2022-2022年广东深圳中考数学试题分类解析汇编（12专题）专题9：三角形一、选择题1.（深圳2022年3分）下列两个三角形不一定相似的是【】A、两个等边三角形B、两个全等三角形C、两个直角三角形D、两个顶角是120º的等腰三角形【答案】C。【考点】相似三角形的判定，等边三角形、直角三角形、等腰三角形和全等三角形的性质。【分析】根据相似三角形的判定方法及各三角形的性质进行分析，从而得到答案：A相似，因为其三个角均相等，符合相似三角形的判定；B相似，因为全等三角形是特殊的相似三角形；C不相似，因为没有指明其另一锐角相等或其两直角边对应成比例；D相似，因为其三个角均相等，符合相似三角形的的判定。故选C。2.（深圳2022年5分）计算：的结果是【】A、1B、C、2-3D、【答案】A。【考点】特殊角的三角函数值，二次根式化简。【分析】根据特殊角的三角函数值计算：∵cot45°=1，cos60°=，cos30°=，tan60°=，∴原式=。故选A。3.（深圳2022年5分）如图，直线l1//l2，AF：FB=2：3，BC：CD=2：1，则AE：EC是【】A、5：2B、4：1C、2：1D、3：213\n【答案】C。【考点】相似三角形的判定和性质。【分析】如图所示，∵AF：FB=2：3，BC：CD=2：1，∴设AF=2x，BF=3x，BC=2y，CD=y。由l1//l2，得△AGF∽△BDF，∴，即。∴AG=2y。由l1//l2，得△AGE∽△CDE，∴。故选C。4.（深圳2022年3分）如图，王华晚上由路灯A下的B处走到Ｃ处时，测得影子CD的长为１米，继续往前走2米到达Ｅ处时，测得影子EF的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯A的高度AB等于【】Ａ．4.5米 Ｂ．6米Ｃ．7.2米 Ｄ．8米【答案】B。【考点】相似三角形的应用，解二元一次方程组。【分析】如图，设AB=x米，BC=y米，则BC=y＋1米，BF=y＋5米。由△ABD∽△GCD和△ABF∽△HEF得，即，解得。∴路灯A的高度AB等于6米。故选B。5.（深圳2022年学业3分）如图，△ABC中，AC＝AD＝BD，∠DAC＝80º，则∠B的度数是【】A．40ºB．35ºC．25ºD．20º13\n【答案】C。【考点】等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角定理。【分析】∵△ABC中，AC=AD，∠DAC=80°，∴∠ADC=（180°－80°）÷2=50°。∵AD=BD，∠ADC=∠B+∠BAD=50°，∴∠B=∠BAD=（50÷2）°=25°。故选C。6.（深圳2022年3分）如图，小正方形边长均为1，则下列图形中三角形(阴影部分)与△ABC相似的是【】【答案】B。【考点】相似三角形的判定。【分析】如B图△EFG和△ABC中，∠EFG=∠ABC=1350，。实际上，A，C，D三图中三角形最大角都小于∠ABC，即可排它，选B即可。7.（深圳2022年3分）如图，△ABC与△DEF均为等边三角形，O为BC、EF的中点，则AD：BE的值为【】A.:1B.:1C.5:3D.不确定【答案】A。【考点】等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质。【分析】连接AO，DO。设等边△ABC的边长为，等边△ABC的边长为。∵O为BC、EF的中点，∴AO、DO是BC、EF的中垂线。∴∠AOC=∠DOC=900，∴∠AOD=1800—∠COE。又∵∠BOE=1800—∠COE，∴∠AOD=∠BOE。又由AO、DO是BC、EF的中垂线，得OB=，OE=，OA=，OD=13\n。从而。∴AD：BE=:1。故选A。8.（2022广东深圳3分）小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上；如图，此时测得地面上的影长为8米，坡面上的影长为4米．