二元一次方程（组）一、选择题二、填空题1、（2022年湖北荆州模拟题）若关于、的二元一次方程组的解满足﹥1，则的取值范围是▲.答案：k＞22、(2022年江苏南京一模)方程组的解为▲.答案：3、（2022年广东省珠海市一模）如果实数x，y满足方程组，那么x2﹣y2= _________ ．答案：24．(2022年福州市初中毕业班质量检查)若方程组，则3(x＋y)－(3x－5y)的值是__________．245.（2022年江苏东台第二学期阶段检测）已知是方程的一个解，那么的值是答案：16．(2022年江苏无锡崇安一模）关于x、y的方程组中，x＋y＝▲.答案：9三、解答题1、(2022年江苏南京一模)（5分）已知关于、的方程组，的解是\n，求的值．答案：解：把代入得………………………………………………2分相加得3a＋3b＝15．…………………………………………………………………4分即a＋b＝5．……………………………………………………………………5分2、(本题8分)为培养学生养成良好的“爱读书、读好书、好读书”的习惯，让书籍成为传递文明、传递知识、传递和谐的载体，哈市某中学计划创建中、小型两类班级图书角打造书香校园，已知组建一个中型图书角需科技类书籍80本，人文类书籍50本，共需购书费用860元；组建一个小型图书角需科技类书籍30本，人文类书籍60本，共需购书费用570元，又知每本科技类书籍的价格相同，每本人文类书籍的价格也相同．(1)求每本科技类书籍和每本人文类书籍的价格分别为多少元?(2)若该学校计划用不超过20000元的资金组建中、小型两类图书角共30个，求最多组建多少个中型图书角?解：（1）设每本科技类书籍的价格为x元，每本人文类书籍的价格为y元.由题意得解得（2分）答：每本科技类书籍的价格为7元，每本人文类书籍的价格为6元.（2）设组建m个中型图书角，依题意得860m+570（30-m）≤20000（2分）解得m≤10∵m为整数∴m最多取10（2分）答：最多组建10个中型图书角.3、（2022云南勐捧中学模拟）（本小题6分）解方程组．【答案】解：，①+②得，4x=14，解得x=，把x=代入①得，+2y=9，解得y=．故原方程组的解为：．4、(2022年广东省佛山市模拟)一辆汽车从A地驶往B地，前路段为普通公路，其余路段为高速公路．已知汽车在普通公路上行驶的速度为60km/h，在高速公路上行驶的速度为100km/h，汽车从A地到B地一共行驶了2.2h．请你根据以上信息，就该汽车行驶的“路程”或“时间”，提出一个用\n二元一次方程组解决的问题，列出方程组，并写出你求解这个方程组的方法.（模拟改编）解：本题答案不唯一。问题：普通公路和高速公路各为多少千米？（1分）设普通公路长为xkm，高速公路为ykm。根据题意，得（3分）代入法或加减法（2分）5、（2022温州模拟）17．（2）解方程组【答案】解：（2）解法1：①＋②，得 5x=10． ∴ x=2．…………2分把x=2代入①，得 4-y=3． ∴ y=1．………2分∴方程组的解是………………………1分解法2：由①，得 y=2x-3．③…………………1分把③代入②，得 3x+2x-3=7． ∴ x=2．……………2分把x=2代入③，得 y=1．……………1分∴ 方程组的解是……………1分6、（2022山东德州特长展示）（本小题满分12分）已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，tan∠BAC=，将∠ABC对折，使点C的对应点H恰好落在直线AB上，折痕交AC于点O，以点O为坐标原点，AC所在直线为x轴建立平面直角坐标系（1）求过A、B、O三点的抛物线解析式；（2）若在线段AB上有一动点P，过P点作x轴的垂线，交抛物线于M，设PM的长度等于d，试探究d有无最大值，如果有，请求出最大值，如果没有，请说明理由．（3）若在抛物线上有一点E，在对称轴上有一点F，且以O、A、E、F为顶点的四边形为平行四边形，试求出点E的坐标．BACOHxy\n解：（1）在Rt△ABC中，∵BC=3，tan∠BAC=，∴AC=4．∴AB=．设OC=m，连接OH，如图，由对称性知，OH=OC=m，BH=BC=3，∠BHO=∠BCO=90°，∴AH=AB－BH=2，OA=4－m．∴在Rt△AOH中，OH2+AH2=OA2，即m2+22=(4－m)2，得m=．