三角形全等一、选择题1、(2022年安徽省模拟六)在△ABC与△A′B′C′中，已知AB=A′B′，∠A=∠A′，要使△ABC≌△A′B′C′，还需要增加一个条件，这个条件不正确的是…………【】A．AC=A′C′B.BC=B′C′C.∠B=∠B′D.∠C=∠C′．答案：B2、(2022年江苏南京一模)abcl如图，直线上有三个正方形，若的面积分别为3和4，则b的面积为（ ）A．3B．4C．5D．7答案：D30°AＢＯＣlD第1题图3．（2022郑州外国语预测卷）如图，两个等圆⊙A、⊙B分别与直线l相切于点C、D，连接AB与直线l相交于点O，∠AOB=30°，连接AC、BD，若AB=4，则这两个等圆的半径为（）A．B．1C．D．2答案：B4、（2022河南沁阳市九年级第一次质量检测）如图，把△ABC绕着点C顺时针旋转30°，得到△A′B′C，A′B′交AC于点D，若∠A′DC＝90°，则∠A的度数是【】A.30°B.50°C.60°D.80°C5、（2022年湖北省武汉市中考全真模拟）如图，等腰△ABC中，AB=AC，P为其底角平分线的交点，将△BCP沿CP折叠，使B点恰好落在AC边上的点D处，若DA=DP，则∠A的度数为().A.20°B.30°C.32°D.36°D6、（2022年湖北宜昌调研）如图，AC，BD交于点E，AE=CE24\n，添加以下四个条件中的一个，其中不能使△ABE≌△CDE的条件是（）（A）BE=DE（B）AB∥CD（C）∠A=∠C（D）AB=CD答案：D7、（2022年唐山市二模）在锐角△ABC中，∠BAC=60°，BN、CM为高，P为BC的中点，连接MN、MP、NP，则结论：①NP=MP②当∠ABC=60°时，MN∥BC③BN=2AN④AN︰AB=AM︰AC，一定正确的有（）A、1个B、2个C、3个D、4个答案：C8.（2022年上海闵行区二摸）在△ABC与△A′B′C′中，已知AB=A′B′，∠A=∠A′，要使△ABC≌△A′B′C′，还需要增加一个条件，这个条件不正确的是（A）AC=A′C′；（B）BC=B′C′；（C）∠B=∠B′；（D）∠C=∠C′．答案：B二、填空题1、（2022云南勐捧中学二模）如图，相交于点，AO=CO，试添加一个条件使得ACBDO，你添加的条件是 （只需写一个）．【答案】∠A=∠C、∠D=∠B、OD=OB（答案不唯一）第1题2．（2022年安徽初中毕业考试模拟卷一）如图，为等边三角形，AQ=PQ，PR=PS，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，则四个结论正确的是．（把所有正确答案的序号都填写在横线上）①AP平分∠BAC；②AS=AR；③QP∥AR；④≌△QSP．答案：①②③④三、解答题24\n1、(2022年湖北荆州模拟5)（本题满分8分）将两块斜边长度相等的等腰直角三角纸板如图(1)摆放，若把图(1)中的△BCN逆时针旋转90°，得到图(2)，图(2)中除△ABC≌△CED、△BCN≌△ACF外，你还能找到一对全等的三角形吗?写出你的结论并说明理由．答案：解：△FCM≌△NCM，理由如下：第1题图∵把图中的△BCN逆时针旋转90°，∴∠FCN=90°，CN=CF，∵∠MCN=45°，∴∠FCM=90°-45°=45°，在△FCM和△NCM中∵CM=CM，∠FCM=∠NCM，FC=CN∴△FCM≌△NCM（SAS）．2、(2022年湖北荆州模拟6)（本题满分8分）如图，正方形ABCD和BEFG在直线AB的同侧，连接AG、EC,易证AG=EC，现在将正方形BEFG顺时针旋转30°，那么AG=EC还成立吗？请作出旋转后的图形，并证明你的结论.答案：第2题解答图解：成立.理由如下：在ΔABG与ΔCBE中，第2题图∴ΔABG≌ΔCBE∴AG=CE3、(2022年江苏南京一模)（7分）如图，AB=AC，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，BE与CD相交于点O．(1)求证：AD=AE；(2)连接BC，DE，试判断BC与DE的位置关系并说明理由．答案：（1）证明：在△ACD与△ABE中，∵∠A=∠A，∠ADC=∠AEB=90°，AB=AC，∴△ACD≌△ABE．……………………2分∴AD=AE．