已知斜坡的坡角为300，同一时刻，一根长为l米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，则树的高度为【】A.米B.12米C.米D．10米【答案】A。【考点】解直角三角形的应用（坡度坡角问题），锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，相似三角形的判定和性质。【分析】延长AC交BF延长线于E点，则∠CFE=30°。作CE⊥BD于E，在Rt△CFE中，∠CFE=30°，CF=4，∴CE=2，EF=4cos30°=2，在Rt△CED中，CE=2，∵同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，∴DE=4。∴BD=BF+EF+ED=12+2。∵△DCE∽△DAB，且CE：DE=1：2，∴在Rt△ABD中，AB=BD=。故选A。二、填空题1.（2022广东深圳3分）已知：Rt△ABC中，∠C=90o，，则=▲。【答案】。【考点】锐角三角函数定义，勾股定理。【分析】∵Rt△ABC中，∠C=90o，，∴设BC=5k，AB=13k。13\n∴根据勾股定理，得AC=12k。∴。2.（深圳2022年3分）如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点，若S△ADE=1，则S△ABC=▲。【答案】4。【考点】三角形中位线定理，相似三角形的判定和性质。【分析】根据三角形中位线定理和相似三角形的相似比求解：∵E分别是△ABC的边AB、AC的中点，∴DE是中位线。∴DEBC。∴△ADE∽△ABC，且相似比为1：2。∵S△ADE=1，∴S△ABC=4。3.（深圳2022年3分）计算：3tan30º＋cot45º－2tan45º＋2cos60º=▲.【答案】。【考点】特殊角的三角函数值。【分析】运用特殊角的三角函数值求解：3tan30°＋cot45°－2tan45°＋2cos60°=。4.（深圳2022年3分）如图，已知，在△ABC和△DCB中，AC=DB，若不增加任何字母与辅助线，要使△ABC≌△DCB，则还需增加一个条件是▲。【答案】AB=DC或∠ACB=∠DBC。【考点】全等三角形的判定。【分析】要使△ABC≌△DCB，已知有两对边对应相等，AC=BD，BC=BC，则可根据全等三角形的判定方法添加合适的条件即可：可添加AB=DC利用SSS判定△ABC≌△DCB；可添加∠ACB=∠DBC利用SAS判定△ABC≌△DCB。5.（深圳2022年3分）在△ABC中，AB边上的中线CD=3，AB=6，BC+AC=8，则△ABC的面积为▲．【答案】7。13\n【考点】三角形的中线定义，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理。【分析】根据条件先确定△ABC为直角三角形，再求得△ABC的面积：如图，在△ABC中，CD是AB边上的中线，∵CD=3，AB=6，∴AD=DB=3，∴CD=AD=DB。∴∠1=∠2，∠3=∠4。∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°，∴∠1+∠3=90°。∴△ABC是直角三角形。∴AC2＋BC2=AB2=36。又∵AC＋BC=8，∴AC2＋2AC•BC＋BC2=64。∴2AC•BC=64－（AC2＋BC2）=64－36=28。∴AC•BC=14。S△ABC=AC•BC=×14=7。6.（深圳2022年3分）直角三角形斜边长是，以斜边的中点为圆心，斜边上的中线为半径的圆的面积是▲．【答案】9π。【考点】直角三角形斜边上中线的性质。【分析】根据直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半，得此圆的半径，从而求出圆的面积：圆的半径=6÷2=3，则面积=πr2=9π。7.（深圳2022年学业3分）如图，某渔船在海面上朝正东方向匀速航行，在A处观测到灯塔M在北偏东60º方向上，航行半小时后到达B处，此时观测到灯塔M在北偏东30º方向上，那么该船继续航行▲分钟可使渔船到达离灯塔距离最近的位置ABM北M北M30ºM60ºM东CD【答案】15。