第5讲解直角三角形专题【考点透视】一、锐角三角函数与解直角三角形：1.锐角三角函数的定义，通过画图找出直角三角形中边角关系；2.准确记忆30°、45°、60°的三角函数值并进行计算；已知三角函数值求相应锐角；3.三角函数与直角三角形的相关应用.二、几何直线型：1、利用有关三角形、平行四边形、特殊平行四边形（矩形、菱形、正方形）、梯形等的性质、判定及其相关结论进行相关计算推理；2、解决几何图形的三大变换问题。【思想方法】1、本专题所研究的锐角三角函数，所涉及的角都是锐角，研究这样的角，可以与直角三角形直接联系起来。利用直角三角形的边角关系求图形中的某些边或角时，都是通过数值计算，这是数形结合的一种方式。所以在分析问题时，最好画出它的平面或截面示意图，按照图中边角关系去进行计算，便于解答、防止出错。有些图形虽然不是直角三角形，但可添加适当的辅助线把它们分割成一些直角三角形和矩形，如等腰三角形、梯形等问题。从而可以运用直角三角形的有关知识去解决这些图形中求边角的问题。2、“一招制胜”——分离图形法【精彩知识】考点1:有关三角函数的重要概念【例1】(1)如图所示正方形网格中，每个小正方形的边长都相等，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，线段AB与CD相交于P,则tan∠BPD的值为。(2)已知△ABC中，∠A、∠B是锐角，且sinA=，tanB=2,AB=29cm,则=.68CEABD变式训练：1.（泰安市）直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将如图那样折叠，使点与点重合，折痕为，则的值是（）A．B．C．D．2.如图，已知△ABC，AB＝AC＝1，∠A＝36°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，则AD的长是，cosA的值是．(结果保留根号)考点2:有关三角函数的计算【例2】已知α是锐角，且sin(α+15°)=，计算的值。变式训练：计算：考点3:锐角三角函数之间的关系及三角函数增减性【例3】若0°<α<45°,且sinαcosα=,则sinα的值为。变式训练：1．已知为锐角，下列结论：<2>如果，那么<3>如果，那么<4>其中正确的有（）A.1个B.2个C.3个D.4个2.已知m为实数，且sinα、cosα是方程的两根，则的值为。-6-\n考点4:解直角三角形【例4】如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠BCD=90°,且AB=1，BC=2，tan∠ADC=2.（1）求证：DC=BC；（2）E是梯形内一点，F是梯形外一点，且∠EDC=∠FBC，DE=BF，试判断△ECF的形状，并证明你的结论；（3）在（2）的条件下，当BE：CE=1：2，∠BEC=135°时，求sin∠BFE的值.【例5】如图，为了测量某山AB的高度，小明先在山脚下C点测得山顶A的仰角为45°，然后沿坡角为30°的斜坡走100米到达D点，在D点测得山顶A的仰角为30°，求山AB的高度．（参考数据：≈1.73）【例6】如图，在某海域内有三个港口、、．港口在港口北偏东方向上，港口在港口北偏西方向上．一艘船以每小时25海里的速度沿北偏东的方向驶离港口3小时后到达点位置处，此时发现船舱漏水，海水以每5分钟4吨的速度渗入船内．当船舱渗入的海水总量超过75吨时，船将沉入海中．同时在处测得港口在处的南偏东方向上．若船上的抽水机每小时可将8吨的海水排出船外，问此船在处至少应以怎样的航行速度驶向最近的港口停靠，才能保证船在抵达港口前不会沉没（要求计算结果保留根号）？并指出此时船的航行方向．变式训练：如图，在东西方向的海岸线l上有一长为1千米的码头MN，在码头西端M的正西方向30千米处有一观察站O．某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于O的北偏西30°方向，且与O相距千米的A处；经过40分钟，又测得该轮船位于O的正北方向，且与O相距20千米的B处．（1）求该轮船航行的速度；（2）如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否正好行至码头MN靠岸？请说明理由．（参考数据：，）-6-\n【能力拓展】【例7】在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，其顶点为M,若直线MC的函数表达式为,与x轴的交点为N，且COS∠BCO＝。(1)求此抛物线的函数表达式；(2)在此抛物线上是否存在异于点C的点P，使以N、P、C为顶点的三角形是以NC为一条直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标：若不存在，请说明理由；(3)过点A作x轴的垂线，交直线MC于点Q.