……………………3分(2)互相平行……………………4分在△ADE与△ABC中，∵AD=AE，AB=AC，∴∠ADE=∠AED,∠ABC=∠ACB……………6分且∠ADE=180－∠A=∠ABC.24\n∴DE∥BC．……………7分第1题图4．（2022年北京房山区一模）如图，点C、B、E在同一条直线上，AB∥DE，∠ACB=∠CDE，AC=CD．求证：AB=CD．答案：证明：∵AB∥DE∴∠ABC=∠E------------------------------1分∵∠ACB=∠CDE，AC=CD-----------------------------3分∴△ABC≌△CED-------------------------4分∴AB=CD--------------------------5分5．（2022年北京房山区一模）（1）如图1，△ABC和△CDE都是等边三角形，且B、C、D三点共线，联结AD、BE相交于点P，求证：BE=AD.（2）如图2，在△BCD中，∠BCD＜120°，分别以BC、CD和BD为边在△BCD外部作等边三角形ABC、等边三角形CDE和等边三角形BDF，联结AD、BE和CF交于点P，下列结论中正确的是（只填序号即可）①AD=BE=CF；②∠BEC=∠ADC；③∠DPE=∠EPC=∠CPA=60°；（3）如图2，在（2）的条件下，求证：PB+PC+PD=BE.第2题图2第2题图1答案：(1)证明：∵△ABC和△CDE都是等边三角形∴BC=AC，CE=CD，∠ACB=∠DCE=60°∴∠BCE=∠ACD∴△BCE≌△ACD（SAS）∴BE=AD--------------1分（2）①②③都正确--------------4分（3）证明：在PE上截取PM=PC，联结CM24\n由（1）可知，△BCE≌△ACD（SAS）∴∠1=∠2设CD与BE交于点G,,在△CGE和△PGD中∵∠1=∠2，∠CGE=∠PGD∴∠DPG=∠ECG=60°同理∠CPE=60°∴△CPM是等边三角形--------------5分∴CP=CM，∠PMC=60°∴∠CPD=∠CME=120°∵∠1=∠2,∴△CPD≌△CME（AAS）---6分∴PD=ME∴BE=PB+PM+ME=PB+PC+PD.-------7分即PB+PC+PD=BE.第3题图6．（2022年北京龙文教育一模）已知：如图，AB∥CD，AB=CD，点E、F在线段AD上，且AF=DE．求证：BE=CF．答案：证明:AF=DE，AF-EF=DE–EF．即AE=DF．………………1分AB∥CD，∠A=∠D．……2分在△ABE和△DCF中，AB=CD，∠A=∠D，AE=DF．△ABE≌△DCF．……….4分BE=CF．…………….5分7.（2022年北京龙文教育一模）阅读下面材料：问题：如图①，在△ABC中，D是BC边上的一点，若∠BAD=∠C=2∠DAC=45°，DC=2．求BD的长．小明同学的解题思路是：利用轴对称，把△ADC进行翻折，再经过推理、计算使问题得到解决．（1）请你回答：图中BD的长为；图①图②第4题图（2）参考小明的思路，探究并解答问题：如图②，在△ABC中，D是BC边上的一点，若∠BAD=∠C=2∠DAC=30°，DC=2，求BD和AB的长．24\n答案：解：（1）.………………………………………………………1分（2）把△ADC沿AC翻折，得△AEC，连接DE，∴△ADC≌△AEC.∴∠DAC=∠EAC，∠DCA=∠ECA，DC＝EC.∵∠BAD=∠BCA=2∠DAC=30°，∴∠BAD=∠DAE=30°，∠DCE=60°.∴△CDE为等边三角形.……………………2分∴DC＝DE.在AE上截取AF＝AB，连接DF，∴△ABD≌△AFD.∴BD＝DF.在△ABD中，∠ADB=∠DAC＋∠DCA=45°，∴∠ADE=∠AED=75°，∠ABD=105°.∴∠AFD=105°.∴∠DFE=75°.∴∠DFE=∠DEF.∴DF＝DE.∴BD＝DC＝2.…………………………………………………………………3分作BG⊥AD于点G，∴在Rt△BDG中，.……………………………………………4分∴在Rt△ABG中，.……………………………………………5分第5题图8．（2022年北京平谷区一模）已知：如图，AB∥CD，AB=EC，BC=CD.求证：AC=ED.答案：证明：∵AB//CD， ∴．