【考点】解直角三角形的应用（方向角问题），垂直线段的性质，平行的性质，三角形外角定理，等腰三角形的判定，含30度角直角三角形的性质。13\n【分析】过点M作MC⊥AB于点C，由垂直线段的性质，知渔船到达离灯塔距离最近的位置即为点C。由两直线平行，内错角相等的性质，得∠ADB=60º，从而由∠DBM=30º和三角形外角定理，得∠DMB=∠DBM=30º。因此根据等腰三角形等角对等边的判定，得AB=MB。设渔船航行的速度为v单位/分钟，则由已知MB=AB=30v单位。在Rt△BCM中，∠MCB=90º，∠MBC=30º，则BC=MB=15v单位。则渔船从B处航行到C处所用时间为=15分钟。即该船继续航行15分钟可使渔船到达离灯塔距离最近的位置。8.（深圳2022年招生3分）如图，一艘海轮位于灯塔P的东北方向，距离灯塔海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东300方向上的B处，则海轮行驶的路程AB为▲海里（结果保留根号）．三、解答题1.（2022广东深圳10分）已知：如图，等腰△ABC，AB=AC，点E、F分别是AB、AC的中点，CE⊥BF于点O。求证：（1）四边形EFCB是等腰梯形；（2）EF2+BC2=2BE213\n【答案】证明：（1）∵点E、F分别是AB、AC的中点，即BE=AB，CF=AC。∴EF是△ABC的中位线。∴EF∥BC。∵AB=AC，∴BE=CF。∴四边形EFCB是等腰梯形。（2）根据等腰梯形的轴对称性，得OE=OF，OB=OC。∵CE⊥BF，∴△OEF和△OBC是等腰直角三角形，△BOE是直角三角形。∴根据勾股定理，得。∴EF2+BC2=2BE2。【考点】三角形中位线的判定和性质，等腰梯形的判定和性质，勾股定理。【分析】（1）由点E、F分别是AB、AC的中点，可得EF是△ABC的中位线，从而EF∥BC。由AB=AC可得BE=CF。所以四边形EFCB是等腰梯形。（2）在直角△OEF、△OBC和△BOE中应用勾股定理即可得证。2.（深圳2022年12分）如图，已知△ABC，∠ACB=90º，AC=BC，点E、F在AB上，∠ECF=45º，（1）求证：△ACF∽△BEC（8分）（2）设△ABC的面积为S，求证：AF·BE=2S（4分）（3）试判断以线段AE、EF、FB为边的三角形的形状并给出证明．【答案】解：（1）证明：∵AC=BC，∠ECF=45°∠ACB=90°，∴∠A=∠B=45°，∠AFC=45°+∠BCF，∠ECB=45°+∠BCF。13\n∴∠AFC=∠ECB。∴△ACF∽△BEC。
（2）∵△ACF∽△BEC，∴，即AF•BE=AC•BC。又∵S△ABC=AC•BC，∴AF•BE=2S。（3）直角三角形。证明如下：由（2）可知AF•BE=AC•BC=AC2=AB2。设AE=a，BF=b，EF=c．则(a+c)(b+c)=(a+b+c)2，化简即得a2+b2=c2。所以以线段AE、EF、FB为边的三角形是以线段EF为斜边的直角三角形。【考点】相似三角形的判定和性质，三角形三边关系，勾股定理的逆定理。【分析】（1）对应角相等，两三角形相似。（2）根据相似三角形的性质证明AF•BE=AC•BC=2S；（3）由（2）的结论，求出AE、EF、FB的数量关系，应用勾股定理的逆定理即可证明。本题还有以下证明方法：方法1：将△ACE绕O顺时针旋转90°到△CBG，边角边证明三角形全等，得出FG=EF，再证明△FBG为直角三角形，得出三边构成三角形的形状。方法2：将△ACE和△BCF分别以CE、CF所在直线为轴折叠，则AC、BC的对应边正好重合与一条线段CG，连接GE、GF，则△FEG是直角三角形。3.（深圳2022年8分）大楼AD的高为10米，远处有一塔BC，某人在楼底A处测得踏顶B处的仰角为60º，爬到楼顶D点测得塔顶B点的仰角为30º，求塔BC的高度。