相交线与平行线一、选择题1.（2022湖北黄冈，3，3分）如图，AB∥CD∥EF，AC∥DF，若∠BAC＝120°，则∠CDF＝（）A．60°B．120°C．150°D．180°【答案】A．【解析】由AB∥CD，得∠BAC＋∠C＝180°，所以∠C＝180°－∠BAC＝180°－120°＝60°．而AC∥DF，所以∠CDF＝C＝60°．【方法指导】本题考查平行线的性质，属于几何初步知识．识别∠BAC与∠C是同旁内角，∠C与∠CDF是内错角，进而根据两直线平行，同旁内角互补、内错角相等发现它们之间的数量关系是解题关键．2．（2022江苏扬州，5，3分）下列图形中，由AB∥CD能得到∠1=∠2的是（）．【答案】B．【解析】如图，由“对顶角相等”可得∠1＝∠3，因为AB∥CD，所以∠2＝∠3，所以∠1＝∠2．所以应选B．【方法指导】本题考查对顶角和平行线的性质，用对顶角性质先得到∠1＝∠3，再由“两直线平行，同位角相等”可得∠2＝∠3．由“等量代换”可得∠1＝∠2．【易错警示】本题容易出现的错误是错认为内错角相等而选C．3.（2022重庆市(A)，2，4分）已知∠A＝65°，则∠A的补角等于（）A．125°B．105°C．115°D．95°【答案】C．【解析】如果两个角的和为180°，那么这两个角互为补角．根据定义可知，65°角的补角等于180°－65°＝115°．【方法指导】本题考查补角的概念，属于几何初步知识．直接根据概念解答即可．4．（2022重庆市(A)，5，4分）如图，AB∥CD，AD平分∠BAC，若∠BAD＝70°，那么∠ACD的度数为（）A．40°B．35°C．50°D．45°【答案】A．16\n【解析】思路1：∵AD平分∠BAC，∠BAD＝70°，∴∠BAC＝2∠BAD＝140°．又∵AB∥CD，∴∠BAC＋∠ACD＝180°，则∠ACD＝180°－∠BAC＝180°－140°＝40°．思路2：利用平行线的性质求出∠ADC＝70°，利用角平分线求出∠CAD＝70°，然后根据三角形的内角和是180°，求出∠ACD＝40°．【方法指导】本题考查平行线的性质、角平分线和三角形的内角和是180°．平行线间的角离不开同位角、同旁内角、内错角等知识，另外还要和三角形的内角和定理，及外角等于与它不相邻的两内角和相联系．5．（2022山东临沂，3，3分）如图，已知AB∥CD，∠2＝135°，则∠1的度数是（）A．35°B．45°C．55°D．65°ABCD12【答案】B．【解析】∠2=1350，则它的对顶角与∠1是同旁内角，因为AB∥CD，所以∠1=450【方法指导】根据对顶角的性质和两直线平行，同旁内角互补计算求得.【易错点分析】将两角当成同位角而导致错误.6.（2022山东德州，4，3分）如图，AB∥CD，点E在BC上，且CD=CE,∠D=740,，则∠B的度数为A、680B、320C、220D、160【答案】B.【解析】在△CDE中，∵CD=CE，∴∠D=∠DEF=74°,∴∠C=180°－2×74°=32°.∵AB∥CD，∴∠B=∠C=32°.【方法指导】本题考查了平行线性质、等腰三角形性质、三角形内角和.本题把平行线、三角形内角和、等腰三角形基础知识进行简单组合进行考查.注意“等边对等角”前提是在同一个三角形中，也就是是等腰三角形的重要性质.7．（2022湖南永州，4，3分）如图，下列条件中能判断直线∥的是A．∠1=∠2 B．∠1=∠5 C．∠1+∠3=180° D．∠3=∠516\n【答案】C.【解析】本题考查了平行线的判定，需要确定两个角是不是属于三线八角的基本图形。∠1和∠2是直线和直线形成的三线八角中的同旁内角；∠1和∠5不是三线八角的基本图形；∠1和∠3是和被所截形成的同旁内角，它们互补，则两直线平行；∠3和∠5是对顶角，不能用来判断两直线是否平行。