…………………………………………1分在△ABC和△ECD中，24\n∴ △ABC≌△ECD．……………………………………4分∴ AC=ED．………………………………………………5分第6题图9．（2022年北京顺义区一模）已知：如图，平分,点在上，，．求证：．答案：证明：∵平分∴……………1分在和中∵……………3分∴≌……………………………………………4分∴……………………………………………5分10．（2022年北京平谷区一模）（1）如图(1)，△ABC是等边三角形，D、E分别是AB、BC上的点，且，连接AE、CD相交于点P.请你补全图形，并直接写出∠APD的度数；=（2）如图（2）,Rt△ABC中，∠B=90°，M、N分别是AB、BC上的点，且，连接AN、CM相图1图2第7题图交于点P.请你猜想∠APM=°，并写出你的推理过程.答案：解：（1）60°………………………………..1分（2）45°………………………………..2分证明：作AE⊥AB且.可证.……………………………..3分∴∵∴图2∴∴是等腰直角三角形,……………….5分又△AEC≌△CAN（s，a，s）…………………………………………………………..6分24\n∴∴EC∥AN.∴…………………………………………………………………..7分11.（2022浙江东阳吴宇模拟题）(本题12分)如图，平面直角坐标系中，点A（0，4），B（3，0），D、E在x轴上，F为平面上一点，且EF⊥x轴，直线DF与直线AB互相垂直，垂足为H，△AOB≌△DEF，设BD＝h。（1）若F坐标（7，3），则h＝，若F坐标（－10，－3），则DH＝；OABDEFHxy（2）如h＝，则相对应的F点存在个，并请求出恰好在抛物线y＝上的点F的坐标；（3）请求出4个h值，满足以A、H、F、E为顶点的四边形是梯形。答案：（1）0（2）4求抛物线与x轴、y轴交点坐标，刚好过A、B、D三点，可求得F（，3）在抛物线上。（3）OABEF12.（2022浙江东阳吴宇模拟题）(本题6分))如图，一次函数y＝x＋6与反比例函数的图象相交于A，B两点，与x轴、y轴交于E、F，点B的横坐标为。（1）试确定反比例函数的解析式；（2）求证：△OBE≌△OAF。答案：（1）24\n（2）证明略13、（2022浙江锦绣·育才教育集团一模）（本小题满分8分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=2AB，点D是AC的中点，将一块锐角为45°的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A、D重合，连结BE、EC．试猜想线段BE和EC的关系，并证明你的猜想．ABCDE答案：解：数量关系为：BE=EC，位置关系是：BE⊥EC．－－－－－－－－－－1分证明：∵△AED是直角三角形，∠AED=90°，且有一个锐角是45°，∴∠EAD=∠EDA=45°，∴AE=DE，∵∠BAC=90°，∴∠EAB=∠EAD+∠BAC=90°+45°=135°，∠EDC=∠ADC－∠EDA=180°－45°=135°，∴∠EAB=∠EDC，∵D是AC的中点，∴AD=AB，∵AC=2AB，∴AB=DC，∴△EAB≌△EDC，∴EB=EC，且∠AEB=∠AED=90°，∴∠DEC+∠BED=∠AED=∠BED=90°，∴BE⊥ED．－－－－－－－－－－－－－－－8分（中间过程酌情给分）14、(2022年惠州市惠城区模拟)如图，点为正方形的边上一点.（1）在的下方，作射线交延长线于点，使．（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）；（2）在（1）的条件下，求证：.24\n（1）解：作图：（略）………………………（4分）（2）证明：………………………………………………（8分）15、（2022年广东省珠海市一模）已知：如图△ABC是等边三角形，过AB边上的点D作DG∥BC，交AC于点G，在GD的延长线上取点E，使DE=DB，连接AE、CD．（1）求证：△AGE≌△DAC；（2）过点E作EF∥DC，交BC于点F，请你连接AF，并判断△AEF是怎样的三角形，试证明你的结论．（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC=BC，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°．