第十三讲 三角形及其性质,考标完全解读)考点考试内容考试要求三角形的有关概念三角形的定义了解三角形的内角了解三角形的外角了解三角形的内角平分线、中线、高线、中位线的定义了解三角形的性质三角形的内角和及其推论掌握三角形的三边关系理解三角形的分类了解三角形的中位线定理掌握,感受宜宾中考)(2022宜宾中考)如图，△ABC是正三角形，曲线CDEF…叫做“正三角形的渐开线”，其中，，，…的圆心按点A，B，C循环．如果AB＝1，那么曲线CDEF的长是__4π__．(结果保留π),核心知识梳理) 三角形的分类三角形6\n 一般三角形的基本性质1．三边关系三角形的任意两边之和__大于第三边__，任意两边之差__小于第三边__．2．内角和定理：三角形三个内角和等于__180°__．3．内外角关系：(1)三角形的任意一个外角__等于__与它不相邻的两个内角的和．(2)三角形的一个外角__大于__与它不相邻的任何一个内角． 三角形中的重要线段4．中线：三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段．如图，△ABC中，BD＝DC. 5．高线：从三角形一个顶点到它对边所在直线的垂线段．如图，△ABC中，AD⊥BC，即∠ADB＝∠ADC＝90°. 6．角平分线：三角形中，一个角的平分线与这个角的对边相交，顶点与交点之间的线段．如图，△ABC中，∠1＝∠2. 7．(1)中位线：连接三角形任意两边__中点__的线段．(2)中位线的性质定理：三角形的中位线__平行__于第三边，并且__等于__第三边的一半．6\n如图，△ABC中，DE∥BC且DE＝BC.(3)三角形中位线性质定理的作用：位置关系：可以证明两条直线平行；数量关系：可以证明线段的倍分关系． 角平分线的定理及逆定理8．定理：角平分线的点到这个角的两边的距离__相等__．9．逆定理：到一个角的两边距离__相等__的点在这个角的平分线上．,重点难点解析) 三角形三边的关系【例1】边长为整数并且最大边长是5的三角形共有______个．【解析】确定三边中的两边，分类找到边长是整数，且最长的边为5的三角形的个数即可．【答案】9【点评】此题考查三角形三边关系，解决本题的关键是分类得到三角形的三边长；注意去掉重合的组成三角形的三边．【针对训练】1．(2022舟山中考)长度分别为2，7，x的三条线段能组成一个三角形，x的值可以是( C ) A．4 B．5 C．6 D．92．(2022白银中考)已知a，b，c是△ABC的三条边长，化简|a＋b－c|－|c－a－b|的结果为( D )A．2a＋2b－2cB．2a＋2bC．2cD．0 三角形内角和及外角的应用【例2】如图，D，E，F分别是△ABC三边延长线上的点，则∠D＋∠E＋∠F＋∠1＋∠2＋∠3＝______°.【解析】利用三角形的内角和定理计算．【答案】180【点评】主要考查了三角形的内角和外角之间的关系．(1)三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和；(2)三角形的内角和是180°.求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°”这一隐含的条件．【针对训练】3．一次数学活动课上．小聪将一副三角板按图中方式叠放，则∠α等于__75°__．6\n,(第3题图)) ,(第4题图))4．(2022郴州中考)小明把一副含45°，30°的直角三角板如图摆放，其中∠C＝∠F＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，则∠α＋∠β等于( B )A．180° B．210° C．360° D．270° 三角形中重要线段的应用【例3】如图，在△ABC中，点M为BC的中点，AD平分∠BAC，且BD⊥AD于点D，延长BD交AC于点N.若AB＝12，AC＝18，则MD的长为______．【解析】根据等腰三角形三线合一的性质可得BD＝DN，AB＝AN，再求出CN，然后判断出DM是△BCN的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半解答．【答案】3【点评】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，等腰三角形三线合一的性质，熟记定理与性质并作辅助线构造出以MD为中位线的三角形是解题的关键．【针对训练】5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D，E分别是边AC，AB的中点，点F在边BC上，AF与DE相交于点G，如果∠AFB＝110°，那么∠CGF的度数是__40°__． 三角形的实际应用【例4】(2022福建中考)如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D.求作∠ABC的平分线，分别交AD，AC于P，Q两点；并证明AP＝AQ.(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)【解析】根据角平分线的性质作出BQ即可．先根据垂直的定义得出∠ADB＝90°，故∠BPD＋∠PBD＝90°.再根据余角的定义得出∠AQP＋∠ABQ＝90°，根据角平分线的性质得出∠ABQ＝∠PBD，再由∠BPD＝∠APQ可知∠APQ＝∠AQP，据此可得出结论．【答案】解：BQ就是所求作的∠ABC的平分线，P，Q就是所求作的点．证明如下：∵AD⊥BC，∴∠ADB＝90°.∴∠BPD＋∠PBD＝90°.∵∠BAC＝90°，∴∠AQP＋∠ABQ＝90°.∵∠ABQ＝∠PBD，∴∠BPD＝∠AQP，∵∠BPD＝∠APQ，∴∠APQ＝∠AQP，∴AP＝AQ.【针对训练】6．(2022自贡中考)两个城镇A，B与一条公路CD，一条河流CE6\n的位置如图所示，某人要修建一避暑山庄，要求该山庄到A，B的距离必须相等，到CD和CE的距离也必须相等，且在∠DCE的内部，请画出该山庄的位置P.(不要求写作法，保留作图痕迹)解：如图所示：,当堂过关检测)1.(2022扬州中考)若一个三角形的两边长分别为2和4，则该三角形的周长可能是( C ) A．6 B．7 C．11 D．122．(2022株洲中考)如图，在△ABC中，∠BAC＝x°，∠B＝2x°，∠C＝3x°，则∠BAD＝( B )A．145° B．150° C．155° D．160°,(第2题图)) ,(第3题图))3．(2022长春中考)如图，在△ABC中，点D在AB上，点E在AC上，DE∥BC.若∠A＝62°，∠AED＝54°，则∠B的大小为( C )A．54° B．62° C．64° D．74°4．(2022宜昌中考)如图，要测定被池塘隔开的A，B两点的距离．可以在AB外选一点C，连结AC，BC，并分别找出它们的中点D，E，连结ED.现测得AC＝30m，BC＝40m，DE＝24m，则AB＝( B )A．50m B．48m6\nC．45m D．35m5．已知a，b，c是△ABC的三边，且满足＋(b－4)2＝0，求第三边c的取值范围是多少？解：由题意，得解得∴9－4＜c＜9＋4，即5＜c＜13. 教后反思：___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________6
