED的长和四边形AECD的面积；【答案】【思路分析】通过平移过程得出AECD为平行四边形，再由直角三角形得出AC⊥DE,对角线互相垂直的平行四边形为菱形。（1）【证明】因为将直角三角形纸片ABC沿边BC所在直线向右平移，所以AD∥BE且AD=BE,又E为BC的中点，得BE=EC,AD∥EC且AD=EC,所以四边形AECD为平行四边形……2分,因为AB∥DE,AB⊥AC得DE⊥AC，所以四边形AECD是菱形（2）解：∵直角三角形纸片ABC的斜边BC的长为100cm，∴菱形AECD的周长为200cm∴AE=EC=CD=DA=50cm在菱形AECD中，AC⊥ED，设AC与ED交于点O,且AO＝CO，EO＝DO∴AO＝CO＝AC＝30cm\n∴在Rt△AOE中，∴ED＝2EO＝80cm2.（江西2022中考预测卷六，22，8分）如图，BD是⊙O的直径，AB与⊙O相切于点B，过点D作OA的平行线交⊙O于点C,AC与BD的延长线相交于点E．①试探究AE与⊙O的位置关系，并说明理由；②已知EC=a，ED=b，AB=c，请你思考后，选用以上适当的数据，设计出计算⊙O的半径r的一种方案；1)你选用的已知数是_________；2)写出求解过程(结果用字母表示)．【答案】【思路分析】（1）由AB是圆的切线，得到∠ABO＝90°，借助平行容易得到∠AOB=∠AOC.从而得到△AOC≌△AOB则易证AD是切线；（2）结合图形中的平行线、切线等知识可有不同的选择方式；利用相似或勾股定理可证明得到解；①AE与⊙O相切.理由：连接OC.∵CD∥OA∴∠AOC=∠OCD，∠ODC=∠AOB.又∵OD=OC，∴∠ODC=∠OCD.∴∠AOB=∠AOC.在△AOC和△AOB中，OA=OA，∠AOB=∠AOC，OB=OC.∴△AOC≌△AOB，∴∠ACO=∠ABO∵AB与⊙O相切，∴∠ACO=∠ABO=90°∴AE与⊙O相切.②选择a、b、c，或其中2个.解：若选择a、b、c，方法一：由CD∥OA，=，得r=方法二：在Rt△ABE中，由勾股定理(b+2r)2+c2=(a+c)2，得r=方法三：由Rt△OCE∽Rt△ABE，=，得r=若选择a、b.方法一：在Rt△OCE中，由勾股定理：a2+r2=(b+r)2，得r=方法二：连接BC，由△DCE∽△CBE，得r=\n若选择a、c；需综合运用以上多种方法，得r=3.（江西省2022年中等学校招生考试五，23，9分）已知是⊙的直径，是⊙的切线，是切点，与⊙交于点.（Ⅰ）如图①，若，，求点A到PB的距离（结果保留根号）；（Ⅱ）如图②，若为的中点，求证直线是⊙的切线.ABCOP图①ABCOPD图②第（23）题【答案】ABCOPD【思路分析】通过直径对所对的圆周角是直角，在直角三角形ABC中应用勾股定理求出AC的长度。再通过连接OA、AC，应用切线的判定来证明DC是切线。解：（Ⅰ）∵是⊙的直径，是切线，∴.连接AC，，，，∴BC=AB/2=1由勾股定理，得点A到PB的距离为(Ⅱ)如图，连接、∵是⊙的直径，∴，有在Rt△中，为的中点，∴.∴又∵，∴.∵，\n∴即.∴直线是⊙的切线.4.（江西省2022年中等学校招生考试一，25，10分）如图1，在边长为8的正方形ABCD中，点O为AD上一动点（4＜OA＜8），以O为圆心，OA的长为半径的圆交边CD于点M，连接OM，过点M作⊙O的切线交边BC于N（1）求证：△ODM∽△MCN;（2）设DM=x，求OA的长（用含x的代数式表（3）在点O的运动过程中，设△CMN的周长为P，试用含x的代数式表示P，你能发现怎样的结论？【答案】【解析】考查点：本题考查了圆与直线的位置关系、勾股定理、相似三角形性质等知识.解题思路：由于O点是动点，在确定△ODM与△MCN是否相似，或求OA的长时，必须把O看成是“静”点，即设O点在AD（4＜OA＜8）上的某一处，再应用切线的性质（OM⊥MN）推出△ODM与△MCN相似，同时也易在直角△DMO中，由勾股定理得到含x的代数式表示R的关系式；进而利用相似三角形性质，用变量x分别表示MC、NC、MN的长，由此不难发现△MCN周长的结论.解：（1）∵MN切⊙O于点M，∴∵∴又∵∴△∽△,（2）在Rt△中，，设；∴，由勾股定理得：，∴，∴；\n（3）∵，又且有△∽△,∴,∴代入得到；同理，∴代入得到；∴△CMN的周长为P==16发现：在点O的运动过程中，△CMN的周长P始终为16，是一个定值．5.（2022学年第二学期徐汇区初三年级数学学科学习能力诊断卷，22，10分）如图，正方形ABCD中，M是边BC上一点，且BM=.（1）若试用表示；（2）若AB=4，求sin∠AMD的值.ABDCM【答案】1）∵正方形ABCD，∴AD//BC，AB//CD，且AB=CD=BC=AD，∵BM=，∴，∴（2）∵AB=4，且BM=，∴MC=3，BM=1，在Rt△DMC中，DM在Rt△ABM中，AM过点A作AE⊥DM于E，S△ADM=,∴.在Rt△AEM中，sin∠AMD\n6.（2022·年宝山、嘉定两区学业考试数学模拟卷，21，10分）如图，△ABC中，AB=AC，，点D在边BC上，BD=6，CD=AB.(1)求AB的长；(2)求的正切值.DCBA【答案】解：（1）过点A作AH⊥BC，垂足为H∵∴设∵∴，在Rt△中，，又∴解得：，所以（2）（1分）在Rt△中，，又，∴在Rt△中，∴的正切值是7.（2022·上海市奉贤区中考模拟数学试卷，21，10分）如图，△ABC中，，点E是AB的中点，过点E作DE⊥AB交BC于点D，联结AD，若AC=8，．（１）求：的长；（２）求：的长．\nABCDE第7题图【答案】解：(1) 在中， ∴设∴∴∴(2)∵点是的中点，∴∴在中,∴（解一）∴（解二）∵在中，∴∽∴∴∴ ∴8.（2022·上海市奉贤区中考模拟数学试卷，25，14分）××××××××××××××××【答案】(1)∵正方形BEFG、正方形DMNK、正方形ABCD∴∠E=∠F=90O，AE//MC，MC//NK∴AE//NK∴∠KNA=∠EAF∴∴即∴（2）由（1）可知：∴\n∵正方形DMNK∴∴∴∴∴∴∴（3）联结PG，延长FG交AD于H点，则。易知：；；。①当两圆外切时，在中，即解得：（负值舍去）②当两圆内切时，在中，即，方程无解所以，当时，这两个圆相切。9.（2022·黄浦区2022年初三学业考试模拟考数学试卷，21，10分）如图，在△ABC中，∠ACB，AC=6，BC=8，CD是边AB上的中线.（1）求CD的长；（2）请过点D画直线AB的垂线，交BC于点E，（直接画在图中）并求CE的长.BCAD【答案】解：（1）在△ABC中，∠ACB，AC=6，BC=8，则.又CD是边AB上的中线,所以.(2)作图（略）.∵DE⊥AB，∴∠BDE==∠ACB，又∵∠B=∠B，\n∴△EDB∽△ABC，∴,又DB=,∴,∴10．（2022上海市静安区2022年4月中考模拟数学试卷，25，14分）如图，在半径为5的⊙O中，点A、B在⊙O上，∠AOB=90º，点C是AB上的一个动点，AC与OB的延长线相交于点D，设AC=，BD=．（1）求关于的函数解析式，并写出它的定义域；（2）如果⊙与⊙O相交于点A、C，且⊙与⊙O的圆心距为2，当BD=OB时，求⊙的半径；（3）是否存在点C，使得△DCB∽△DOC？如果存在，请证明；如果不存在，请简要说明理由．