题型三 函数的综合题纵观近几年全国各地的中考数学试卷，函数的命题放在各个位置都有，突出考查同学们的数形结合思想、学科内综合、学科间综合、实际应用题．所考题型无所不包，同时不断与其他数学知识相互渗透，题量不一定是最多的，但综合程度一定是最高的．函数的本质特征是变化与对应，它是表示、处理数量关系以及变化规律的有效工具．作为刻画变量变化规律的工具，函数的各种形式体现了“函数知识”与“函数思想”的统一．“函数”除了包括函数的概念、正比例函数、一次函数、反比例函数及二次函数等具体知识外，其自身还蕴含着方程与不等式的知识．函数是初中数学的核心内容、重要的基础知识．它与数学其他知识有着更为广泛的联系，不仅有着极为广泛的应用，而且也是发展同学们符号感的有效载体．宜宾市近几年的中考题中，函数一直是“重头戏”，分值偏高．从基础题到压轴题，都出现过跟函数知识有关的题目．【例1】如果两个变量x，y之间的函数关系如图所示，则函数值y的取值范围是( ) A．－3≤y≤3B．0≤y≤2C．1≤y≤3D．0≤y≤3【解析】根据图象，找到y的最高点是(－2，3)及最低点是(1，0)，确定函数值y的取值范围．【答案】D【点评】本题考查了函数的图象，解答本题的关键是会观察图象，找到y的最高点及最低点．【例2】给出一种运算：对于函数y＝xn，规定y′＝nxn－1.例如：若函数y＝x4，则有y′＝4x3.已知函数y＝x3，则方程y′＝12的解是( )A．x1＝4，x2＝－4 B．x1＝2，x2＝－2C．x1＝x2＝0 D．x1＝2，x2＝－2【解析】首先根据新定义(高中导函数的定义)求出函数y＝x3中的n，再与方程y′＝12组成方程组得出：3x2＝12，用直接开平方法解方程即可．【答案】B【点评】本题考查了利用直接开平方法解一元二次方程，同时还以新定义的形式考查了学生的阅读理解能力，此新定义是高中导函数的定义；注意：①二次项系数要化为1，②根据平方根的意义开平方时，是两个解，且是互为相反数，不要丢解．【例3】在直角坐标系中，我们不妨将横坐标，纵坐标均为整数的点称之为“中国结”．(1)求函数y＝x＋2的图象上所有“中国结”的坐标；8\n(2)若函数y＝(k≠0，k为常数)的图象上有且只有两个“中国结”，试求出常数k的值与相应“中国结”的坐标；(3)若二次函数y＝(k2－3k＋2)x2＋(2k2－4k＋1)x＋k2－k(k为常数)的图象与x轴相交得到两个不同的“中国结”，试问该函数的图象与x轴所围成的平面图形中(含边界)，一共包含有多少个“中国结”？【解析】(1)因为x是整数，x≠0时，x是一个无理数，所以x≠0时，x＋2不是整数，所以x＝0，y＝2，据此求出函数y＝x＋2的图象上所有“中国结”的坐标即可；(2)首先判断出当k＝1时，函数y＝(k≠0，k为常数)的图象上有且只有两个“中国结”：(1，1)，(－1，－1)；然后判断出当k≠1时，函数y＝(k≠0，k为常数)的图象上最少有4个“中国结”，据此求出常数k的值与相应“中国结”的坐标即可；(3)首先令(k2－3k＋2)x2＋(2k2－4k＋1)x＋k2－k＝0，则[(k－1)x＋k][(k－2)x＋(k－1)]＝0，求出x1，x2的值是多少；然后根据x1，x2的值是整数，求出k的值是多少；最后根据横坐标，纵坐标均为整数的点称之为“中国结”，判断出该函数的图象与x轴所围成的平面图形中(含边界)，一共包含有多少个“中国结”即可．【答案】解：(1)∵x是整数，x≠0时，x是一个无理数，∴x≠0时，x＋2不是整数，∴x＝0，y＝2，即函数y＝x＋2的图象上“中国结”的坐标是(0，2)；(2)①当k＝1时，函数y＝(k≠0，k为常数)的图象上有且只有两个“中国结”：(1，1)，(－1，－1)；②当k＝－1时，函数y＝(k≠0，k为常数)的图象上有且只有两个“中国结”：(1，－1)(－1，1)；③当k≠±1时，函数y＝(k≠0，k为常数)的图象上最少有4个“中国结”：(1，k)，(－1，－k)，(k，1)，(－k，－1)，这与函数y＝(k≠0，k为常数)的图象上有且只有两个“中国结”矛盾．