【方法指导】判断两直线平行，在直线型部分有以下方法：1.同位角相等，两直线平行；2.内错角相等，两直线平行；3.同旁内角互补，两直线平行4.在同一平面内两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行。8．(2022浙江湖州,4,3分)如图，已知直线、被直线所截，∥，∠1＝60°，则∠2的度数为（）A．30°B．60°C．120°D．150°【答案】C【解析】因为∥，所以∠1=∠3（两直线平行，同位角相等），因为∠1＝60°，所以∠3＝60°，又因为∠2+∠3=180°，所以∠2=120°。故选C。【方法指导】本题考查了平行线的性质，邻补角的定义，是基础题，熟记性质是解题的关键．根据两直线平行，同位角相等求出∠3，再根据邻补角的定义解答．9．（2022重庆，2，4分）如图，直线a，b，c，d，已知c⊥a，c⊥b，直线b，c，d交于一点，若∠1=50°，则∠2等于（）A．60°B．50°C．40°D．30°16\ncabd12（第2题图）【答案】B【解析】∵a⊥c，b⊥c，∴a∥b．∴∠2=∠1=50°．故选B．【方法指导】本题考查了平行线的判定和性质，灵活运用平行线的判定和性质是解题的关键．平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补；反过来可得平行线的判定，即：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．10.（2022四川雅安，4，3分）如图，AB∥CD，AD平分∠BAC，且∠C＝80°，则∠D的度数为（ ）A．50°B．60° C．70° D．100°【答案】A【解析】∵AB∥CD，∴∠CAB＝180°－∠C＝100°，∠D＝∠BAD，又∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAB＝50°，∴∠D的度数为50°．【方法指导】本题考查的知识点是平行线的性质、角平分线的定义，也考查了简单的逻辑推理．难度不大．11.（2022广东省，6，3分）如题6图，AC∥DF，AB∥EF，点D、E分别在AB、AC上，若，则是的大小是A.B.C.D.16\n【答案】C.【解析】因为AC∥DF，所以=，又因为AB∥EF，所以=，所以所以=，由得，答案选C．【方法指导】平行线的性质是初中几何内容的基础，命题者一般都会把这个考点设计为一道送分题，解决这类题的关键是找准同位角或内错角或同旁内角．12．（2022白银，3，3分）如图，把一块含有45°的直角三角形的两个顶点放在直尺的对边上．如果∠1=20°，那么∠2的度数是（ ） A．15°B．20°C．25°D．30°考点：平行线的性质．分析：根据两直线平行，内错角相等求出∠3，再求解即可．解答：解：∵直尺的两边平行，∠1=20°，∴∠3=∠1=20°，∴∠2=45°﹣20°=25°．故选C．点评：本题考查了两直线平行，内错角相等的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键． 13．（2022广东珠海，2，3分）如图两平行线a、b被直线l所截，且∠1=60°，则∠2的度数为（ ） A．30°B．45°C．60°D．120°考点：平行线的性质．16\n分析：由a∥b，根据两直线平行，同位角相等，即可求得∠3=∠1=60°，又由对顶角相等，即可求得答案．解答：解：∵a∥b，∴∠3=∠1=60°，∴∠2=∠3=60°．故选C．点评：此题考查了平行线的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用． 14．（2022湖北孝感，3，3分）如图，∠1=∠2，∠3=40°，则∠4等于（ ） A．120°B．