第十九讲 解直角三角形1．在一次数学活动中，李明利用一根拴有小锤的细线和一个半圆形量角器制作了一个测角仪，去测量学校内一座假山的高度CD，如图，已知李明距假山的水平距离BD为12m，他的眼睛距地面的高度为1.6m，李明的视线经过量角器零刻度线OA和假山的最高点C，此时，铅垂线OE经过量角器的60°刻度线，则假山的高度为( A )A．(4＋1.6)m B．(12＋1.6)mC．(4＋1.6)mD．4m,(第1题图)) ,(第2题图))2．如图，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为( B )A. B. C. D.3．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是( D )A．2B.C.D.,(第3题图)) ,(第4题图))4．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，则下列结论不正确的是( C )A．sinB＝ B．sinB＝C．sinB＝D．sinB＝5．小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度．如图，旗杆PA的高度与拉绳PB的长度相等．小明将PB拉到PB′的位置，测得∠PB′C＝α(B′C为水平线)，测角仪B′D的高度为1m，则旗杆PA的高度为( A )A.B.4\nC.D.6．计算sin245°＋cos30°·tan60°，其结果是( A )A．2 B．1 C. D.7．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，E为AB上一点且AE∶EB＝4∶1，EF⊥AC于F，连结FB，则tan∠CFB的值等于( C )A.B.C.D.,(第7题图)) ,(第8题图))8．在寻找马航MH370航班过程中，某搜寻飞机在空中A处发现海面上一块疑似漂浮目标B，此时从飞机上看目标B的俯角为α，已知飞行高度AC＝1500m，tanα＝，则飞机距疑似目标B的水平距离BC为( D )A．2400m B．2400mC．2500mD．2500m9．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，BC＝6，则AB＝__10__．10．规定：sin(－x)＝－sinx，cos(－x)＝cosx，sin(x＋y)＝sinx·cosy＋cosx·siny.据此判断下列等式成立的是__②③④__．(写出所有正确的序号)①cos(－60°)＝－；②sin75°＝；③sin2x＝2sinx·cosx；④sin(x－y)＝sinx·cosy－cosx·siny.11．如图，在半径为5的⊙O中，弦AB＝6，点C是优弧上一点(不与A，B重合)，则cosC的值为____．,(第11题图)) ,(第12题图))12．如图，在四边形ABCD中，AD＝AB＝BC，连结AC，且∠ACD＝30°，tan∠BAC＝，CD＝3，则AC＝__6__．13．计算：(1)tan45°＋2sin45°－2cos60°；解：原式＝1＋2×－2×＝1＋－1＝；(2)sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°.4\n解：设S＝sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°①，∴S＝cos289°＋cos288°＋cos287°＋…＋cos22°＋cos21°∴S＝cos21°＋cos22°＋cos23°＋…＋cos288°＋cos289°②，①＋②得2S＝89，S＝.14．如图，是一张宽m的矩形台球桌ABCD，一球从点M(点M在长边CD上)出发沿虚线MN射向边BC，然后反弹到边AB上的P点，如果MC＝n，∠CMN＝α，那么P点与B点的距离为____．15．如图，“中海海监50”正在南海海域A处巡逻，岛礁B上的中国海军发现点A在点B的正西方向上，岛礁C上的中国海军发现点A在点C的南偏东30°方向上，已知点C在点B的北偏西60°方向上，且B，C两地相距150海里．(1)求出此时点A到岛礁C的距离；(2)若“中海海监50”从A处沿AC方向向岛礁C驶去，当到达点A′时，测得点B在A′的南偏东75°的方向上，求此时“中国海监50”的航行距离．(注：结果保留根号)解：(1)如图所示：延长BA，过点C作CD⊥BA延长线与点D.由题意可得：∠CBD＝30°，BC＝150海里，则DC＝75海里，∴cos30°＝＝＝，解得AC＝50.答：点A到岛礁C的距离为50海里；(2)如图所示：过点A′作A′N⊥BC于点N，可得∠1＝30°，∠BA′A＝45°，则∠2＝∠ABA′＝15°，即A′B平分∠CBA.∴A′E＝AN.又∵A′E⊥BA，A′N⊥BC，设AA′＝x，则A′E＝A′N＝x，∴CA′＝2A′N＝2×x＝x.∵x＋x＝50，解得x＝75－25，4\n答：此时“中国海监50”的航行距离为(75－25)海里．16．(2022潍坊中考)如图，某数学兴趣小组要测量一栋五层居民楼CD的高度．该楼底层为车库，高2.5m；上面五层居住，每层高度相等．测角仪支架离地1.5m，在A处测得五楼顶部点D的仰角为60°，在B处测得四楼顶部点E的仰角为30°，AB＝14m．求居民楼的高度．(结果精确到0.1m，参考数据：≈1.73)解：设每层高为xm.由题意得MC′＝MC－CC′＝2.5－1.5＝1，则DC′＝5x＋1，EC′＝4x＋1.在Rt△DC′A′中，∠DA′C′＝60°.∴C′A′＝＝(5x＋1)．在Rt△EC′B′中，∠EB′C′＝30°.∴C′B′＝＝(4x＋1)．∵A′B′＝C′B′－C′A′＝AB，∴(4x＋1)－(5x＋1)＝14.解得x＝2－.∴居民楼高为：5×(2－)＋2.5≈18.4(m)．17．AE，CF是锐角三角形ABC的两条高，如果AE∶CF＝3∶2，则sin∠BAC∶sin∠ACB等于( B )A．3∶2 B．2∶3 C．9∶4 D．4∶94