∵EG∥BC，∴∠ADG=∠ABC=60°∠AGD=∠ACB=60°．∴△ADG是等边三角形．∴AD=DG=AG．∵DE=DB，∴EG=AB．∴GE=AC．∵EG=AB=CA，∴∠AGE=∠DAC=60°，在△AGE和△DAC中，24\n∴△AGE≌△DAC．（2）解：△AEF为等边三角形．证明：如图，连接AF，∵DG∥BC，EF∥DC，∴四边形EFCD是平行四边形，∴EF=CD，∠DEF=∠DCF，由（1）知△AGE≌△DAC，∴AE=CD，∠AED=∠ACD．∵EF=CD=AE，∠AED+∠DEF=∠ACD+∠DCB=60°，∴△AEF为等边三角形．题24图16、（2022温州模拟）18．(本题8分)如图，矩形ABCD中，M是CD的中点.求证：（1）△ADM≌△BCM；（2）∠MAB=∠MBA【答案】证明：（1）在矩形ABCD中∵M是CD的中点∴DM=MC…………………1分∵∠D=∠C=90°AD=BC…………………2分∴△ADM≌△BCM…………1分（2）∵△ADM≌△BCM∴AM=MB………………2分∴∠MAB=∠MBA…………………2分证明：（1）在矩形ABCD中∵M是CD的中点∴DM=MC…………………1分∵∠D=∠C=90°AD=BC…………………2分∴△ADM≌△BCM…………1分（2）∵△ADM≌△BCM∴AM=MB………………2分∴∠MAB=∠MBA…………………2分17、(2022浙江永嘉一模)（第2题图）18．（本题8分）如图，E，F是平行四边形ABCD的对角线AC上的点，CE＝AF，请你猜想：BE与DF有怎样的位置关系和数量关系？对你的猜想加以证明．猜想：证明：【答案】解：猜想BE∥DF，BE=DF…………2分证明：∵四边形ABCD是平行四边形∴BC=AD，∠1=∠2又CE=AF，∴⊿BCE≌⊿DAF……3分24\n∴BE=DF，∠3=∠4…………2分∴BE∥DF……………………1分18、（2022重庆一中一模）24．已知正方形如图所示，连接其对角线，的平分线交于点,过点作于点，交于点，过点作,交延长线于点．（1）若正方形的边长为4，求的面积；（2）求证：．【答案】123H45解又四边形ABCD为正方形，............5分,在CN上截取NH=FN，连接BH又又AB=BC.................10分19．（2022郑州外国语预测卷）如图，等边△ABC中，AO是∠BAC的角平分线，D为AO上一点，以CD为一边且在CD下方作等边△CDE,连结BE.(1)求证：△ACD≌△BCE；24\n(2)延长BE至Q,P为BQ上一点，连结CP、CQ使CP=CQ=5,若BC=8时，求PQ的长.ABCDOEPQ答案：证明：△ABC和△CDE均为等边三角形，∴AC=BC,CD=CE且∠ACB=∠DCE=60°∵∠ACD+∠DCB=∠DCB+∠BCE=60°∴∠ACD=∠BCE∴△ACD≌△BCE（2）解：作CH⊥BQ交BQ于H,则PQ=2HQ在Rt△BHC中，由已知和（1）得∠CBH=∠CAO=30°∴CH=4，在Rt△CHQ中，HQ=∴PQ=2HQ=620.（2022江西饶鹰中考模拟）某校九年级（1）班数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：如图1，在等腰直角△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，小明将一块直角三角板的直角顶点放在斜边边的中点上，从BC边开始绕点A顺时针旋转，其中三角板两条直角边所在的直线分别AB、AC于点E、F．（1）小明在旋转中发现：在图1中，线段与相等。请你证明小明发现的结论；24\n（2）小明将一块三角板中含45°角的顶点放在点A上，从BC边开始绕点A顺时针旋转一个角α，其中三角板斜边所在的直线交直线BC于点D，直角边所在的直线交直线BC于点E．当0°＜α≤45°时，小明在旋转中还发现线段BD、CE、DE之间存在如下等量关系：BD2＋CE2＝DE2．同组的小颖和小亮随后想出了两种不同的方法进行解决：小颖的方法：将△ABD沿AD所在的直线对折得到△ADF，连接EF（如图2）；小亮的方法：将△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACG，连接EG（如图3）．