130°C．140°D．40°考点：平行线的判定与性质．分析：首先根据同位角相等，两直线平行可得a∥b，再根据平行线的性质可得∠3=∠5，再根据邻补角互补可得∠4的度数．解答：解：∵∠1=∠2，∴a∥b，∴∠3=∠5，∵∠3=40°，∴∠5=40°，∴∠4=180°﹣40°=140°，故选：C．16\n点评：此题主要考查了平行线的性质与判定，关键是掌握同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等．15．（2022湖北宜昌，8，3分）如图，已知AB∥CD，E是AB上一点，DE平分∠BEC交CD于D，∠BEC=100°，则∠D的度数是（ ） A．100°B．80°C．60°D．50°考点：平行线的性质．3718684分析：根据角平分线的性质可得∠BED=50°，再根据平行线的性质可得∠D=∠BED=50°．解答：解：∵DE平分∠BEC交CD于D，∴∠BED=∠BEC，∵∠BEC=100°，∴∠BED=50°，∵AB∥CD，∴∠D=∠BED=50°，故选：D．点评：此题主要考查了平行线的性质以及角平分线定义，关键是掌握两直线平行，内错角相等．16．（2022湖南娄底，3，3分）下列图形中，由AB∥CD，能使∠1=∠2成立的是（ ） A．B．C．D．考点：平行线的性质．3718684分析：根据平行线的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．解答：解：A、由AB∥CD可得∠1+∠2=180°，故本选项错误；B、∵AB∥CD，16\n∴∠1=∠3，又∵∠2=∠3（对顶角相等），∴∠1=∠2，故本选项正确；C、由AC∥BD得到∠1=∠2，由AB∥CD不能得到，故本选项错误；D、梯形ABCD是等腰梯形才可以有∠1=∠2，故本选项错误．故选B．点评：本题考查了平行线的性质，等腰梯形的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．17．（2022•东营，4，3分）如图，已知AB∥CD，AD和BC相交于点O，∠A=，∠AOB=，则∠C等于（）A．B．C．D．答案：B解析：因为，，所以，因为AB∥CD，所以．18.2022浙江丽水3分)如图，AB∥CD，AD和BC相交于点O，∠A=20°，∠COD=100°，则∠C的度数是A.80°B.70°C.60°D.50°16\n19．（2022上海市，5，4分）如图1，已知在△ABC中，点D、E、F分别是边AB、AC、BC上的点，DE∥BC，EF∥AB，且AD∶DB=3∶5，那么CF∶CB等于（）图1（A）5∶8；（B）3∶8；（C）3∶5；（D）2∶5．ABCDE第3题图20.（2022陕西，3，3分）如图，AB∥CD，∠CED=90°，∠AEC=35°，则∠D的大小（ ）A．65°B．55°C．45°D.35°考点：平行线的性质应用与互余的定义。解析：此类题主要考查学生们的平面几何的性质应用的能力，一般考查常见较为简单的两直线平行而同位角和内错角相等的应用，而问题的设置也是求角度或者是找角的关系。因为AB∥CD，所以∠D=∠BED，因为∠CED=90°，∠AEC=35°所以∠BED=180°-90°-35°=55°，此题故选B10.（2022四川乐山，3，3分）如图，已知直线a∥b，∠1=1310，则∠2等于【】A．390 B．410 C．490 D．59021.（2022四川内江，6，3分）把一块直尺与一块三角板如图放置，若∠1=40°，则∠2的度数为（ ） A．125°B．120°C．140°D．130°16\n考点：平行线的性质；直角三角形的性质．分析：根据矩形性质得出EF∥GH，推出∠FCD=∠2，代入∠FCD=∠1+∠A求出即可．