【答案】解：作BE⊥AD的延长线于点E，DACBE设ED=x，在Rt△BDE中，BE=DE=，13\n在Rt△ABE中，AE=BE=3x，由AE－ED=AD得：3x－x=10，解之得：x=5。所以BC=5+10=15。答：塔BC的高度为15米。【考点】解直角三角形的应用（仰角俯角问题）。【分析】过点B作BE⊥AD交AD延长线于点E，构造两个直角三角形。设DE=x，分别求解可得AD与DE的值，再利用BC=AD+DE，即可求出答案。4.（深圳2022年7分）如图，某货船以海里／时的速度将一批重要物资从A处运往正东方向的M处，在点A处测得某岛C在北偏东的方向上．该货船航行分钟后到达B处，此时再测得该岛在北偏东的方向上，已知在C岛周围海里的区域内有暗礁．若继续向正东方向航行，该货船有无触礁危险？试说明理由．5.（深圳2022年6分）如图，斜坡AC的坡度（坡比）为1:，AC＝10米．坡顶有一旗杆BC，旗杆顶13\n端B点与A点有一条彩带AB相连，AB＝14米．试求旗杆BC的高度．【答案】解：延长BC交AD于E点，则CE⊥AD．ABCDE在Rt△AEC中，AC＝10，由坡比为1︰可知：∠CAE＝30°，∴CE＝AC·sin30°＝10×＝5，AE＝AC·cos30°＝10×＝。在Rt△ABE中，BE＝＝＝11。∵BE＝BC＋CE，∴BC＝BE－CE＝11-5＝6（米）。答：旗杆的高度为6米。【考点】解直角三角形的应用（坡度坡角问题），锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，勾股定理。【分析】延长BC交AD于E点，则CE⊥AD，要求旗杆BC的高度，只要求出BE和CE的高度即可。解Rt△AEC和Rt△AB即可得出结果。6.（深圳2022年学业7分）如图，△AOB和△COD均为等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90º，D在AB上．（1）求证：△AOB≌△COD；（4分）（2）若AD＝1，BD＝2，求CD的长．（3分）【答案】解：（1）证明：∵∠DOB=90°－∠AOD，∠AOC=90°－∠AOD，∴∠DOB=∠AOC。∵OC=OD，OA=OB，∴△AOC≌△BOD（SAS）。13\n（2）∵△AOC≌△BOD，∴AC=BD=2，∠CAO=∠DBO=45°。∴∠CAB=∠CAO+∠BAO=90°，∴CD=。【考点】等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理。【分析】（1）因为∠AOB=∠COD=90°，由等量代换可得∠DOB=∠AOC，又因为△AOB和△COD均为等腰直角三角形，所以OC=OD，OA=OB，则△AOC≌△BOD。（2）由（1）△AOC≌△BOD，所以AC=BD=2，∠CAO=∠DBO=45°，由等量代换求得∠CAB=90°，则根据勾股定理CD=可求。7.（深圳2022年招生8分）阅读下列材料：正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫格点三角形．数学老师给小明出了一道题目：在图一1正方形网格（每个小正方形边长为1）中画出格点△ABC，使AB＝AC＝，BC＝；小明同学的做法是：由勾股定理，得AB＝AC＝，BC，于是画出线段AB、AC、BC，从而画出格点△ABC．（1）请你参考小明同学的做法，在图一2正方形网格（每个小正方形边长为1）中画出格点△A'B'C'（A'点位置如图所示），使A'B'＝A'C'＝5，B'C'＝（直接画出图形，不写过程）；（2）观察△ABC与△A'B'C'的形状，猜想∠BAC与∠B'A'C'有怎样的数量关系，并证明你的猜想．【答案】解：（1）格点△A'B'C'如图（一个即可）：13\n（2）猜想：∠BAC=∠B'A'C'。证明如下：∵，。∴。∴△ABC∽△A'B'C'。∴∠BAC=∠B'A'C'。【考点】网格问题，勾股定理，相似三角形的判定和性质。【分析】（1）由勾股定理可作图形。（2）由三边对应成比例的判定可得△ABC∽△A'B'C'，从而根据相似三角形对应角相等的性质即可得到∠BAC=∠B'A'C'。13
