第二板块专题能力突破专题一阅读理解问题1.若将代数式中的任意两个字母交换，代数式不变，则称这个代数式为完全对称式，如a＋b＋c就是完全对称式．下列三个代数式：①(a－b)2；②ab＋bc＋ca；③a2b＋b2c＋c2a.其中是完全对称式的是( )A．①②B．①③C．②③D．①②③解析 若把a2b＋b2c＋c2a中的a，b两个字母交换，得b2a＋a2c＋c2b，代数式发生变化，不是完全对称式；而(a－b)2＝(b－a)2，ab＋bc＋ca＝ba＋ac＋cb，是完全对称式．答案 A2．因为sin30°＝，sin210°＝－，所以sin210°＝sin(180°＋30°)＝－sin30°；因为sin45°＝，sin225°＝－，所以sin225°＝sin(180°＋45°)＝－sin45°；由此猜想，推理知：一般地当α为锐角时有sin(180°＋α)＝－sinα，由此可知：sin240°＝( )A．－B．－C．－D．－解析 由sin(180°＋α)＝－sinα，得sin240°＝sin(180°＋60°)＝－sin60°＝－.答案 C3．若自然数n使得三个数的加法运算“n＋(n＋1)＋(n＋2)”产生进位现象，则称n为“连加进位数”．例如：2不是“连加进位数”，因为2＋3＋4＝9不产生进位现象；4是“连加进位数”，因为8\n4＋5＋6＝15产生进位现象；51是“连加进位数”，因为51＋52＋53＝156产生进位现象．如果从0，1，2，…，99这100个自然数中任取一个数，那么取到“连加进位数”的概率是( )A．0.88B．0.89C．0.90D．0.91解析 先利用分类讨论，得到一位数中“连加进位数”有7个，分别为(3，4，5，6，7，8，9)，再考虑到两位数中“连加进位数”有67个分别为(33，34，35，…，99)，再考虑到两位数中(13，…，19)与(23，…，29)中个位数中产生了进位，合计7＋67＋7＋7＝88(个)．故取到“连加进位数”的概率P＝＝0.88.答案 A4．一个平面封闭图形内(含边界)任意两点距离的最大值称为该图形的“直径”，封闭图形的周长与直径之比称为图形的“周率”，下面四个平面图形(依次为正三角形、正方形、正六边形、圆)的周率从左到右依次记为a1，a2，a3，a4，则下列关系中正确的是( )A．a4＞a2＞a1B．a4＞a3＞a2C．a1＞a2＞a3D．a2＞a3＞a4解析 设等边三角形的边长是a，则等边三角形的周率a1＝＝3，设正方形的边长是x，由勾股定理得：对角线是x，则正方形的周率是a2＝＝2≈2.828，设正六边形的边长是b，过F作FQ∥AB交BE于Q，得到平行四边形ABQF和等边三角形EFQ，直径是b＋b＝2b，∴正六边形的周率是a3＝＝3，8\n圆的周率是a4＝＝π，∴a4＞a3＝a1＞a2.故选B.答案 B5．定义新运算“⊗”，a⊗b＝a－4b，则12⊗(－1)＝________．解析 根据已知可将12⊗(－1)转换成a－4b的形式，然后将a＝12，b＝－1代入计算即可：12⊗(－1)＝×12－4×(－1)＝8.答案 86．数学的美无处不在．数学家们研究发现，弹拨琴弦发出声音的音调高低，取决于弦的长度，绷得一样紧的几根弦，如果长度的比能够表示成整数的比，发出的声音就比较和谐．例如，三根弦长度之比是15∶12∶10，把它们绷得一样紧，用同样的力弹拨，它们将分别发出很调和的乐声do、mi、so.研究15、12、10这三个数的倒数发现：－＝－.我们称15、12、10这三个数为一组调和数．现有一组调和数：x、5、3(x>5)，则x的值是________．解析 依据调和数的意义，有－＝－，解得x＝15.答案 157．阅读下列文字与例题：将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．例如：(1)am＋an＋bm＋bn＝(am＋bm)＋(an＋bn)＝m(a＋b)＋n(a＋b)＝(a＋b)(m＋n)(2)x2－y2－2y－1＝x2－(y2＋2y＋1)＝x2－(y＋1)2＝(x＋y＋1)(x－y－1)试用上述方法分解因式a2＋2ab＋ac＋bc＋b2___________________________.解析 首先进行合理分组，然后运用提公因式法和公式法进行因式分解．8\n原式＝(a2＋2ab＋b2)＋(ac＋bc)＝(a＋b)2＋c(a＋b)＝(a＋b)(a＋b＋c)．答案 (a＋b)(a＋b＋c)8．先阅读下列材料，然后解答问题：材料1 从3张不同的卡片中选取2张排成一列，有6种不同的排法，抽象成数学问题就是从3个不同元素中选取2个元素的排列，排列数记为A＝3×2＝6.一般地，从n个不同元素中选取m个元素的排列数记作A，A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)(m≤n)．例：从5个不同元素中选3个元素排成一列的排列数为：A＝5×4×3＝60.材料2 从3张不同的卡片中选取2张，有3种不同的选法，抽象成数学问题就是从3个元素中选取2个元素的组合，组合数记为C＝＝3.一般地，从n个不同元素中选取m个元素的组合数记作C，C＝(m≤n)．例：从6个不同元素中选3个元素的组合数为：C＝＝20.问：(1)从7个人中选取4人排成一排，有多少种不同的排法？(2)从某个学习小组8人中选取3人参加活动，有多少种不同的选法？解 (1)A＝7×6×5×4＝840(种)．(2)C＝＝56(种).9．