综上所述，k＝1时，函数y＝(k≠0，k为常数)的图象上有且只有两个“中国结”：(1，1)，(－1，－1)；k＝－1时，函数y＝(k≠0，k为常数)的图象上只有两个“中国结”：(1，－1)，(－1，1)；(3)令(k2－3k＋2)x2＋(2k2－4k＋1)x＋k2－k＝0，则[(k－1)x＋k][(k－2)x＋(k－1)]＝0，∴∴k＝＝，整理，可得x1x2＋2x2＋1＝0，∴x2(x1＋2)＝－1，∵x1，x2都是整数，8\n∴或∴或①当时，∵＝1，∴k＝；②当时，∵＝－1，∴k＝k－1，无解；综上，可得k＝，x1＝－3，x2＝1，y＝(k2－3k＋2)x2＋(2k2－4k＋1)x＋k2－k＝x2＋x＋－＝－x2－x＋，①当x＝－2时，y＝－x2－x＋＝－×(－2)2－×(－2)＋＝；②当x＝－1时，y＝－x2－x＋＝－×(－1)2－×(－1)＋＝1；③当x＝0时，y＝，另外，该函数的图象与x轴所围成的平面图形中x轴上的“中国结”有3个：(－2，0)，(－1，0)，(0，0)．综上，可得若二次函数y＝(k2－3k＋2)x2＋(2k2－4k＋1)x＋k2－k(k为常数)的图象与x轴相交得到两个不同的“中国结”，该函数的图象与x轴所围成的平面图形中(含边界)，一共包含有6个“中国结”：(－3，0)，(－1，1)，(1，0)，(－2，0)，(－1，0)，(0，0)．8\n【点评】(1)此题主要考查了反比例函数问题，考查了分类讨论思想的应用，要熟练掌握反比例函数的图象和性质；(2)此题还考查了对新定义“中国结”的理解和掌握，解答此题的关键是要明确：横坐标，纵坐标均为整数的点称之为“中国结”．【针对练习】1．对于实数a，b，我们定义符号max{a，b}的意义为：当a≥b时，max{a，b}＝a；当a＜b时，max{a，b}＝b；如：max{4，－2}＝4，max{3，3}＝3，若关于x的函数为y＝max{x＋3，－x＋1}，则该函数的最小值是( B )A．0B．2C．3D．42．(2022宜宾中考)给出定义：设一条直线与一条抛物线只有一个公共点，且这条直线与这条抛物线的对称轴不平行，就称直线与抛物线相切，这条直线是抛物线的切线．有下列命题：①直线y＝0是抛物线y＝x2的切线；②直线x＝－2与抛物线y＝x2相切于点(－2，1)；③若直线y＝x＋b与抛物线y＝x2相切，则相切于点(2，1)；④若直线y＝kx－2与抛物线y＝x2相切，则实数k＝.其中正确的命题是( B )A．①②④ B．①③ C．②③ D．①③④3．平面直角坐标系中有两点M(a，b)，N(c，d)，规定(a，b)(c，d)＝(a＋c，b＋d)，则称点Q(a＋c，b＋d)为M，N的“和点”．若以坐标原点O与任意两点及它们的“和点”为顶点能构成四边形，则称这个四边形为“和点四边形”，现有点A(2，5)，B(－1，3)，若以O，A，B，C四点为顶点的四边形是“和点四边形”，则点C的坐标是__(1，8)或(－3，－2)或(3，2)__．4．(2022通辽中考)如图，将八个边长为1的小正方形摆放在平面直角坐标系中，若过原点的直线l将图形分成面积相等的两部分，则将直线l向右平移3个单位后所得直线l′的函数关系式为__y＝x－____．5．(2022聊城中考)如图，分别位于反比例函数y＝，y＝在第一象限图象上的两点A，B，与原点O在同一直线上，且＝.(1)求反比例函数y＝的表达式；8\n(2)过点A作x轴的平行线交y＝的图象于点C，连结BC，求△ABC的面积．解：(1)作AE，BF分别垂直于x轴，垂足为点E，F.∴△AOE∽△BOF.又＝，∴＝＝＝.由点A在函数y＝的图象上，设A(m，)，∴＝＝，＝＝.∴OF＝3m，FB＝.即B(3m，)．又点B在y＝的图象上，∴＝，解得k＝9.∴反比例函数y＝的表达式为y＝；(2)由(1)知，A(m，)，B(3m，)，又已知过点A作x轴的平行线交y＝的图象于点C，∴点C的纵坐标为.又由点C在y＝的图象上，∴＝，解得x＝9m.∴C(9m，)．∴AC＝xC－xA＝9m－m＝8m.8\n点B到AC的距离为yB－yA＝－＝.