BDCAO（第10题图）【答案】解：（1）过⊙O的圆心作OE⊥AC，垂足为E，∴AE=，OE=．∵∠DEO=∠AOB=90º，∴∠D=90º–∠EOD=∠AOE,∴△ODE∽△AOE.∴,∵OD=,∴．∴关于的函数解析式为：．定义域为：．（2）当BD=OB时，，．∴．\n∴AE=，OE=．当点在线段OE上时，，．当点在线段EO的延长线上时，，．的半径为或．（3）存在，当点C为AB的中点时，△DCB∽△DOC．证明如下：∵当点C为AB的中点时，∠BOC=∠AOC=∠AOB=45º，又∵OA=OC=OB，∴∠OCA=∠OCB=，∴∠DCB=180º–∠OCA–∠OCB=45º．∴∠DCB=∠BOC．又∵∠D=∠D，∴△DCB∽△DOC．∴存在点C，使得△DCB∽△DOC．11.（卢湾区2022学年初中毕业统一学业模拟考试，22，10分）已知：如图，是的直径，是上一点，CD⊥AB，垂足为点，是的中点，与相交于点，8cm，cm.（1）求的长；（2）求的值.（第22题图）【答案】解：（1）∵是的中点，∴，又是半径，∴，，∵8cm，∴cm，在Rt中，，又∵cm，∴，解得，∴cm.（2）∵，∴，\n∵CD⊥AB，∴，∴，∴，∵，∴12.（上海市闵行区2022年4月中考模拟数学试卷，21，10分）已知：如图，BC是⊙O的弦，点A在⊙O上，AB=AC=10，．求：（1）弦BC的长；ABCO（第12题图）（2）∠OBC的正切的值．【答案】解：（1）联结AO，AO的延长线与弦BC相交于点D．在⊙O中，∵AB=AC，∴．又∵AD经过圆心O，∴AD⊥BC，BC=2BD．在Rt△ABD中，AB=10，，∴．于是，由勾股定理得．∴BC=12．（2）设⊙O的半径OB=r．在⊙O中，由OA=OB=r，得OD=8–r．在Rt△OBD中，利用勾股定理，得，即得．解得．∴．∴．∴13.（2022·上海市浦东新区2022年4月中考模拟数学试卷,21,10分）OCDABE（第13题图）如图，已知AB是⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为点E，如果BE=OE，AB=10cm，求△ACD的周长．\n【答案】解：联结OC．∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，∴．∵AB=10cm，∴AO=BO=CO=5cm．∵BE=OE，∴cm，cm．在Rt△COE中，∵CD⊥AB，∴．∴cm．∴cm．同理可得cm，cm．∴△ACD的周长为cm14.（上海市杨浦区2022年4月中考模拟数学试卷，21，10分）在一次课外实践活动中，同学们要知道校园内两处的距离，但无法直接测得。已知校园内A、B、C三点形成的三角形如图所示，现测得m，m，，请计算两处之间的距离．CBA【答案】解：过C作CH⊥AB于H，∵，∴∠CAH=60°，∵,∴AH=3，HC=，在Rt△BCH中，∵，HC=，∴BH=∴AB=BH-AH=13-3=10即两处之间的距离为10米。15.（2022年中山市一中第一次模拟考试，21，10分）如图，AB是8O的直径，点C在BA的延长线上，直线CD与\n8O相切于点D，弦DF^AB于点E，线段CD=10，连接BD；（1）求证：ÐCDE=ÐDOC＝2ÐB；（2）若BD：AB=：2，求8O的半径及DF的长。ABCDEFO【答案】⑴证明：∵CD切⊙O∴OD⊥CD又∵DF⊥AD∴∠CDE=∠DOC∵OD=OB∴∠B=∠OBD∠COD=∠B+∠OBD∴∠CDE=∠COD=2∠B⑵连AD,设BD=R,则AB=2k∵AB为直径，∴∠ADB=90°∴AD=∴AB=2AD,∠B=30°∠COD=60°，∠C=30°∴BD=CD=10，DE=5直径AB⊥DF∴DF=2DE=10BD=k=10，∴k=，∴AB=，∴半径为16.（2022年中山市一中第一次模拟考试，22，12分）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝7，CD＝1，AD＝BC＝5．点M，N分别在边AD，BC上运动，并保持MN∥AB，ME⊥AB，NF⊥AB，垂足分别为E，F．（1）求梯形ABCD的面积；（2）求四边形MEFN面积的最大值．（3）试判断四边形MEFN能否为正方形，若能，求出正方形MEFN的面积；若不能，请说明理由．CDABEFNM【答案】⑴过C作CG⊥AB于G\n∵AB=7,CD=1∴BG=由BC=5∴CG==4S=⑵∵MN∥AB,且ME⊥AB,NF⊥AB∴四边形EFNM为矩形设BF为x，四边形MEFN的面积只为y∵NF∥CG,∴BFN∽BGC即∴NF=EF\7-2x∴y=（7-2x）当x=时，四边形MEFN的最大值为⑶当=7-2x时，即x=，MEFN为正方形此时正方形边长为正方形面积为17.（2022年黄冈市张榜中学数学中考模拟试题，20，6分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，CD∥AB，且AB是⊙O的直径，AE⊥CD交CD延长线于点E.(1)求证：AE是⊙O的切线；(2)若AE=2，CD=3，求⊙O的直径.【答案】1）证明：由AE⊥CD，可证∠EDA＋∠EAD＝90°；易证∠EDA＝∠ABC＝∠BAD，所以∠BAD＋∠EAD＝90°，即∠EAB＝90°，故AE为⊙O的切线。（2）作OF⊥CD于F，连结OD，可证OF＝AE＝2，由垂径定理可得，，由勾股定理得，所以直径AB＝5。18.（2022年黄冈市九年级数学4月调研试题，18题，7分）已知，如图，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°,D为AB边上一点，\n求证：（1）△ACE≌△BCD;(2)【答案】证明：（1）∵∠ACB=∠DCE=90°∴∠ACE=∠DCB在△ACE和△BCD中△ACE≌△BCD(2)由（1）知：△ACE≌△BCD则∠EAC=∠B∵∠B+∠BAC=90°∴∠EAC+∠BAC=90°即∠DAE=90°∴19.（2022年深圳市数学中考摸拟试卷，20，7分）如图，正方形ABCD的边长是6，点F在AD上，点E在AB的延长线上，，且△CEF的面积是24.（1）求证：△CDF≌△CBE；（2）求DF的长度.DCAFBE【答案】\n（1）证明：是正方形，，≌（2）解：由（1）得由的面积是24，可得在中，20．（2022年深圳市数学中考摸拟试卷，22，8分）如图，在Rt△ABC中，ÐACB，BC=9，CA=12，ÐABC的平分线BD交AC于点D，DE^DB交AB于点E；⊙O是△BDE的外接圆，交BC于点F.（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）求⊙O的半径.BCFDAE.O【答案】证明（1）连接OD，∵DE^DB，∴BE是⊙O的直径BCFDAE.O123∴OD=OB，即Ð2=Ð3又∵BD平分ÐABC，∴Ð1=Ð2，Ð1=Ð3，∴BC//OD.RtDABC中，ÐACB，∴OD^AC∴直线AC是⊙O的切线。（2）设⊙O的半径为r，RtDABC中，BC=9，CA=12∴∵BC//OD,DADO∽DACB∴，，解得21．