请你从中任选一种方法进行证明；ABCDEF图2AOBEFABCDEG图3（3）小明继续旋转三角板，在探究中得出：当45°＜α＜135°且α≠90°时，等量关系BD2＋CE2＝DE2仍然成立．现请你继续探究：当135°＜α＜180°时（如图4），等量关系BD2＋CE2＝DE2是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由．ABC图4答案：（1）连接AO.∵∠ABC=90°,AB=AC且O是BC的中点，∴AO=BO,∠OAE=∠C=45°24\n∵∠AOE+∠AOF=∠AOF+∠COF=90°,∴∠AOE=∠COF,∴△AOE≌△COF,∴AE=CF（2）证明小颖的方法：∵将△ABD沿AD所在的直线对折得到△ADF，∴AF＝AB，∠AFD＝∠B＝45º，∠BAD＝∠FAD。又∵AC=AB，∴AF＝AC。由（1）知，∠FAE＝∠CAE。在△AEF和△AEC中，∵AF＝AC，∠FAE＝∠CAE，AE＝AE，∴△AEF≌△AEC（SAS）。∴CE＝FE，∠AFE＝∠C＝45º。∴∠DFE＝∠AFD＋∠AFE＝90º。在Rt△OCE中，DE2＋FE2＝DE2，∴BD2＋CE2＝DE2。（3）当135º＜＜180º时，等量关系BD2＋CE2＝DE2仍然成立。证明如下：如图，按小颖的方法作图，设AB与EF相交于点G。∵将△ABD沿AD所在的直线对折得到△ADF，∴AF＝AB，∠AFD＝∠ABC＝45º，∠BAD＝∠FAD。又∵AC=AB，∴AF＝AC。又∵∠CAE＝900－∠BAE＝900－（45º－∠BAD）＝45º＋∠BAD＝45º＋∠FAD＝∠FAE。在△AEF和△AEC中，∵AF＝AC，∠FAE＝∠CAE，AE＝AE，∴△AEF≌△AEC（SAS）。∴CE＝FE，∠AFE＝∠C＝45º。又∵在△AGF和△BGE中，∠ABC＝∠AFE＝45º，∠AGF＝∠BGE，∴∠FAG＝∠BEG。24\n又∵∠FDE＋∠DEF=∠FDE＋∠FAG＝（∠ADB＋∠DAB）＝∠ABC＝90º。∴∠DFE＝90º。在Rt△OCE中，DE2＋FE2＝DE2，∴BD2＋CE2＝DE2。21、（2022山东德州特长展示）（本题满分10分）（1）如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF＝BE．求证：CE＝CF；（2）如图2，在正方形ABCD中，E是AB上一点，G是AD上一点，如果∠ECG＝45°，请你利用（1）的结论证明：．（3）运用（1）、（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图3，在直角梯形ABCG中，AG∥BC（BC＞AG），∠B＝90°，AB＝BC=6，E是AB上一点，且∠ECG＝45°，BE＝2．求△ECG的面积．ABCDEFABCGEABCDE图1图2图3G解答：（1）证明：在正方形ABCD中，ABCDEF图1∵BC＝CD，∠B＝∠CDF，BE＝DF，∴△CBE≌△CDF．∴CE＝CF．…………………………2分（2）证明：如图2，延长AD至F，使DF=BE．连接CF．ABCDEF图2G由（1）知△CBE≌△CDF，∴∠BCE＝∠DCF．又∠GCE＝45°，24\n∴∠BCE+∠GCD＝45°．∴∠DCF＋∠GCD＝∠GCF＝45°即∠ECG＝∠GCF．又∵CE＝CF，GC＝GC，∴△ECG≌△FCG．…………………………5分∴=．∴．……………6分（3）解：如图3，过C作CD⊥AG，交AG延长线于D．BCAGED（第23题答案图3）在直角梯形ABCG中，BCADEG（第23题答案图3）∵AG∥BC，∴∠A＝∠B＝90°，又∠CDA＝90°，AB＝BC，∴四边形ABCD为正方形．已知∠ECG＝45°．由（2）中△ECG≌△FCG，∴GE＝GF．∴GE＝DF＋GD＝BE＋GD．设DG＝x，∵BE=2，AB=6，∴AE=4，AG＝6—x，EG=2+x．在Rt△AEG中，解得：x＝3．………。∴△CEG的面积为15．…………………………10分22、（2022凤阳县县直义教教研中心）如图1，△ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，D、F分别在AB、AC边上，此时BD＝CF，BD⊥CF成立.