∴S△ABC＝×8m×＝8.6．若两条抛物线的顶点相同，则称它们为“友好抛物线”，抛物线C1：y1＝－2x2＋4x＋2与C2：y2＝－x2＋mx＋n为“友好抛物线”．(1)求抛物线C2的表达式；(2)点A是抛物线C2上在第一象限的动点，过A作AQ⊥x轴，Q为垂足，求AQ＋OQ的最大值；(3)设抛物线C2的顶点为C，点B的坐标为(－1，4)，问在C2的对称轴上是否存在点M，使线段MB绕点M逆时针旋转90°得到线段MB′，且点B′恰好落在抛物线C2上？若存在求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．解：(1)∵y1＝－2x2＋4x＋2＝－2(x－1)2＋4，∴抛物线C1的顶点坐标为(1，4)．∵抛物线C1与C2顶点相同，∴y2＝－(x－1)2＋4＝－x2＋2x＋3，∴抛物线C2的表达式为y2＝－x2＋2x＋3；(2)如答图①，设点A的坐标为(a，－a2＋2a＋3)．∴AQ＝－a2＋2a＋3，OQ＝a，∴AQ＋OQ＝－a2＋2a＋3＋a＝－a2＋3a＋3＝－2＋，∴当a＝时，AQ＋OQ有最大值，最大值为；(3)如答图②，连结BC，过点B′作B′D⊥CM，垂足为D.∵B(－1，4)，C(1，4)，抛物线的对称轴为直线x＝1，∴BC⊥CM，BC＝2.∵∠BMB′＝90°，∴∠BMC＋∠B′MD＝90°.∵B′D⊥MC，∴∠MB′D＋∠B′MD＝90°，∴∠MB′D＝∠BMC.∵BM＝B′M，∴△BCM≌△MDB′，∴BC＝MD，CM＝B′D.设点M的坐标为(1，a)．则B′D＝CM＝4－a，MD＝CB＝2.∴点B′的坐标为(a－3，a－2)．∴－(a－3)2＋2(a－3)＋3＝a－2.8\n解得a1＝2，a2＝5.当a＝2时，M的坐标为(1，2)，当a＝5时，M的坐标为(1，5)．综上所述当点M的坐标为(1，2)或(1，5)时，B′恰好落在抛物线C2上． 7．(2022宜宾创新)已知抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于点A(－1，0)，B(3，0)，与y轴交于点C，抛物线的顶点为P.(1)如图①，连结AP，分别求出抛物线与直线AP的表达式；(2)如图①，点D(2，3)在抛物线上，在第一象限内，直线AP上是否存在点E，使DE⊥EO？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．(3)如图②，连结BC与抛物线的对称轴交于点F，在对称轴右侧的抛物线上是否存在点G，使△GPF与△GBF的面积相等？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)由题意，得解得∴抛物线的表达式为y＝－x2＋2x＋3.∵y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，∴P(1，4)．设直线AP的表达式为y＝kx＋b，点A，P两点坐标代入得解得∴直线AP的表达式为y＝2x＋2； (2)如答图①，假设AP上有一点E，使得DE⊥EO，作EM⊥OB于M，DN⊥EM于N，则△EMO∽△DNE，∴＝.设E(x，y)，D(2，3)，则OM＝x，EM＝y，EN＝y－3，DN＝2－x，∴＝.8\n又∵y＝2x＋2，解得x＝±，∴y＝±＋2，∴E或；(3)设过点P与BC平行的直线与抛物线的交点为G，如答图②，∵P点的坐标为(1，4)，直线BC的表达式为y＝－x＋3，∴过点P与BC平行的直线为y＝－x＋5，由解得或∴点G的坐标为(2，3)．∵PF的表达式为x＝1，直线BC的表达式为y＝－x＋3，∴点F的坐标为(1，2)．设PF与x轴交于点E.∵PF＝EF＝2，∴过点E与BC平行的直线为y＝－x＋1，由解得或(不合题意，舍去)，∴点G的坐标为，∴使得△GPF与△GBF的面积相等的点G的坐标为(2，3)或.教后反思：_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________8