（徐州市2022年初中毕业、升学模拟考试一，24，8分）在东西方向的海岸线上有一长为1km的码头MN（如图），在码头西端M的正西19．5km\n处有一观察站A．某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于A的北偏西30°,且与A相距40km的B处；经过1小时20分钟，又测得该轮船位于A的北偏东60°，且与A相距km的C处．（1）求该轮船航行的速度（保留精确结果）；（2）如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否正好行至码头MN靠岸？请说明理由．【答案】解：（1）由题意，得∠BAC=90°∴．∴轮船航行的速度为km/时．）(2)能．……（4分）作BD⊥l于D，CE⊥l于E，设直线BC交l于F，则BD=AB·cos∠BAD=20，CE=AC·sin∠CAE=，AE=AC·cos∠CAE=12．∵BD⊥l,CE⊥l,∴∠BDF=∠CEF=90°．又∠BFD=∠CFE，∴△BDF∽△CEF，∴，∴EF=8．∴AF=AE+EF=20．∵AM＜AF＜AN，∴轮船不改变航向继续航行，正好能行至码头MN靠岸．22.（2022年南京市江宁区第二学期初三调研测试卷一模，25，7分）如图，等腰直角△ABC中，∠ABC=90°，点D在AC上，将△ABD绕顶点B沿顺时针方向旋90°后得到△CBE.⑴求∠DCE的度数；⑵当AB=4，AD:DC=1:3时，求DE的长.DCABE【答案】解：（1）∵△CBE是由△ABD旋转得到的，∴△ABD≌△CBE，∴∠A＝∠BCE＝45°，\n∴∠DCE＝∠DCB＋∠BCE＝90°（2）∵在等腰直角三角形ABC中，∵AB＝４，∴AC＝４又∵AD︰DC＝１︰3,∴AD=,DC=3,由（１）知AD＝CE且∠DCE＝90°,∴DE＝DC＋CE＝2＋18＝20，∴DE＝223.（2022年南京市溧水县中考数学测试卷一模，23，7分）如图，在平面直角坐标系中，以A(5，1)为圆心，以2个单位长度为半径的⊙A交x轴于点B、C．解答下列问题：(1)将⊙A向左平移____▲_____个单位长度与y轴首次相切，得到⊙A1．此时点A1的坐标为____▲_____，阴影部分的面积S＝____▲_____；(2)求BC的长．AA1CBOyx5132第23题【答案】解：（1）3、（2、1）、6连接AC，过点A作AD⊥BC于点D,则BC=2DC．由A（5,1）可得AD=1．又∵AC=2,∴在Rt△ADC中,∴BC=24.（2022年南京市溧水县中考数学测试卷一模，28，9分）已知，，（如图）．是射线上的动点（点与点不重合），是线段的中点．（1）设，的面积为，求关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（2）如果以线段为直径的圆与以线段为直径的圆外切，求线段的长；（3）连结，交线段于点，如果以为顶点的三角形与相似，求线段的长．BADMEC第24题图BADC备用图\n【答案】解：（1）取中点，连结，为的中点，，．又，．，得；（2）过D作DP⊥BC，垂足为P，∠DAB=∠ABC=∠BPD=90°，∴四边形ABPD是矩形．以线段为直径的圆与以线段为直径的圆外切，，又，∴DE=BE+AD-AB=x+4-2=x+2……4分PD=AB=2，PE=x-4，DE2=PD2+PE2，∴（x+2）2=22+（x-4）2，解得：．∴线段的长为．（3）由已知，以为顶点的三角形与相似，又易证得．由此可知，另一对对应角相等有两种情况：①；②．①当时，，．．，易得．得；②当时，，．．又，．，即=，得x2=[22+（x-4）2]．解得，（舍去）．即线段的长为2．综上所述，所求线段的长为8或2．25.（2022年南京市六合区中考数学测试卷一模，23，8分）【答案】如图，为了测量山坡AQ上的小树BC（竖直向上）的高，测得坡角∠PAQ为30°，坡面距离AB为10米，并测得视线AC与坡面AB的夹角为20°．求小树的高BC．（参考数据：，，．精确到0．1米）\n解：延长CB交AP与点D，则∠ADC=90°．∵Rt△ABD中，sin∠BAD=．∴BD=AB´sin∠BAD=5（米）．∴AD==5（米）．∵Rt△ACD中，tan∠CAD=,∴CD=AD´tan∠CAD≈10.29（米）．∴BC=CD–BD=5.29≈5.3（米）．答：小树的高约为5.3米．26.（2022年南京市六合区中考数学测试卷一模，24，8分）如图，△ABC中，AB=4，AC=2，BC=2，以BC为直径的半圆交AB于点D，以A为圆心，AC为半径的扇形交AB于点E．（1）以BC为直径的圆与AC所在的直线有何位置关系？请说明理由；（2）求图中阴影部分的面积（结果可保留根号和）．【答案】解：（1）相切．理由：∵22+(2)2=16=42,∴AC2+BC2=AB2．∴∠ACB=90°．∴以BC为直径的圆与AC所在的直线相切．（2）∵Rt△ABC中，cosA==．∴∠A=60°．\n∴S阴影=S半圆–（S△ABC–S扇形ACE）=π()2–(´2´2–π´22)=–2．27.（2022年南京市下关区秦淮区沿海区中考数学测试卷一模，27，9分）如图，已知O为原点，点A的坐标为（5.5,4），⊙A的半径为2.过A作直线l平行于x轴，交y轴于点B，点P在直线l上运动.(1)设点P的横坐标为12,试判断直线OP与⊙A的位置关系,并说明理由;(2)设点P的横坐标为a，请你求出当直线OP与⊙A相切时a的值(参考数据:，)【答案】解：（1）连结OP，过点A作AC⊥OP，垂足为点C，则AP＝PB－AB＝12－5.5＝6.5，OB＝4，∵∠ACP＝∠OBP＝90°,∠APC＝∠OPB∴△APC∽△OPB,，∴直线OP与⊙A相离（2）设直线OP与⊙A相切与点H分两种情况①当点P在线段AB上（即当点P在点A的左侧时），如图（1）所示BP＝a，AP＝5.5－a，∵∠APH＝∠OPB,∠AHP＝∠OBP＝90°∴△APH∽△OPB得OP＝11－2a\n在Rt△OBP中，（11－2a）2＝a2+42解得a1＝3，a2＝(舍去)②当点P在点A的右侧时，如图（2）所示BP＝a，AP＝a－5.5，同理得△APH∽△OPB得OP＝2a－11在Rt△OBP中，（2a－11）2＝a2+42解得a1＝3(舍去)，a2＝∴当直线OP与⊙A相切时，的值为3或28.（2022年南京市玄武区中考数学测试卷一模，28，9分）如图，小明将一张直角梯形纸片沿虚线剪开，得到矩形ABCD和三角形EGF两张纸片，测得AB=5，AD=4，EF=．在进行如下操作时遇到了下面的几个问题，请你帮助解决．(1)请你求出FG的长度．(2)在(1)的条件下，小明先将三角形的边EG和矩形边AB重合，然后将△EFG沿直线BC向右平移，至F点与B重合时停止．在平移过程中，设G点平移的距离为x，两纸片重叠部分面积为．y，求在平移的整个过程中，y与x的函数关系式，并求当重叠部分面积为10时，平移距离x的值．(3)在(2)的操作中，小明发现在平移过程中，虽然有时平移的距离不等，但两纸片重叠的面积却是相等的；而有时候平移的距离不等，两纸片重叠部分的面积也不可能相等．请探索这两种情况下重叠部分面积y的范围(直接写出结果)．