如图，正方形ABCD和正方形EFGH的边长分别为2和，对角线BD、FH都在直线L上，O1、O2分别是正方形的中心，线段O1O2的长叫做两个正方形的中心距．当中心O2在直线L上平移时，正方形EFGH也随平移，在平移时正方形EFGH的形状、大小没有改变．(1)计算：O1D＝________，O2F＝________．(2)当中心O2在直线L上平移到两个正方形只有一个公共点时，中心距O1O2＝________．8\n(3)随着中心O2在直线L上的平移，两个正方形的公共点的个数还有哪些变化？并求出相对应的中心距的值或取值范围(不必写出计算过程)．解析 (1)根据勾股定理易求O1D和O2F的长.2，1.(2)当两个正方形只有一个公共点时，中心距O1O2＝O1D＋O2F＝3.(3)根据图形的平移的性质，结合图形的特点，可得出结论．当0≤O1O2<1时，两个正方形无公共点；当O1O2＝1时，两个正方形有无数公共点；当1<O1O2<3时，两个正方形有两个公共点；当O1O2＝3时，两个正方形有一个公共点；当O1O2>3时，两个正方形无公共点．答案 (1)2 1 (2)3 (3)略10．若自然数n使得作竖式加法n＋(n＋1)＋(n＋2)均不产生进位现象，则称n为“可连数”，例如32是“可连数”，因为32＋33＋34不产生进位现象；23不是“可连数”，因为23＋24＋25产生了进位现象，那么小于200的“可连数”的个数为________．解析 根据“可连数”的定义及3＋4＋5＞10可知，当数为一位数时，此数字为0，1，2共3种情况．当数为两位数时，个位上的数字可为0，1，2.十位上的数字可为1，2，3.共有9种情况．当数为三位数时，百位上的数字只能为1，十位上的数字可为0，1，2，3，个位上的数字可为0，1，2，共有12种情况，所以小于200的“可连数”的个数为24个．答案 2411．我们定义＝ad－bc，例如＝2×5－3×4＝10－12＝－2.若x、y均为整数，且满足1＜＜3，则x＋y的值是________．解析 由题意得解得1＜xy＜3，因为x、y均为整数，故xy为整数，因此xy＝2.所以x＝1，y＝2或x＝－1，y＝－2，或x＝2，y＝1或x＝－2，y＝－1.此时x＋y＝3或x＋y＝－3.答案 ±312．阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：3＋2＝(1＋)2，善于思考的小明进行了以下探索：8\n设a＋b＝(m＋n)2(其中a、b、m、n均为整数)，则有a＋b＝m2＋2n2＋2mn.∴a＝m2＋2n2，b＝2mn.这样小明就找到了一种把部分a＋b的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：(1)当a、b、m、n均为正整数时，若a＋b＝(m＋n)2，用含m、n的式子分别表示a、b，得a＝________，b＝________；(2)利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n，填空：________＋________＝(______＋______)2；(3)若a＋4＝(m＋n)2，且a、m、n均为正整数，求a的值．解析 (1)将(m＋n)2展开得m2＋2n2＋2mn，因为a＋b＝(m＋n)2，所以a＋b＝m2＋3n2＋2mn，根据恒等可判定a＝m2＋3n2，b＝2mn；(2)根据(1)中a、b和m、n的关系式，取的值满足a＝m2＋3n2，b＝2mn即可．(3)将(m＋n)2展开，由(1)可知a、m、n满足，再利用a、m、n均为正整数，2mn＝4，判断出m、n的值，分类讨论，得出a值．答案 (1)m2＋3n2 2mn(2)4 2 1 1(答案不唯一)(3)根据题意得，∵2mn＝4，且m、n为正整数，∴m＝2，n＝1或m＝1，n＝2，∴a＝13或7.13．我们把对称中心重合，四边分别平行的两个正方形之间的部分叫”方形环”，易知方形环四周的宽度相等．一条直线l与方形环的边线有四个交点M、M′、N′、N.小明在探究线段MM′与N′N的数量关系时，从点M′、N′向对边作垂线段M′E、N′F，利用三角形全等、相似及锐角三角函数等相关知识解决了问题．请你参考小明的思路解答下列问题：(1)当直线l与方形环的对边相交时，如图1，直线l分别交AD、A′D′、B′C′、BC于M、M′、N′、N，小明发现MM′与N′N相等，请你帮他说明理由；(2)当直线l与方形环的邻边相交时，如图2，l分别交AD、A′D′、D′C′、DC于M、M′、N′、N，l与DC的夹角为α，你认为MM′与N′N还相等吗？若相等，说明理由；若不相等，求出的值(用含α的三角函数表示)．8\n解 (1)在方形环中，∵M′E⊥AD，N′F⊥BC，AD∥BC，∴M′E＝N′F，∠M′EM＝∠N′FN＝90°，∠EMM′＝∠FNN′，∴△MM′E≌△NN′F.∴MM′＝N′N.(2)法一 ∵∠NFN′＝∠MEM′＝90°，∠FNN′＝∠EM′M＝α，∴△NFN′∽△M′EM，∴＝.∵M′E＝N′F，∴＝＝tanα.①当α＝45°时，tanα＝1，则MM′＝NN′；②当α≠45°时，MM′≠NN′，则＝tanα.法二 在方形环中，∠D＝90°.又∵M′E⊥AD，N′F⊥CD，∴M′E∥DC，N′F＝M′E.∴∠MM′E＝∠N′NF＝α.在Rt△NN′F与Rt△MM′E中，sinα＝，cosα＝，8\n即＝tanα.①当α＝45°时，MM′＝NN′；②当α≠45°时，MM′≠NN′，则＝tanα.8
