题型六 创新题型中考创新试题通常会给出一些初中数学课本中没有遇到过的新知识，这些知识是新定义、新背景以及一些后续会学习的一些定理、性质等，综合考查阅读、猜想、归纳、证明的能力．宜宾市中考数学试题以不同的形式出现不同类型的创新题型．(1)以新定义为背景的创新试题：主要考查学生的阅读理解能力、应变能力和创新能力．“给什么，用什么”是“新定义”型试题解题的基本思路．(2)整式的规律性问题、几何规律性问题．解答这类问题应充分发挥数形结合的作用，从数字的变化、图形的结构入手，分析图形的形成过程，从简单到复杂，进行归纳猜想，从而获得隐含的数学规律，并用代数式进行描述，再进行证明其正确性．(3)阅读理解创新题．这类题主要是对数学语言(也包括非数学语言)的理解和应用进行考查．要求能够读懂题目，理解数学语言，特别是非数学语言，并能进行抽象和转化及文字表达，能根据引入的新内容解题．这是数学问题的开始和基础．(4)开放探究性题型．传统的解答题和证明题，其条件和结论是由题目明确给出的，由因导果或执果索因进行解答．而探究性问题一般没有明确的条件或结论，没有固定的形式和方法，要求我们认真收集和处理问题的信息，通过观察、分析、综合、归纳、概括、猜想和论证等深层次的探索活动，认真研究才能得到问题的解答．开放性、操作性、探索性和综合性是探究性问题的明显特征．这类题目形式新颖，格调清新，涉及的基础知识和基本技能十分广泛，解题过程中有较多的创造性和探索性，解题方法灵活多变，既需要扎实的基础知识和基本技能，具备一定的数学能力，又需要思维的创造性和具有良好的个性品质．主要考查学生的思维过程、思维的创造性以及数学的创造能力． 新定义题型【例1】(2022宜宾中考)规定：logab(a＞0，a≠1，b＞0)表示a，b之间的一种运算．现有如下的运算法则：logaan＝n.logNM＝(a＞0，a≠1，N＞0，N≠1，M＞0)．例如：log223＝3，log25＝，则log1001000＝________．【解析】先根据logNM＝(a＞0，a≠1，N＞0，N≠1，M＞0)将所求式子化成以10为底的对数形式，再利用公式lognn2＝a进行计算．【答案】【点评】本题考查了实数的运算，这是一个新的定义，利用已知所给的新的公式进行计算．认真阅读，理解公式的真正意义；解决此类题的思路为：观察所求式子与公式的联系，发现1000与100都与10有关，且都能写成10的次方的形式，从而使问题得以解决． 找规律题型【例2】(2022衢州中考)如图，正△ABO的边长为2，O为坐标原点，A在x轴上，B在第二象限，△ABO沿x轴正方向作无滑动的翻滚，经一次翻滚后得到△A1B1O，则翻滚3次后点B的对应点的坐标是________，翻滚2017次后AB中点M经过的路径长为________．6\n【解析】如图，作B3E⊥x轴于E，易知OE＝5，B3E＝，观察图象可知3三次一个循环，一个循环点M的运动路径为＋＋＝π，由2017÷3＝672…1，可知翻滚2017次后AB中点M经过的路径长为672·π＋π＝π.【答案】(5，)；π【点评】本题考查轨迹、规律题、弧长公式、等边三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，循环从特殊到一般的探究方法，属于中考常考题型．【针对练习】1．(2022宜宾中考)在平面直角坐标系中，任意两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，规定运算：①AB＝(x1＋x2，y1＋y2)；②AB＝x1x2＋y1y2；③当x1＝x2且y1＝y2时，A＝B，有下列四个命题：(1)若A(1，2)，B(2，－1)，则AB＝(3，1)，AB＝0；(2)若AB＝BC，则A＝C；(3)若AB＝BC，则A＝C；(4)对任意点A，B，C，均有(AB)C＝A(BC)成立，其中正确命题的个数为( C ) A．1个B．2个C．3个D．4个2．(2022自贡中考改编)填在下面各正方形中四个数之间都有相同的规律，根据这种规律m的值为( B )15314 37532 59758 … 11mA．186B．184C．182D．1803．(2022绵阳中考改编)如图所示，将形状、大小完全相同的“●,)”和线段按照一定规律摆成下列图形，6\n第1幅图形中“●,)”的个数为a1，第2幅图形中“●,)”的个数为a2，第3幅图形中“●,)”的个数为a3，…，以此类推，则＋＋＋…＋的值为( A )A. B.C. D.4．(2022内江中考)如图，过点A0(2，0)作直线l：y＝x的垂线，垂足为点A1，过点A1作A1A2⊥x轴，垂足为点A2，过点A2作A2A3⊥l，垂足为点A3，…，这样依次下去，得到一组线段：A0A1，A1A2，A2A3，…，则线段A2016A2017的长为( B )A. B.C. D.5．(杭州中考)设a，b是实数，定义@的一种运算如下：a@b＝(a＋b)2－(a－b)2，则下列结论：①若a@b＝0，则a＝0或b＝0；②a@(b＋c)＝a@b＋a@c；③不存在实数a，b，满足a@b＝a2＋5b2；④设a，b是矩形的长和宽，若矩形的周长固定，则当a＝b时，a@b最大．其中正确的是( C )A．②③④B．①③④C．①②④D．①②③6．