【答案】（2022年南京市玄武区中考数学测试卷一模，28，9分）(1)∵在Rt△EGF中，EG=AB=5，EF=,∴FG=(2)当0≤x≤4时，；…当4＜x≤10时，y=－2x+24，\n当y=10时，x=7或．(3)当0≤x≤4时，，顶点为(10，25)，∴当0≤x≤4时，0≤y≤16．当4＜x≤10时，y=－2x+24，4≤y＜16．∴当4≤y<16时，平移的距离不等，两纸片重叠的面积y可能相等．当0≤y＜4或y=16时，平移的距离不等，两纸片重叠部分的面积也不可能相等．29.（2022年北京市玄武区中考数学测试卷一模，19，5分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=2，BC=5，E为DC中点，tanC=．求AE的长度．【答案】解：过点E作BC的垂线交BC于点F，交AD的延长线于点M.····1分在梯形ABCD中，AD∥BC，E是DC的中点，∴∠M=∠MFC，DE=CE.在△MDE和△FCE中，∠M=∠MFC，∠DEM=∠CEF，DE=CE.∴△MDE≌△FCE.∴EF=ME，DM=CF.∵AD=2，BC=5，∴DM=CF=.在Rt△FCE中，tanC==，∴EF=ME=2.在Rt△AME中，AE=.30.（北京市朝阳区九年级第一次统一练习数学试卷，18，5分）如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=4，将矩形ABCD翻折，使得点B落在CD边上的点E处，折痕AF交BC\n于点F，求FC的长．【答案】解：由题意，得AE=AB=5,AD=BC=4,EF=BF.在Rt△ADE中，由勾股定理，得DE=3.在矩形ABCD中，DC=AB=5.∴CE=DC-DE=2.设FC=x，则EF=4-x.在Rt△CEF中，.解得.………………………………………………………………………5分即FC=31.（北京市朝阳区九年级第一次统一练习数学试卷，21，6分）．已知：如图，⊙O的半径OC垂直弦AB于点H，连接BC，过点A作弦AE∥BC，过点C作CD∥BA交EA延长线于点D，延长CO交AE于点F．（1）求证：CD为⊙O的切线；（2）若BC＝5，AB＝8，求OF的长．【答案】（1）证明：∵OC⊥AB，CD∥BA，∴∠DCF=∠AHF=90°.∴CD为⊙O的切线.（2）解：∵OC⊥AB，AB＝8，∴AH=BH==4.在Rt△BCH中，∵BH=4，BC=5，∴CH=3.∵AE∥BC，∴∠B=∠HAF.∴△HAF≌△HBC.∴FH=CH=3，CF=6.\n连接BO，设BO=x，则OC=x，OH=x-3.在Rt△BHO中，由，解得.∴.32.（北京市朝阳区九年级第一次统一练习数学试卷，23，7分）．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=8，，CA=CD，E、F分别是线段AD、AC上的动点（点E与点A、D不重合），且∠FEC=∠ACB，设DE=x，CF=y.（1）求AC和AD的长；（2）求y与x的函数关系式；（3）当△EFC为等腰三角形时，求x的值.【答案】解：（1）∵AD∥BC，∠B=90°，∴∠ACB=∠CAD.∴tan∠ACB=tan∠CAD=.∴.∵AB=8，∴BC=6.则AC=10.过点C作CH⊥AD于点H，∴CH=AB=8,则AH=6.∵CA=CD,∴AD=2AH=12..（2）∵CA=CD,∴∠CAD=∠D.∵∠FEC=∠ACB，∠ACB=∠CAD，∴∠FEC=∠D.∵∠AEC=∠1+∠FEC=∠2+∠D，∴∠1=∠2.∴△AEF∽△DCE.∴，即.\n∴.（3）若△EFC为等腰三角形.①当EC=EF时，此时△AEF≌△DCE，∴AE=CD.由12-x=10，得x=2..②当FC=FE时，有∠FCE=∠FEC=∠CAE，∴CE=AE=12-x.在Rt△CHE中，由，解得.③当CE=CF时，有∠CFE=∠CEF=∠CAE，此时点F与点A重合，故点E与点D也重合，不合题意，舍去.综上，当△EFC为等腰三角形时，x=2或.33.（北京市崇文区中考一模数学试卷，24，8分）如图，在平面直角坐标系中，是坐标原点，点A、B的坐标分别为和，连结．（1）现将绕点按逆时针方向旋转90°，得到，（点A落到点C处），请画出，并求经过、、三点的抛物线对应的函数关系式；（2）将（1）中抛物线向右平移两个单位，点的对应点为点，平移后的抛物线与原抛物线相交于点．为平移后的抛物线对称轴上一个动点，连结，当取得最大值时，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，当点在抛物线对称轴上运动时，是否存在点使为直角三角形？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由．【答案】解：（1）\n①若则解得②若\n则解得①若则解得综上所述，存在点使为直角三角形，，，34.（北京市大兴区中考一模数学试卷，18，5分）在平面直角坐标系中，点A的坐标是（0，6），点B在一次函数y＝－x＋m的图象上，且AB＝OB＝5．求一次函数的解析式．【答案】解：∵AB＝OB，点B在线段OA的垂直平分线BM上，如图，当点B在第一象限时，OM＝3，OB＝5．在Rt△OBM中，.∴ B（4，3）．∵ 点B在y＝－x＋m上，∴ m＝7．∴一次函数的解析式为.当点B在第二象限时，根据对称性，B'（－4，3）∵ 点B'在y＝－x＋m上，∴ m＝－1．∴一次函数的解析式为.综上所述，一次函数的解析式为或.35.（北京市大兴区中考一模数学试卷，20，5分）如图，在边长为1的正方形网格内，点A、B、C、D、E均在格点处.请你判断∠x+∠y的度数，并加以证明.【答案】如图，在边长为1的正方形网格内，点A、B、C、D、E均在格点处.请你判断∠x+∠y的度数，并加以证明.\n答：∠x+∠y=45°.证明：如图，以AG所在直线为对称轴，作AC的轴对称图形AF，连结BF，∵网格中的小正方形边长为1，且A、B、F均在格点处，∴AB=BF=，AF=.∴∴△ABF为等腰直角三角形，且∠ABF=90°∴∠BAF=∠BFA=45°.∵AF与AC关于直线AG轴对称，∴∠FAG=∠CAG.又∵AG∥EC，∴∠x=∠CAG.∴∠x=∠FAG.∵DB∥AG，∴∠y=∠BAG.∴∠x+∠y=∠FAG+∠BAG=45°.36.（北京市东城区中考一模数学试卷，22，5分）如图1，在△ABC中，已知∠BAC＝45°，AD⊥BC于D，BD＝2，DC＝3，求AD的长.小萍同学灵活运用轴对称知识，将图形进行翻折变换如图1.她分别以AB、AC为对称轴，画出△ABD、△ACD的轴对称图形，D点的对称点为E、F，延长EB、FC相交于G点，得到四边形AEGF是正方形.设AD=x，利用勾股定理，建立关于x的方程模型，求出x的值.（1）请你帮小萍求出x的值.(2)参考小萍的思路，探究并解答新问题：如图2，在△ABC中，∠BAC＝30°，AD⊥BC于D，AD＝4.请你按照小萍的方法画图,得到四边形AEGF，求△BGC的周长.（画图所用字母与图1中的字母对应）图1图2【答案】解：（1）设AD=x，由题意得，BG=x－2，CG=x-3.在Rt△BCG中，由勾股定理可得.解得\n（2）参考小萍的做法得到四边形AEGF，∠EAF=60°，∠EGF=120°，∠AEG=∠AFG=90°，AE=AF=AD=4.