解答：解：∵EF∥GH，∴∠FCD=∠2，∵∠FCD=∠1+∠A，∠1=40°，∠A=90°，∴∠2=∠FCD=130°，故选D．点评：本题考查了平行线性质，矩形性质，三角形外角性质的应用，关键是求出∠2=∠FCD和得出∠FCD=∠1+∠A． 22．（2022贵州省六盘水，6，3分）直尺与三角尺按如图所示的方式叠放在一起，在图中所标记的角中，与∠1互余的角有几个（ ） A．2个B．3个C．4个D．6个考点：余角和补角．3718684专题：计算题．分析：本题要注意到∠1与∠2互余，并且直尺的两边互相平行，可以考虑平行线的性质．解答：解：与∠1互余的角有∠2，∠3，∠4；一共3个．故选B．点评：正确观察图形，由图形联想到学过的定理是数学学习的一个基本要求． 23．（2022贵州省黔东南州，5，4分）如图，已知a∥b，∠1=40°，则∠2=（ ） A．140°B．120°C．40°D．50°考点：平行线的性质；对顶角、邻补角．3718684专题：计算题．分析：如图：由a∥b，根据两直线平行，同位角相等，可得∠1=∠3；又根据邻补角的定义，可得∠2+∠3=180°，所以可以求得∠2的度数．16\n解答：解：∵a∥b，∴∠1=∠3=40°；∵∠2+∠3=180°，∴∠2=180°﹣∠3=180°﹣40°=140°．故选A．点评：此题考查了平行线的性质：两直线平行，同位角相等以及邻补角互补．24．（2022湖北省十堰市，1，3分）如图，AB∥CD，CE平分∠BCD，∠DCE=18°，则∠B等于（ ） A．18°B．36°C．45°D．54°考点：平行线的性质．分析：根据角平分线的定义求出∠BCD，再根据两直线平行，内错角相等可得∠B=∠BCD．解答：解：∵CE平分∠BCD，∠DCE=18°，∴∠BCD=2∠DCE=2×18°=36°，∵AB∥CD，∴∠B=∠BCD=36°．故选B．点评：本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，是基础题，熟记性质是解题的关键． 25．（2022湖北省咸宁市，1，3分）如图，过正五边形ABCDE的顶点A作直线l∥BE，则∠1的度数为（ ） A．30°B．36°C．38°D．45°16\n考点：平行线的性质；等腰三角形的性质；多边形内角与外角．分析：首先根据多边形内角和计算公式计算出每一个内角的度数，再根据等腰三角形的性质计算出∠AEB，然后根据平行线的性质可得答案．解答：解：∵ABCDE是正五边形，∴∠BAE=（5﹣2）×180°÷5=108°，∴∠AEB=（180°﹣108°）÷2=36°，∵l∥BE，∴∠1=36°，故选：B．点评：此题主要考查了正多边形的内角和定理，以及三角形内角和定理，平行线的性质，关键是掌握多边形内角和定理：（n﹣2）．180°（n≥3）且n为整数）．二、填空题1．(2022四川成都，13，4分)如图，∠B＝30°，若AB∥CD，CB平分∠ACD，则∠ACD＝______度．ABCD第13题图【答案】60．【解析】∵∠B＝30°，AB∥CD，∴∠BCD＝∠B＝30°．∵CB平分∠ACD，∴∠ACD＝2∠BCD＝60°．故填“60”．【方法指导】此题考查平行线的性质和角平分线的定义，考查内容是“直线型”几何中非常基础的知识．2．（2022浙江台州，13，5分）如图，点B，C，E，F在一条直线上，AB∥DC，DE∥GF，∠B=∠F=72°，则∠D=度．ABCDEFG72°72°第13题【答案】：36．【解析】由于AB∥DC，DE∥GF，易知∠DCE=∠B=72°，∠DEC=∠F=72°，在△DCE中，∠D=180°－∠DCE－∠DEC=36°.16\n【方法指导】本题考查平行线的性质、三角形的内角和定理知识点。3．（2022江西南昌，13，3分）如图△ABC中，∠A=90°点D在AC边上，DE∥BC，若∠1=155°，则∠B的度数为．