（1）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转θ（）时，如图2，BD＝CF成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.（2）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转45°时，如图3，延长BD交CF于点G.①求证：BD⊥CF；24\n②当AB＝4，AD＝时，求线段BG的长.图1图2图3解（1）BD＝CF成立.理由：∵△ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，∴AB=AC，AD=AF，∠BAC=∠DAF=90°,∵∠BAD=，∠CAF=，∴∠BAD=∠CAF，∴△BAD≌△CAF.∴BD＝CF.……………………………………………………………………（4分）（2）①证明：设BG交AC于点M.∵△BAD≌△CAF（已证），∴∠ABM＝∠GCM.∵∠BMA＝∠CMG，∴△BMA∽△CMG.∴∠BGC＝∠BAC＝90°.∴BD⊥CF.……………………………………（7分）②过点F作FN⊥AC于点N.∵在正方形ADEF中，AD＝，∴AN＝FN＝.∵在等腰直角△ABC中，AB＝4，∴CN＝AC－AN＝3，BC＝.Rt△FCN∽Rt△ABM，∴∴AM＝.∴CM＝AC－AM＝4－＝，.……（9分）24\n∵△BMA∽△CMG，∴.∴.∴CG＝.……………………………………（11分）∴在Rt△BGC中，.……………………..（12分）23、(2022年福州市初中毕业班质量检查)(12分)如图，半径为2的⊙E交x轴于A、B，交y轴于点C、D，直线CF交x轴负半轴于点F，连接EB、EC．已知点E的坐标为(1，1)，∠OFC＝30°．ABCDEOxyF第3题图(1)求证：直线CF是⊙E的切线；(2)求证：AB＝CD；(3)求图中阴影部分的面积．解：(1)过点E作EG⊥y轴于点G，∵点E的坐标为(1，1)，∴EG＝1．在Rt△CEG中，sin∠ECG＝＝，∴∠ECG＝30°．………………1分∵∠OFC＝30°，∠FOC＝90°，∴∠OCF＝180°－∠FOC－∠OFC＝60°．………………2分∴∠FCE＝∠OCF＋∠ECG＝90°．即CF⊥CE．∴直线CF是⊙E的切线．………………3分(2)过点E作EH⊥x轴于点H，∵点E的坐标为(1，1)，∴EG＝EH＝1．………………4分在Rt△CEG与Rt△BEH中，∵，∴Rt△CEG≌Rt△BEH．∴CG＝BH．………………6分∵EH⊥AB，EG⊥CD，∴AB＝2BH，CD＝2CG．24\n∴AB＝CD．………………7分(3)连接OE，在Rt△CEG中，CG＝＝，∴OC＝＋1．………………8分同理：OB＝＋1．………………9分∵OG＝EG，∠OGE＝90°，∴∠EOG＝∠OEG＝45°．又∵∠OCE＝30°，∴∠OEC＝180°－∠EOG－∠OCE＝105°．同理：∠OEB＝105°．………………10分∴∠OEB＋∠OEC＝210°．ABCDExyFOGH∴S阴影＝－×(＋1)×1×2＝－－1．………………12分24、（2022年湖北省武汉市中考全真模拟）（本题满分6分）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BE⊥AC于点E，点F在线段BE上，∠1=∠2，点D在线段EC上，给出两个条件：①DF∥BC；②BF=DF.请你从中选择一个作为条件，证明：△AFD≌△AFB．解：选①DF//BC.证明略25、（2022年湖北省武汉市中考全真模拟）(本题满分10分)如图1，在长方形纸片ABCD中，，其中≥1，将它沿EF折叠（点E、F分别在边AB、CD上），使点B落在AD边上的点M处，点C落在点N处，MN与CD相交于点P，连接EP.设，其中0＜n≤1．(1)如图2，当（即M点与D点重合），=2时，则=；（2）如图3，当（M为AD的中点），的值发生变化时，求证：EP=AE+DP；(3)如图1，当（AB=2AD），的值发生变化时，24\n的值是否发生变化？说明理由．解：⑴⑵延长PM交EA延长线于G，则△PDM≌△GAM，△EMP≌△EMG.∴EP=EG=EA+AG=EA+DP.