∴OC=，OA=AC－OC=，∴O（0，0）A（，0），B（－，3）．…………………………………………2分设过A、B、O三点的抛物线的解析式为：y=ax（x－）．把x=，y=3代入解析式，得a=．∴y=x（x－）=．即过A、B、O三点的抛物线的解析式为y=．…………………………4分（2）设直线AB的解析式为y=kx+b，根据题意得：－解之得k=－，b=．∴直线AB的解析式为y=．………………………………………………6分设动点P（t，），则M（t，）．………………………………7分∴d=（）—（）=—=∴当t=时，d有最大值，最大值为2．………………………………………………8分\nyBACOHxE2E1E3D(3)设抛物线y=的顶点为D．∵y==，∴抛物线的对称轴x=，顶点D（，－）．根据抛物线的对称性，A、O两点关于对称轴对称．①当AO为平行四边形的对角线时，抛物线的顶点D以及点D关于x轴对称的点F与A、O四点为顶点的四边形一定是平行四边形．这时点D即为点E，所以E点坐标为（）．……………………………………………………………………………10分②当AO为平行四边形的边时，由OA=，知抛物线存在点E的横坐标为或，即或，分别把x=和x=代入二次函数解析式y=中，得点E（，）或E（－，）．所以在抛物线上存在三个点：E1（，－），E2（，），E3（－，），使以O、A、E、F为顶点的四边形为平行四边形．……………………………………………12分7.（2022凤阳县县直义教教研中心）（本小题满分10分）黄岩岛是我国南沙群岛的一个小岛，渔产丰富.一天某渔船离开港口前往该海域捕鱼.捕捞一段时间后，发现一外国舰艇进入我国水域向黄岩岛驶来，渔船向渔政部门报告，并立即返航.渔政船接到报告后，立即从该港口出发赶往黄岩岛.下图是渔政船及渔船与港口的距离s和渔船离开港口的时间t之间的函数图象.（假设渔船与渔政船沿同一航线航行）（1）直接写出渔船离港口的距离s和它离开港口的时间t的函数关系式.（2）求渔船和渔政船相遇时，两船与黄岩岛的距离.（3）在渔政船驶往黄岩岛的过程中，求渔船从港口出发经过多长时间与渔政船相距30海里？S∕海里130t(海里)5t(海里)8t(海里)150t∕小时t(海里)\n解：（1）当0≤t≤5时s=30t……………………………………………（1分）当5＜t≤8时s=150……………………………………………（2分）当8＜t≤13时s=－30t+390………………………………………（3分）（2）渔政船离港口的距离与渔船离开港口的时间的函数关系式设为s=kt+b………………………………………………（4分）解得：k=45b=－360∴s=45t－360………………………………………………（5分）解得t=10s=90渔船离黄岩岛距离为150－90=60（海里）……………………………（6分）(3)S渔=－30t+390S渔政=45t－360分两种情况：①S渔－S渔政=30－30t+390－（45t－360）=30解得t=（或9.6）-………………………………………………（8分）②S渔政－S渔=3045t－360－（－30t+390）=30解得t=（或10.4）B∴当渔船离开港口9.6小时或10.4小时时，两船相距30海里.………（10分）8.（2022年湖北省武汉市中考全真模拟）（本题满分12分）如图1，抛物线：与直线AB：交于x轴上的一点A，和另一点B(3，n)．(1)求抛物线的解析式；(2)点P是抛物线上的一个动点（点P在A，B两点之间，但不包括A，B两点），PM\n⊥AB于点M，PN∥y轴交AB于点N，在点P的运动过程中，存在某一位置，使得△PMN的周长最大，求此时P点的坐标，并求△PMN周长的最大值；(3)如图2，将抛物线绕顶点旋转180°后，再作适当平移得到抛物线，已知抛物线的顶点E在第四象限的抛物线上，且抛物线与抛物线交于点D，过D点作轴的平行线交抛物线于点F，过E点作轴的平行线交抛物线于点G，是否存在这样的抛物线，使得四边形DFEG为菱形？若存在，请求E点的横坐标；若不存在请说明理由．、解：⑴由题意得：A(-1,0)、B(3,2)∴解得:∴抛物线的解析式为y=-x+x+2⑵设AB交y轴于D，则D（0，），∴OA=1，OD=，AD=，∴=，∵PN∥y轴,∴∠PNM=∠CDN=∠ADO,∴Rt△ADO∽Rt△PNM.∴.∴=×PN=PN.∴当PN取最大值时,取最大值.