连结EF，可得△AEF为等边三角形.∴EF=4.∴∠FEG=∠EFG=30°.∴EG=FG.在△EFG中，可求，.∴△EFG的周长＝BG+CG+BC=BG+CG+EB+FC=2EG=37.（2022年南京市鼓楼区第二学期初三调研测试卷一模，22，7分）某课桌生产厂家研究发现，倾斜12°～24°的桌面有利于学生保持躯体自然姿势．根据这一研究，厂家决定将水平桌面做成可调节角度的桌面．新桌面的设计图如图1，AB可绕点A旋转，在点C处安装一根可旋转的支撑臂CD，AC＝30cm．（1）如图2，当∠BAC＝24°时，CD⊥AB，求支撑臂CD的长；（2）如图3，当∠BAC＝12°时，求AD的长．（结果保留根号）（参考数据：sin24°≈0.40，cos24°≈0.91，tan24°≈0.46，sin12°≈0.20）CBADCBAD图2图3CBA图1【答案】解：（1）在Rt△ADC中，AC＝30，∠DAC＝24°，sin∠DAC＝，∴DC＝AC·sin∠DAC≈30×0.40＝12．\n答：支撑臂DC的长为12cm．（2）本题分两种情况，过点C作CE⊥AB，垂足为E．在Rt△ACE中，AC＝30，∠EAC＝12°，sin∠EAC＝，∴CE＝AC·sin∠EAC≈30×0.20＝6．AE＝＝＝12．……5分在Rt△CDE中，CD＝12，CE＝6，DE＝＝＝6．∴AD＝12±6．38.（北京房山区2022年初三数学统一练习(一)，19，5分）19．（本小题满分5分）在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，AB=6，过点C作射线CP∥AB，在射线CP上截取CD=2，联结AD，求AD的长．（38题图）【答案】解：过点D作DE⊥AB于E，过点C作CF⊥AB于F，则DE∥CF∵CP∥AB，∴四边形DEFC是矩形-∵在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，AB=6，CD=2∴AF=CF=AB=3∴EF=CD=2,DE=CF=3∴AE=1在△ADE中，∠AED=90°,DE=3,AE=1∴AD=39.（北京房山区2022年初三数学统一练习(一)，20，5分）（本小题满分5分）已知：如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交BC、AC于点D、E，联结EB交OD于点F．（1）求证：OD⊥BE；（2）若DE=，AB=5，求AE的长．（39题图）\n【答案】解：（1）联结AD∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=∠AEB=90°---1分∵AB=AC，∴CD=BD∵OA=OB，∴OD//AC∴OD⊥BE（2）方法一：∵∠CEB=∠AEB=90°，CD=BD,AB=5,DE=∴AC=AB=5,BC=2DE=2,在△ABE、△BCE中，∠CEB=∠AEB=90°，则有设AE=x,则解得：x=3∴AE=3方法二：∵OD⊥BE，∴BD=DE，BF=EF设AE=x,∴OF=，在△OBF、△BDF中，∠OFB=∠BFD=90°∴∵DE=，AB=5，∴解得：x=3，∴AE=3方法三：∵BE⊥ACAD⊥BC,∴S△ABC=BC·AD=AC·BE,∴BC·AD=AC·BE∵BC=2DE=2，AC=AB=5∴BE=4,∴AE=340.（2022·北京市密云县数学一模试题，24，8分）.如图，边长为5的正方形的顶点在坐标原点处，点分别在轴、轴\n的正半轴上，点是边上的点（不与点重合），，且与正方形外角平分线交于点.（1）当点坐标为时，试证明；（2）如果将上述条件“点坐标为（3，0）”改为“点坐标为（，0）（）”，结论是否仍然成立，请说明理由；（3）在轴上是否存在点，使得四边形是平行四边形？若存在，请证明；若不存在，请说明理由.【答案】AEHOMCyBGPFx解：（1）过点作轴，垂足为∴∵∴∴∴由题意知:∴得∴在和中∴故（2）仍成立.同理∴由题意知:∴整理得∵点不与点重合∴∴∴在和中∴（3）轴上存在点，使得四边形是平行四边形.过点作交轴于点∴∴在和中\n∴∴而∴由于∴四边形是平行四边形41.（2022·北京市密云县数学一模试题，25，7分）如图，抛物线与轴相交于点C，直线经过点C且平行于轴，将向上平移t个单位得到直线，设与抛物线的交点为C、D，与抛物线的交点为A、B，连接AC、BC.（1）当，，，时，探究△ABC的形状，并说明理由；（2）若△ABC为直角三角形，求t的值（用含a的式子表示）；xOCABDy（3）在（2）的条件下，若点A关于轴的对称点A’恰好在抛物线F的对称轴上，连接A’C，BD，求四边形A’CDB的面积（用含a的式子表示）【答案】（1）结论：是直角三角形.由题意：令解得点的坐标分别为设与轴相交于点，在和中是直角三角形（2）由题意，，设点的坐标为\n设为的中点，则点的坐标为为直角三角形即（舍去）（3）依题意，点与点重合在抛物线的对称轴上，与关于轴对称轴四边形是平行四边形在中与关于轴对称为等边三角形42.（2022·北京市平谷区数学一模试题，22，4分）22．一种电讯信号转发装置的发射直径为31km．现要求：在一边长为30km的正方形城区选择若干个安装点，每个点安装一个这种转发装置，使这些装置转发的信号能完全覆盖这个城市．问：新课标第一网（1）能否找到这样的4个安装点，使得这些点安装了这种转发装置后能达到预设的要求？在图1中画出安装点的示意图，并用大写字母M、N、P、Q表示安装点；（2）能否找到这样的3个安装点，使得在这些点安装了这种转发装置后能达到预设的要求？在图2中画出示意图说明，并用大写字母M、N、P表示安装点，用计算、推理和文字来说明你的理由．\n图1ABCD图2ABCD图2ABCD图1ABCD【答案】解：（1）(2分)（2）（画图正确给1分）ADCB图1PQMN（2）图2（图案设计不唯一）将原正方形分割成如图2中的3个矩形，使得BE=OD=OC．将每个装置安装在这些矩形的对角线交点处，设，则，．由BE=OD，得，，，即如此安装3个这种转发装置，也能达到预设要求．4分或：将原正方形分割成如图2中的3个矩形，使得，是的中点，将每个装置安装在这些矩形的对角线交点处，则，，∴，如此装三个这个转发装置，能达到预设要求．43.（2022·北京市平谷区数学一模试题，18，5分）在平面直角坐标系中，点坐标为，点坐标为．（1）如图①，若直线，上有一动点，当点的坐标为 时，有；（2）如图②，若直线与不平行，在过点的直线上是否存在点，使，若有这样的点，求出它的坐标．若没有，请简要说明理由.\n【答案】解：（1）（2）设，连接，过作于，于， ， ，新课标第一网所以. ， ，．所以坐标或．44.（2022·北京市石景山区数学一模试题，19，5分）已知：如图，直角梯形中，，，求的长．【答案】H解：如图，过A作AH⊥FC于H则四边形为矩形∵∴AH=，HD=2∴CF=CH+HD+DF=4+2+2=8，∴BF=45.（2022·北京市顺义区数学一模试题，19，5分）已知：如图，梯形ABCD中，∥，，，，点E在BC边上，将△CDE沿DE折叠，点C恰好落在AB边上的点处．（1）求的度数；（2）求△的面积．【答案】解：(1)过点D作于F.