⑶设AD=1,AB=2,过E作EH⊥CD于H,∵∠EFP=∠FPN=∠MPD=∠EMA.∴△EFH∽ΔEMA∴∵AE的长度发生变化,∴的值将发生变化.26、（2022年湖北武汉模拟）（本题满分6分）已知：如图点C、E、B、F在同一直线上，AC∥DF，AC=DF，CE=BF．求证：AB∥DE．答案：略27、图10（2022年广西钦州市四模）如图10，已知，，与相交于点，连接（1）图中还有几对全等三角形，请你一一列举.（2）求证：．（1）…………………………………………（2分）（2）证法一：连接…………………………………（3分）…………………………………（4分）…………………………………（5分）24\n又…………………………………（6分）即………………………………………………………………（7分）………………………………………………………………………（8分）证法二：即……………………（3分）………………………………（4分）………………………………（5分）又………………………………（6分）又……………………………………………………（7分）………………………………………………………………………（8分）证法三：连接………………………………………………………………（3分）又……………………………（5分）……………………………（6分）又………………………………（7分）即24\n……………………………（8分）28.（2022上海黄浦二摸）（本题满分12分，第（1）、（2）小题满分各6分）如图，在梯形ABCD中，AD‖BC，AB=CD，对角线AC与BD交于点O，OE⊥BC，垂足是E.（1）求证：E是BC的中点；（2）若在线段BO上存在点P，使得四边形AOEP为平行四边形，求证：四边形ABED是平行四边形.答案：证：（1）∵在梯形ABCD中，AD‖BC，AB=CD，∴AC=BD，又BC=CB，∴△ABC≌△DCB，--------------------------------------------------------------------（3分）∴∠ACB=∠DBC，∵OE⊥BC，E是垂足.∴E是BC的中点.---------------------------------------------------------------------（3分）（2）∵四边形AOEP为平行四边形，∴AO‖EP,AO=EP，-------------------------------------------------------------------（1分）∵E是BC的中点.∴.--------------------------------------------------------------------------（2分）∵AD‖BC，∴.-------------------------------------------------------------（2分）∴AD=BE，又AD‖BE，∴四边形ABED是平行四边形.-------------------------------------------------------（1分）（第23题图）ABCDEF29.．（2022年上海静安区二摸）（本题满分12分，每小题满分6分）已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E分别在边AC、AB上，DA=DB，BD与CE相交于点F，∠AFD=∠BEC．求证：（1）AF=CE；24\n（2）．答案：．证明：（1）∵DA=DB，∴∠FBA=∠EAC，………………………………………（2分）∵∠AFD=∠BEC，∴180º–∠AFD=180º–∠BEC，即∠BFA=∠AEC．……（2分）∵BA=AC，∴△BFA≌△AEC．……………………………………………（1分）∴AF=CE．……………………………………………………………………（1分）（2）∵△BFA≌△AEC，∴BF=AE．……………………………………………（1分）∵∠EAF=∠ECA，∠FEA=∠AEC，∴△EFA∽△EAC．…………………（2分）∴．………………………………………………………………（1分）∴．…………………………………………………………（1分）∵EA=BF，CE=AF，∴．…………………………………（1分）24