【答案】65°【解析】由，可求得,最后求．【方法指导】本题考查了平行线的性质、邻补角、直角三角形两锐角互余等知识，题目较为简单，但有些考生很简单的计算都会出错，如犯之类的错误．4.(湖南株洲,12,3分)如图，直线，点A、B、C分别在直线上，若∠1=700，∠2=500，则∠ABC=度.【答案】：1200【解析】:因为，所以∠1等于∠3，而又因为，所以∠2等于∠4，所以∠ABC=∠3+∠4=∠1+∠2=120°.【方法指导】:本题考查了直线平行的性质，根据两直线平行同位角相等，两直线平行，内错角相等算出∠ABC.5．（2022年佛山市，15，3分）命题“对顶角相等”的条件是______________．分析：根据命题由题设与结论组成可得到对顶角相等”的“条件”是若两个角是对顶角，结论是这两个角相等解：“对顶角相等”的“条件”是两个角是对顶角．故答案为：两个角是对顶角．点评：本题考查了命题：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题；错误的命题称为假命题；命题由题设与结论组成，两个互换题设与结论的命题称为互逆命题．6．[2022湖南邵阳，21，8分]将一幅三角板拼成如图(七)所示的图形，过点C作CF平分∠DCE交DE于点F.(1)求证：CF∥AB；图(七)(2)求∠DFC的度数.16\n知识考点：平行线的判定，角平分线，直角三角形，三角形内角和外角的关系.审题要津：（1）根据内错角相等，两直线平行即可得证；（2）根据三角形内角和外角的关系即可求解.满分解答：(1)证明：由题意知，△ACB是等腰直角三角形，且∠ACB=∠DCB=90°，∴∠B=45°.∵CF平分∠DCE，∴∠DCF=∠ECF=45°，∴∠B=∠ECF，∴CF∥AB.(2)解：由三角板知，∠E=60°，由(1)知，∠ECF=45°，∵∠DFC=∠ECF+∠E，∴∠DFC=45°+60°=105°.名师点评：本题考查了平行线的判定定理，角平分线定理及其三角形内角和定理.7.2022•新疆5分）如图，AB∥CD，BC∥DE，若∠B=50°，则∠D的度数是 ．【答案】．130°【解析】∵AB∥CD，∴∠B=∠C=50°，∵BC∥DE，∴∠C+∠D=180°，∴∠D=180°﹣50°=130°，【方法指导】此题主要考查了平行线的性质，关键是掌握两直线平行，同旁内角互补．两直线平行，内错角相等8.（2022四川绵阳，14，4分）（2022四川绵阳，14，4分）如图，AC、BD相交于O，AB//DC，AB=BC，∠D=40º，∠ACB=35º，则∠AOD=75º。［解析］∠ABO＝∠D=40º，∠A＝∠ACB=35º，∠AOD=∠A＋∠ABO=75º14题图5．（2022上海市，18，4分）如图5，在△中，，，tanC=，如果将△沿直线l翻折后，点落在边的中点处，直线l与边交于点，那么的长为__________．16\n9.（2022四川遂宁，12，4分）如图，有一块含有60°角的直角三角板的两个顶点放在矩形的对边上．如果∠1=18°，那么∠2的度数是 12° ．考点：平行线的性质．专题：计算题．分析：根据三角形内角和定理可得∠1+∠3=30°，则∠3=30°﹣18°=12°，由于AB∥CD，然后根据平行线的性质即可得到∠2=∠3=12°．解答：解：如图，∵∠1+∠3=90°﹣60°=30°，而∠1=18°，∴∠3=30°﹣18°=12°，∵AB∥CD，∴∠2=∠3=12°．故答案为12°．点评：本题考查了平行线的性质：两直线平行，内错角相等．也考查了三角形内角和定理．三．解答题 1.（2022上海市，23，12分）如图8，在△中，，，点为边的中点，交于点，16\n图8交的延长线于点．（1）求证：；（2）联结，过点作的垂线交的延长线于点，求证：．16