∵,,,\n∴四边形是正方形.∴,在Rt中，∴∵,,∴∴,∴∵∴(2)设，则，∵∴在Rt中解方程，得∴46.（2022·北京市通州区数学一模试题，25，7分）已知梯形中，AD//BC，∠A=120°,E是AB的中点，过E点作射线EF//BC，交CD于点G，AB、AD的长恰好是方程的两个相等实数根，动点P、Q分别从点A、E出发，点P以每秒1个单位长度的速度沿射线AB由点向点B运动，点Q以每秒2个单位长度的速度沿EF由E向F运动，设点P、Q运动的时间为t.（1）求线段AB、AD的长；（2）如果t>1，DP与EF相交于点N，求的面积S与时间t之间的函数关系式.（3）当t>0时，是否存在是直角三角形的情况，如果存在请求出时间t,如果不存在，说明理由.【答案】解：根据题意可知，\n…原方程可化为：(2)过点P作PMDA，交DA的延长线于M,过点D作DKEF,AD//BC且,E是AB中点，且EF//BC,是AB中点，AD//EF,AB=2,=(3)根据题意可知：\n根据勾股定理可得：①当=+解之得：（舍负）②当=+解之得：（舍负）③当,=+解之得：综上，当，，时是直角三角形.\n47.（2022·北京市西城区数学一模试题，20，5分）如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，为CD边上的点，=3．将纸片沿某条直线折叠，使点B落在点处，点A的对应点为，折痕分别与AD，BC边交于点M，N．（1）求BN的长；（2）求四边形ABNM的面积.【答案】解：如图3．（1）由题意，点A与点，点与点分别关于直线对称，图3∴，．设，则．∵正方形，∴．∴．∵=3，∴．解得．∴．（2）∵正方形，∴AD∥BC，．∵点M，N分别在AD，BC边上，∴四边形ABNM是直角梯形．∵，，∴．∴，．∵，，∴．∴．在Rt△中，∵，，，∴．\n∵，∴．∵，∴．在Rt△中，∵，，，∴．∴48.（2022·北京市延庆县数学一模试题，19，5分）19.已知如图：直角梯形中，，，，,求：梯形的面积；【答案】解：过点D做，CD=26在中，∴DE=24∴由勾股定理得：CE=10∴BE=CD-CE=16∵，∴∵∴四边形ABED是平行四边形∴AD=BE=16∴49.（2022·北京市燕山区数学一模试题，19，5分）如图，等腰△ABC中，AE是底边BC上的高，点O在AE上，⊙O与AB和BC分别相切.（1）⊙O是否为△ABC的内切圆？请说明理由.（2）若AB=5，BC=4，求⊙O的半径.\n【答案】⑴是DF理由是：∵⊙O与AB相切，把切点记作D.联结OD，则OD⊥AB于D.作OF⊥AC于F，∵AE是底边BC上的高，∴AE也是顶角∠BAC的平分线.∴OF=OD=r为⊙O的半径.∴⊙O与AC相切于F.又∵⊙O与BC相切，∴⊙O是△ABC的内切圆.⑵∵OE⊥BC于E，∴点E是切点，即OE=r.由题意，AB=5，BE=AB=2，∴AE==.∵Rt△AOD∽Rt△ABE，∴，即.解得，r=.∴⊙O的半径是.50.（2022年从化市初中毕业生综合测试，24，14分）如图10，△ABC是等腰直角三角形，AB=，D为斜边BC上的一点（D与B、C均不重合），连结AD，把△ABD绕点A按逆时针旋转后得到△ACE，连结DE，设BD=．（1）求证∠DCE=90°；（2）当△DCE的面积为1.5时，求的值；ABCDE图10（3）试问：△DCE的面积是否存在最大值，若存在，请求出这个最大值，并指出此时的取值，若不存在，请说明理由．\n【答案】.（1）∵△ABD绕点A按逆时针旋转后得到△ACE∴△ACE≌△ABDABCDE∴又∵△ABC是等腰直角三角形，且BC为斜边∴∴即：∠DCE=90°（2）∵AC=AB=，∴BC2=AC2+AB2=，∴BC=4.∵△ACE≌△ABD,∠DCE=90°∴CE=BD=x，而BC=4，∴DC=4-x，∴Rt△DCE的面积为：DC·CE=(4-x)x.∴(4-x)x=1.5即x2-4x+3=0.解得x=1或x=3.（3）△DCE存在最大值.理由如下：设△DCE的面积为y，于是得y与x的函数关系式为：y=(4-x)x(0＜x＜4)=-(x-2)2+2∵a=-＜0,∴当x=2时，函数y有最大值2.又∵x满足关系式0＜x＜4，故当x=2时，△DCE的最大面积为2.51.（2022年河南省许昌市九年级毕业考试素质评估试题，19,9）如图，在中，，在边上取一点，使，过作交于，．求的长．【答案】解：在中，\n．又，．，．又，．．．52（2022江苏省南通市通州区数学中考模拟试卷，24，10分）如图，半圆的直径，点C在半圆上，．（1）求弦的长；（2）若P为AB的中点，交于点E，求的长．（第52题）PBCcACEA【答案】解：（1）是半圆的直径，点在半圆上，．在中，（2），．，．又，，53.（2022江西省兴国县第二次联考数学试卷，24，10分）已知，如图11，在矩形ABCD中，点O在对角线AC上，以OA长为半径的⊙O与AD、AC分别交于点E、F，∠ACB＝∠DCE（1）请判断直线CE与⊙O的位置关系，并证明你的结论\n（2）如果tan∠ACB＝，BC＝2。求⊙O的半径【答案】解：（1）直线CE与☉o相切证明：∵矩形ABCD∴BC//AD.∠ACB=∠DAC又∵∠ACB=∠DCE∴∠DAC=∠DCE连接OE.则∠DAC=∠AEO=∠DCE∵∠DCE+∠DEC=90°∴∠OEC=90°∴线CE与☉o相切（2）∵tan∠ACB==.BC=2又∵∠ACB=∠DCE∴∴在Rt△CDE中，CE=设☉o的半径为r，则在Rt△CEO中即解得：54.（山东省2022年中考模拟试卷，19，6分）如图，为⊙O的弦，为劣弧的中点。（1）若⊙O的半径为5，，求；（2）若，且点在⊙O的外部，判断与⊙O的位置关系，并说明理由.\n19题【答案】∵为⊙O的弦，为劣弧的中点,E∴于E∴又∵∴∴在Rt△AEC中,(2)AD与⊙O相切.理由如下：∵∴∵由（1）知∴∠C+∠BAC＝90°.又∵∴∴AD与⊙O相切.55.（山东省宁阳县2022年中考模拟试卷一模，18，5分）在平面直角坐标系中，点坐标为，点坐标为．（1）如图①，若直线，上有一动点，当点的坐标为 时，有；（2）如图②，若直线与不平行，在过点的直线上是否存在点，使，若有这样的点，求出它的坐标．若没有，请简要说明理由.【答案】解：（1）\n（2）设，连接，过作于，于，因为， ， ，所以. ， ，．所以坐标或56.（上海市长宁区2022年中考模拟试卷二模，22，10分）为缓解交通压力，节约能源减少大气污染，上海市政府推行“P+R”模式(即:开自驾车人士，将车开到城郊结合部的轨道车站附近停车，转乘轨道交通到市中心).市郊某地正在修建地铁站，拟同步修建地下停车库.如图，是停车库坡道入口的设计图，其中MN是水平线，MN//AD，AD⊥DE，CF⊥AB，垂足分别为D、F，坡道AB的坡度，AD=9米，C在DE上，DC=0.5米，CD是限高标志牌的高度(标志牌上写有:限高米).如果进入该车库车辆的高度不能超过线段CF的长，计算该停车库限高多少米.(结果精确到0.1米)限高米(提供可选用的数据:)【答案】解：据题意得∵MN//AD∴∠A=∠B∴∵DE⊥AD∴在Rt△ADE中∵AD=9∴DE=3\n又∵DC=0.5∴CE=2.5∵CF⊥AB∴∠1+∠2=90°∵DE⊥AD∴∠A+∠2=90°∴∠A=∠1∴在Rt△CEF中设EF=xCF=3x（x>0）CE=2.5代入得解得（如果前面没有“设”,则此处应“，舍负”）∴CF=3x=源:学。