(湖州中考)定义：若点P(a，b)在函数y＝的图象上，将以a为二次项系数，b为一次项系数构造的二次函数y＝ax2＋bx称为函数y＝的一个“派生函数”．例如：点在函数y＝的图象上，则函数y＝2x2＋x称为函数y＝的一个“派生函数”．现给出以下两个命题：(1)存在函数y＝的一个“派生函数”，其图象的对称轴在y轴的右侧；(2)函数y＝的所有“派生函数”的图象都经过同一点，下列判断正确的是( C )A．命题(1)与命题(2)都是真命题B．命题(1)与命题(2)都是假命题C．命题(1)是假命题，命题(2)是真命题6\nD．命题(1)是真命题，命题(2)是假命题7．(成都中考)实数a，n，m，b满足a＜n＜m＜b，这四个数在数轴上对应的点分别为A，N，M，B(如图)，若AM2＝BM·AB，BN2＝AN·AB，则称m为a，b的“大黄金数”，n为a，b的“小黄金数”，当b－a＝2时，a，b的大黄金数与小黄金数之差m－n＝__2－4__．8．古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…叫做三角形数，它有一定的规律性，若把第一个三角形数记为x1，第二个三角形数记为x2，……第n个三角形数记为xn，则xn＋xn＋1＝__(n＋1)2__．9．(2022吉林中考)我们规定：当k，b为常数，k≠0，b≠0，k≠b时，一次函数y＝kx＋b与y＝bx＋k互为交换函数．例如：y＝4x＋3的交换函数为y＝3x＋4.一次函数y＝kx＋2与它的交换函数图象的交点横坐标为__1__.10．(2022阿坝州中考)如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，沿着箭头所示方向，每次移动1个单位，依次得到点P1(0，1)，P2(1，1)，P3(1，0)，P4(1，－1)，P5(2，－1)，P6(2，0)，…，则点P2017的坐标是__(672，1)__．11．(2022葫芦岛中考)如图，直线y＝x上有点A1，A2，A3，…An＋1，且OA1＝1，A1A2＝2，A2A3＝4，AnAn＋1＝2n，分别过点A1，A2，A3，…An＋1作直线y＝x的垂线，交y轴于点B1，B2，B3，…Bn＋1，依次连结A1B2，A2B3，A3B4，…AnBn＋1，得到△A1B1B2，△A2B2B3，△A3B3B4，…，△AnBnBn＋1，则△AnBnBn＋1的面积为__(22n－1－2n－1)__．(用含有正整数n的式子表示),(第11题图)) ,(第12题图))12．对于一个矩形ABCD及⊙M给出如下定义：在同一平面内，如果矩形ABCD的四个顶点到⊙M上一点的距离相等，那么称这个矩形ABCD是⊙M的“伴侣矩形”．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝x－3交x轴于点M，⊙M的半径为2，矩形ABCD沿直线运动(BD在直线l上)，BD＝2，AB∥y轴，当矩形ABCD是⊙M的“伴侣矩形”时，点C的坐标为__或__．13．(台州中考)定义：有三个内角相等的四边形叫三等角四边形．(1)三等角四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C，求∠A的取值范围；6\n(2)如图，折叠平行四边形纸片DEBF，使顶点E，F分别落在边BE，BF上的点A，C处，折痕分别为DG，DH.求证：四边形ABCD是三等角四边形．(3)三等角四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C，若CB＝CD＝4，则当AD的长为何值时，AB的长最大，其最大值是多少？并求此时对角线AC的长．解：(1)∵∠A＝∠B＝∠C，∴3∠A＋∠ADC＝360°，∴∠ADC＝360°－3∠A.∵0＜∠ADC＜180°，∴0°＜360°－3∠A＜180°，∴60°＜∠A＜120°；(2)∵四边形DEBF为平行四边形，∴∠E＝∠F，且∠E＋∠EBF＝180°.∵DE＝DA，DF＝DC，∴∠E＝∠DAE＝∠F＝∠DCF.∵∠DAE＋∠DAB＝180°，∠DCF＋∠DCB＝180°，∠E＋∠EBF＝180°，∴∠DAB＝∠DCB＝∠ABC，∴四边形ABCD是三等角四边形；(3)①当60°＜∠A＜90°时，如答图①，过点D作DF∥AB，DE∥BC，∴四边形BEDF是平行四边形，∠DFC＝∠B＝∠DEA，∴EB＝DF，DE＝FB.∵∠A＝∠B＝∠C，∠DFC＝∠B＝∠DEA，∴△DAE∽△DCF，AD＝DE，DC＝DF＝4.设AD＝x，AB＝y，∴AE＝y－4，CF＝4－x.∵△DAE∽△DCF，∴＝，∴＝，6\n∴y＝－x2＋x＋4＝－(x－2)2＋5，∴当x＝2时，y的最大值是5，即当AD＝2时，AB的最大值为5，②当∠A＝90°时，三等角四边形是正方形，∴AD＝AB＝CD＝4，③当90°＜∠A＜120°时，∠D为锐角，如答图②，过点D作DE∥BC，∠DCB＝∠CBA，∴四边形BCDE是等腰梯形，∴CD＝EB＝4，∵AE＝4－AB＞0，∴AB＜4，综上所述，当AD＝2时，AB的长最大，最大值是5；此时，AE＝1，如答图③，过点C作CM⊥AB于M，DN⊥AB于N，∵DA＝DE，DN⊥AB，∴AN＝AE＝.∵∠DAN＝∠CBM，∠DNA＝∠CMB＝90°，∴△DAN∽△CBM，∴BM＝1，∴AM＝4，CM＝＝，∴AC＝＝＝.6