设P(m,-m+m+2)N(m,m+).则PN=-m+m+2-(m+)=-m+m+.∵-1﹤m﹤3.∴当m=1时,PN取最大值.∴△PNM周长的最大值为×2=.此时P(1,3).⑶设E(n,t),由题意得:抛物线为：y=-(x-)+,为：y=(x-n)+t.∵E在抛物线上，∴t=-(n-)+.∵四边形DFEG为菱形.∴DF=FE=EG=DG连ED,由抛物线的对称性可知,ED=EF.∴△DEG与△DEF均为正三角形.∴D为抛物线\n的顶点.∴D(,).∵DF∥x轴,且D、F关于直线x=n对称.∴DF=2（n-）.∵DEF为正三角形.∴-=×2(n-).解得：n=.∴t=-.∴存在点E，坐标为E(,-).9.（2022凤阳县县直义教教研中心）如图，已知：直线y=-x+3交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y=ax2+bx+c经过A、B、C（1，0）三点.（1）求抛物线的解析式;（2）若点D的坐标为（-1，0），在直线y=-x+3上有一点P，使ΔABO与ΔADP相似，求出点P的坐标；（3）在（2）的条件下，在x轴下方的抛物线上，是否存在点E，使ΔADE的面积等于四边形APCE的面积？如果存在，请求出点E的坐标；如果不存在，请说明理由．解：（1）：由题意得，A（3，0），B（0，3）∵抛物线经过A、B、C三点，∴把A（3，0），B（0，3），C（1，0）三点分别代入得方程组解得：∴抛物线的解析式为……………………………（4分）（2）由题意可得：△ABO为等腰三角形,如图所示，\n若△ABO∽△AP1D，则∴DP1=AD=4,∴P1若△ABO∽△ADP2，过点P2作P2M⊥x轴于M，AD=4,∵△ABO为等腰三角形,∴△ADP2是等腰三角形,由三线合一可得：DM=AM=2=P2M，即点M与点C重合∴P2（1，2）……………………（8分）（3）如图设点E，则①当P1(-1,4)时，S四边形AP1CE=S三角形ACP1+S三角形ACE=∴∴∵点E在x轴下方∴代入得：,即∵△=(-4)2-4×7=-12<0∴此方程无解②当P2（1，2）时，S四边形AP2CE=S三角形ACP2+S三角形ACE=∴∴∵点E在x轴下方∴代入得：即，∵△=(-4)2-4×5=-4<0∴此方程无解综上所述，在x轴下方的抛物线上不存在这样的点E。………………………………（14分）（2）（2022年江苏东台第二学期阶段检测）（7分）解方程组．\n(2)．（7分）10．（2022郑州外国语预测卷）新郑绿色无公害蔬菜基地有甲、乙两种植户，他们种植了A、B两类蔬菜，两种植户种植的两类蔬菜的种植面积与总收入如下表： 种植户种植A类蔬菜面积（单位：亩）种植B类蔬菜面积（单位：亩）总收入（单位：元）甲3112500乙2316500说明：不同种植户种植的同类蔬菜每亩平均收入相等．⑴求A、Ｂ两类蔬菜每亩平均收入各是多少元？⑵某种植户准备租20亩地用来种植A、Ｂ两类蔬菜，为了使总收入不低于63000元，且种植Ａ类蔬菜的面积多于种植Ｂ类蔬菜的面积（两类蔬菜的种植面积均为整数），求该种植户所有租地方案.答案：解：(1)设A、B两类蔬菜每亩平均收入分别是x元，y元．由题意得： 解得：答：A、B两类蔬菜每亩平均收入分别是3000元，3500元．（2）设用来种植A类蔬菜的面积a亩，则用来种植B类蔬菜的面积为(20-a）亩．类别种植面积单位：（亩）A11121314B9876由题意得：解得：10＜a≤14.∵a取整数为：11，12，13，14.∴租种方案如上表11.（2022江西饶鹰中考模拟）根据国家发改委实施“阶梯电价”的有关文件要求，江西省上饶市决定从2022年7月1日起对居民生活用电试行“阶梯电价”收费，具体收费标准见下表：一户居民一个月用电量的范围电费价格（单位：元/千瓦时）不超过180千瓦时的部分a超过180千瓦时，但不超过350千瓦时的部分b超过350千瓦时的部分a＋0.3（1）若上饶市一户居民8月份用电300千瓦时，应缴电费186元，9月份用电400千瓦时，应缴电费263.5元。求a,b的值；\n（2）实行“阶梯电价”收费以后，该户居民用电多少千瓦时，其当月的平均电价每千瓦时不超过0.62元?答案：解：（1）根据题意得：解得（2）设该户居民用电ｘ千瓦时，月平均电价每千瓦时不超过0.62元。则 所以该户居民用电量不超过300千瓦时，月平均电价每千瓦时不超过0.62元。