若将抛物线沿其对称轴上下平移，使抛物线与线段NQ总有公共点，则抛物线向上最多可平移多少个单位长度?向下最多可平移多少个单位长度?【例8】（1）如图①，在菱形ABCD和菱形BEFG中，点A、B、E在同一条直线上，P是线段DF的中点，连结PG、PC。若∠ABC=∠BEF=60°，试探究PG与PC的位置关系及的值；（2）将图①中的菱形BEFG绕B点顺时针旋转，使菱形BEFG的对角线BF恰好与菱形ABCD的边AB在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图②），（1）中的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明；（3）在图①中若∠ABC=∠BEF=2α（0°<α<90°），将菱形BEFG绕B点顺时针旋转任意角度，原问题中的其他条件不变请直接写出=（用含α的式子表示）图①图②-6-\n【以练励学】1．如图,Rt△ABC中,∠C=90°,AC=BC,AC=6,D是AC上一点,tan∠DBA=,则AD的长为()A.B.2C.1D.22、小明是一位善于思考的学生，在一次数学活动课上，他将一副直角三角板如图位置摆放，A、B、C在同一直线上，EF∥AD，∠A=∠EDF=90°，∠C=45°，∠E=60°，量得DE=8，试求BD的长。3、综合实践课上，小明所在小组要测量护城河的宽度。如图所示是护城河的一段，两岸ABCD，河岸AB上有一排大树，相邻两棵大树之间的距离均为10米.小明先用测角仪在河岸CD的M处测得∠α=36°，然后沿河岸走50米到达N点，测得∠β=72°。请你根据这些数据帮小明他们算出河宽FR（结果保留两位有效数字）.（参考数据：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73，sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08）ABCDEFMNRαβ4、我市在规划沿江新城期间，欲拆江岸边的一根电线杆AB(如图)，已知距电线杆AB水平距离14米处是河岸，即BD＝14米，该河岸的坡面CD的坡角∠CDF的正切值为2（即tan∠CDF=2），岸高CF为2米，在坡顶C处测得杆顶A的仰角为30°，D、E之间是宽2米的人行道，请你通过计算说明在拆除电线杆AB时，为确保安全，是否将此人行道封上？(在地面上以点B为圆心，以AB长为半径的圆形区域为危险区)5、在矩形ABCD和矩形CEFG中，已知，连结DE与AF交于点P,连结CP.（1）如图1，当k=1时，点B、C、E在一条直线上，求的值。（2）如图2，当k=1，并将图1中的矩形CEFG绕点C顺时针旋转一定的角度时，①求的值；②求证：CP⊥AF。（3）如图3，当k≠1时，请直接写出的值（用含k的式子表示）。图1图2图3-6-\n【例5】解：过D作DE⊥BC于E，作DF⊥AB于F，设AB=x，在Rt△DEC中，∠DCE=30°，CD=100，∴DE=50，CE=50。在Rt△ABC中，∠ACB=45°，∴BC=x。则AF=AB－BF=AB－DE=x－50，DF=BE=BC＋CE=x＋50。在Rt△AFD中，∠ADF=30°，tan30°=，∴。∴（米）。答：山AB的高度约为236.5米。变式：解：（1）过点A作AC⊥OB于点C。由题意，得OA=千米，OB=20千米，∠AOC=30°。∴（千米）。∵在Rt△AOC中OC=OA•cos∠AOC=（千米），∴BC=OC﹣OB=30﹣20=10（千米）。∴在Rt△ABC中，（千米）。∴轮船航行的速度为：（千米/时）。【例7】解：(1)在Rt△OCE中，OE＝OCtan∠OCE＝，∴点E(0，。设直线AC的函数解析式为y＝kx＋，有，解得：k＝。∴直线AC的函数解析式为y＝。(2)在Rt△OGE中，tan∠EOG＝tan∠OCE＝，设EG＝3t，OG＝5t，，∴，得t＝2。∴EG＝6，OG＝10。∴/(3)存在。①当点Q在AC上时，点Q即为点G，如图1，作∠FOQ的角平分线交CE于点P1，由△OP1F≌△OP1Q，则有P1F⊥x轴，由于点P1在直线AC上，当x＝10时，y＝∴点P1(10，)。②当点Q在AB上时，如图2，有OQ＝OF，作∠FOQ的角平分线交CE于点P2，过点Q作QH⊥OB于点H，设OH＝a，则BH＝QH＝14－a，在Rt△OQH中，a2＋(14－a)2＝100，解得：a1＝6，a2＝8，∴Q(－6，8)或Q(－8，6)。连接QF交OP2于点M．当Q(－6，8)时，则点M(2，4)；当Q(－8，6)时，则点M(1，3)。设直线OP2的解析式为y＝kx，则2k＝4，k＝2。∴y＝2x。解方程组，得。∴P2()；-6-\n当Q(－8，6)时，则点M(1，3)．同理可求P2′()。综上所述，满足条件的P点坐标为(10，)或()或()。-6-