科。网Z。X。X。K]∴该停车库限高2.3米.57．（上海市金山区2022年中考模拟试卷二模，22，10分值）如图是地下排水管的截面图（圆形），小敏为了计算地下排水管的直径，在圆形弧上取了,两点并连接，在劣弧上取中点连接，经测量米，°，根据这些数据请你计算出地下排水管的直径（精确到米）（°，°，°）CAB【答案】设圆心为，连接、交于∵是弧的中点，是半径∴，在中米，∴在中，设圆的半径为\n（1分）（米）答：地下排水管的直径约为米58.（潍坊市2022年中考模拟试卷，18，10分）如图，在矩形ABCD中，点O在对角线AC上，以OA的长为半径的⊙O与AD、AC分别交于点E、F，且∠ACB=∠DCE．（1）判断直线CE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AB=，BC=2，求⊙O的半径．【答案】（1）直线CE与⊙O相切理由：连接OE∵OE=OA∴∠OEA=∠OAE∵四边形ABCD是矩形∴∠B=∠D=∠BAD=90°，BC∥AD,CD=AB∴∠DCE+∠DEC=90°,∠ACB=∠DAC又∠DCE=∠ACB∴∠DEC+∠DAC=90°∵OE=OA∴∠OEA=∠DAC∴∠DEC+∠OEA=90°∴∠OEC=90°∴OE⊥EC∴直线CE与⊙O相切(2)∵∠B=∠D，∠DCE=∠ACB∴△CDE∽△ABC∴又CD=AB=，BC=2\n∴DE=1根据勾股定理得EC=又AC==设OA为x,则解得x=∴⊙O的半径为59.（扬州市梅岭中学2022年中考模拟试卷一模，27，12分）在直角坐标系中，函数（＞0，为常数）的图象经过A（4，1），点B（，）（0＜＜4）是双曲线上的一动点，过A作AC⊥轴于C，点D是坐标系中的另一点.（1）求双曲线的解析式；（2）当四边形ABCD为菱形时，试求B、D的坐标；（3）若以A、B、C、D为顶点的平行四边形的面积为12，那么对角线最长可达多少？【答案】解：（1）∵x=4，y=1，∴，∴，则（2）如图1，当四边形ABCD是菱形时，BD垂线平分AC于E，则可得a=2，b=2，即：B（2，2），又∵BE=ED=1，BD⊥x轴，∴D（2，0）（3）如图2，过B作BF⊥AC于F，当平行四边形ABCD面积为12时，BF·AC=12，∴BF=3，即b=4.把y=4代入得，x=1，则B（1，4）.设BD交AC于P，PC=AP=2，CF=PF=1，∴，∴，，当面积为12时，过作于M，，CF=AM=1，\n，∴.当平行四边形的面积为12时，过作⊥直线AC于N，CN=AF=3，，AN=7.∴，，，∴对角线最长可达60.（淄博十五中2022年学业水平考试数学试题，19，7分）如图，斜坡AC的坡度（坡比）为1:，AC＝10米．坡顶有一旗杆BC，旗杆顶端B点与A点有一条彩带AB相连，AB＝14米．ABCDE试求旗杆BC的高度．ABCD【答案】解：延长BC交AD于E点，则CE⊥AD．在Rt△AEC中，AC＝10，由坡比为1︰可知：∠CAE＝30°，∴CE＝AC·sin30°＝10×＝5，AE＝AC·cos30°＝10×＝．在Rt△ABE中，BE＝＝＝11∵BE＝BC＋CE，∴BC＝BE－CE＝11-5＝6（米）．\n答：旗杆的高度为6米61.（2022年广东清远市初中毕业生学业考试一模，21，6分）CABED图3如图3，在△ABC中，，的垂直平分线交、于点、，且，cm.求△ABC的面积.（结果保留根号）【答案】解：∵DE垂直平分AB，∠A30°，DE=1∴AE=2∴∴在Rt△ABC中，∠A30°∴∴∴62.（2022年广东清远市初中毕业生学业考试一模，24，8分）如图5，四边形是正方形，是延长线上的一点，且.（1）求证：平分；（2）设AE交CD于点F，正方形ABCD的边长为1，求DF的长.（结果保留根号）ABCDE图5F【答案】(1)证明:∵四边形ABCD是正方形，AC是对角线ABCDE图5F∴又∵∴∴∴∴平分(2)解：∵四边形ABCD是正方形∴∠B=90o，∠D=∠DCE=90o\n∴∴CE=AC=又∵∠AFD=∠EFC∴△AFD∽△EFC∴设，则∴∴63.（2022年河南中招考试说明解密预测试卷数学（四），19，9分）如图，是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O，水位线CD平行于直径AB，OE⊥CD于点E．（1）若水面距离洞顶最高处仅1m，已测得.求半径OD；（2）根据设计要求，通常情况下，水位线CD与桥洞圆心O的夹角1200，此时桥洞截面充水面积是多少？(精确到0.1m2)(参考数据：，，.）AOBCDE【答案】解：（1）在Rt中，∵,∴设DO=13k,DE=5k(k≠0)∴OE==12k又∵OE=OD-1∴12k=13k-1得k=1∴OD=13m（2）∵,∴，\n由r=13得OE=,DE=,CD=∴S===161.5m2答：此时桥洞截面充水面积是161.5m2.64．（2022安徽省马鞍山市二模试题，20，，10分）小明家用瓷砖装修卫生间，还有一块墙角面未完工（如图甲所示），他想在现有的6块瓷砖余料中（如图乙所示）挑选2块或3块进行铺设．请你帮小明设计两种不同的铺设方案（在下面图丙、图丁中画出铺设示意图，并标出所选用的每块余料的编号）．【答案】本题方案不唯一，每画对一种方案给5分．\n65.（2022·河南省新密市九年级数学检测试题，21题，10分）已知：如图，为平面直角坐标系的原点，半径为1的⊙B经过点，且与轴分交于点，点的坐标为，的延长线与⊙B的切线交于点．（1）求的长和的度数；（2）求过点的反比例函数的表达式．BACDyxO【答案】20.解：（1）∵⊙B经过原点O，∠AOC=90°,∴AC是⊙B的直径，∴AC=2.又∵点A的坐标为（.0），∴OA=.OC=∴sin∠CAO=.∴∠CAO=30°.（2）连接OB，过点D作DE⊥x轴于点E.∵OD为⊙B的切线，∴OB⊥OD.∴∠BOD=90°∴∠AOB=∠OAB=30°.∴∠AOD=∠AOB+∠BOD=30°+90°=120°在△AOD中，∠ODA=180°-120°-30°=30°=∠OAD∴OD=OA=.在Rt△DOE中，∠DOE=180°-120°=60°,∴OE=OD·cos60°=.ED=OD·sin60°=，∵点D在第二象限，∴点D的坐标为.设过点D的反比例函数表达式为，则∴\n66.（2022湖北省黄冈市中考三模，20题，7分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB＝AC，过点A作AP∥BC，交BO的延长线于点P．(1)求证：AP是⊙O的切线；(2)若⊙O的半径R=5，BC=8，求线段AP的长．【答案】解：(1)证明：过点A作AE⊥BC，交BC于点E．∵AB=AC，∴AE平分BC，∴点O在AE上．又∵AP//BC，∴AE⊥AP，∴AP为⊙O的切线．（2），．又，．．即．67.（湖北省孝感2022年中考数学模拟试卷,25题，12分）高致病性禽流感是比SARS病毒传染速度更快的传染病。（1）某养殖场有8万只鸡，假设有1只鸡得了禽流感，如果不采取任何防治措施，那么，到第二天将新增病鸡10只，到第三天又将新增病鸡100只，以后每天新增病鸡数依次类推，请问：到第四天，共有多少只鸡得了禽流感病？到第几天，该养殖场所有鸡都会被感染？（2）为防止禽流感蔓延，政府规定：离疫点3千米范围内为扑杀区，所有禽类全部扑杀；离疫点3至5千米范围内为免疫区，所有的禽类强制免疫；同时，对扑杀区和免疫区内的村庄．道路实行全封闭管理。现有一条笔直的公路AB通过禽流感病区，如图11，O为疫点，在扑杀区内的公路CD长为4千米，问这条公路在该免疫区风有多少千米？【答案】解：（1）由题意可知，到第4天得禽流感病鸡数为1+10+100+1000=1111，到第5天 禽流感病鸡数为10000+1111=11111，到第6天得禽流感病鸡数为100000+11111>80000。所以到第6天所有的鸡都会被感染。（2）过点O作OE⊥CD交CD于点E，连接OC．OA，∵OA=5，OC=3，CD=4，∴CE=2。在Rt△OCE中，AE=，∴AC=AE-CE=，∵AC=BD，∴AC+BD=。答：这条公路在该免疫区内有（）千米。\n68.（2022徐州市毕业升学模拟试题，24题，8分）在东西方向的海岸线上有一长为1km的码头MN（如图），在码头西端M的正西19．5km处有一观察站A．某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于A的北偏西30°,且与A相距40km的B处；经过1小时20分钟，又测得该轮船位于A的北偏东60°，且与A相距km的C处．（1）求该轮船航行的速度（保留精确结果）；（2）如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否正好行至码头MN靠岸？请说明理由．【答案】解：（1）由题意，得∠BAC=90°，∴．∴轮船航行的速度为km/时．）(2)能．……（4分）作BD⊥l于D，CE⊥l于E，设直线BC交l于F，则BD=AB·cos∠BAD=20，CE=AC·sin∠CAE=，AE=AC·cos∠CAE=12．∵BD⊥l,CE⊥l,∴∠BDF=∠CEF=90°．又∠BFD=∠CFE，∴△BDF∽△CEF，∴∴，∴EF=8．∴AF=AE+EF=20．∵AM＜AF＜AN，∴轮船不改变航向继续航行，正好能行至码头MN靠岸．69.（江西省2022年数学中考样卷(三)，22题，9分）第22题图ACBDE如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，CB＝12，AD是△ABC的角平分线，过A、C、D三点的圆与斜边AB交于点E，连接DE．（1）求证：AC＝AE；（2）求△ACD外接圆的直径．\n【答案】（1）证明：∵∠ACB＝90°，∴AD为直径．又∵AD是△ABC的角平分线，∴，∴，∴在同一个⊙O中，AC＝AE（2）解：∵AC=5，CB=12，∴AB=，∵AE=AC=5，∴BE=AB-AE=13-5=8，∵AD是直径，∴∠AED=∠ACB=90°，∵∠B=∠B，∴△ABC∽△DBE，∴，∴DE＝，∴AD＝∴△ACD外接圆的直径为．70.（2022江西省中等学校招生统一考试数学样卷四，22题，9分）如图,⊙O的半径为4㎝,是⊙O的直径,切⊙O于点,且=4㎝,当点P在⊙O上运动时,是否存在点P,使得△为等腰三角形,若存在,有几个符合条件的点,并分别求出点到线段的距离；若不存在,请说明理由.（第70题）BCoA【答案】解:假设存在点P,使得为△等腰三角形,当时,可得,则△为等边三角形.∴.\n过作于G,∵∴到距离为2.当时,∵,,∴四边形为正方形.∴∴到距离为4.当时,作的垂直平分线交⊙O于.∵，∴(㎝)∴∴到线段距离为(㎝).∵,∴(㎝).∴(㎝).∴到线段距离为(㎝).∴存在4个点P满足条件,P到的距离分别为.68.（2022江西省师大附中和南大附中七校联考数学试卷，25，10分）如图，过点E（0，－1）作平行于x轴的直线l，抛物线上的两点A、B的横坐标分别为－1和4，直线AB交y轴于点F，过点A、B分别作直线l的垂线，垂足分别为点C、D，连接CF、DF.(1)求点A、B、F的坐标；(2)求证CF⊥DF；(3)点P是抛物线对称轴右侧图像上的一动点，过点P作PQ⊥PO交x轴于点Q，是否存在点P使得△OPQ与△CDF相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.\n【答案】(1)∵当x=－1时，y=1/4，x=4时,y=4,∴A（－1，4），B（4，4）.把A和B的点坐标代入y=kx+b,K=3/4,b=1.∴y=3x/4+1.当x=0时,y=1,（2）∵,,CD=5,∴.∴△CFD为Rt△，∠CFD=90°,即CF⊥DF.（3）∵∠CFD=∠OPQ=90°,∴当∠FCD=∠POG或∠FDC=∠POG时，△CFD和△OPQ相似.设P点坐标为,∴sin∠FCD=sin∠POG或sin∠FDC=sin∠POG,\n即或.解得a=8或a=2.∴点P的坐标为（8，18），（2，1）.69.（2022年襄阳市普通高中推荐招生考试，20题，13分）如图，直径为５的⊙M圆心在x轴正半轴上，⊙M和x轴交于A、B两点，和y轴交于C、D两点且CD＝4，抛物线y=ax2+bx+c经过A、B、C三点，顶点为N﹒（1）求经过A、B、C三点的抛物线解析式；（2）直线NC与x轴交于点E，试判断直线CN与⊙M的位置关系并说明理由；（3）设点Q是（1）中所求抛物线对称轴上的一点，试问在（1）中所求抛物线上是否存在点P使以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由﹒ECxBOADy●MN【答案】解：（１）连接MC，∵直径AB⊥CD，∴OC=OD=2，又∵MC=AB=2.5在Rt⊿OMC中，OM2=MC2-OC2，∴OM=1.5，OA=1，OB=4，则有A（-1，0），B（4，0），C（0，-2）a-b+c=0，16a+4b+c=0，C=-2.又由题意得y=ax2+bx+c经过点A(-1,0)，点B(4,0)和C(0,-2)三点,解这个方程组得a=,b=-,c=-2.所求抛物线解析式为y=x2-x-2 .（２）配方得y=(x-)2-.顶点坐标为(,-). 作对称轴MN，过点N作NH⊥轴于H.在△CMN和△CHN中，CN2+CM2=（）2+（-2）2+（）2=，MN2=（）2=∴CN2+CM2=MN2，∴△MCN是直角三角形且∠MCN=900，又∴MC是半径，∴直线CN是⊙M的切线.（３）存在以Ａ、Ｂ、P、Q为顶点的四边形是平行四边形．\n设P点坐标为（x,y）且在（１）中所求抛物线上，又由题意可知Q点在对称轴直线Ｘ＝上，∴点Q的横坐标为.分以下三种情况讨论：①当AB为平行四边形的边,点P在对称轴右侧时，QP=x-在平行四边形ABPQ中,AB=QP=5,∴x-=5,∴x=此时y=x2-x-2=∴点P的坐标为(,)②当AB为平行四边形边,点P在对称轴左侧时，PQ=-x在平行四边形ABMN中,AB=PQ=5∴-x=5∴x=-此时y=x2-x-2=∴点P的坐标为(-,)③当AB为对角线时,点P与抛物线顶点重合此时,点P的坐标为(,-)综上所述点所求P的坐标为(,)或(-,)或(,-)
