2022-2022年广东深圳中考数学试题分类解析汇编（12专题）专题10：四边形一、选择题1.（深圳2022年5分）一个等腰梯形的高恰好等于这个梯形的中位线，若分别以这个梯形的上底和下底为直径作圆，则这两个圆的位置关系是【】A、相离B、相交C、外切D、内切【答案】C。【考点】圆与圆的位置关系，等腰梯形的性质，梯形中位线定理。【分析】根据等腰梯形的中位线=上下底边和的一半，得出高的长，再解出两个圆的半径和，与高的长比较；若d=R+r则两圆外切，若d=R-r则两圆内切，若R-r＜d＜R+r则两圆相交：如图，设AD=x，BC=y，则高=中位线=（x+y），两圆半径和为：x+y=（x+y）=高，所以两圆外切。故选C。2.（深圳2022年3分）如图，在ABCD中，AB:AD=3:2，∠ADB=60°，那么cosＡ的值等于【】Ａ． Ｂ．Ｃ． Ｄ． 【答案】A。【考点】待定系数法，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，勾股定理，解一元二次方程。【分析】由AB:AD=3:2，设AB=3k，AD=2k。如图，作BE⊥AD于点E，AE=x，则DE=2k－x。在Rt△BDE中，由锐角三角函数定义，得12\nBE=DEtan∠ADB=；在Rt△ABE中，由勾股定理，得AE2＋BE2=AB2，即。整理，得，解得。∵当时，DE=2k－x=，舍去，∴。在Rt△ABE中，由锐角三角函数定义，得cosＡ=。故选A。3.（深圳2022年3分）下列命题中错误的是【】 Ａ．平行四边形的对边相等 Ｂ．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 Ｃ．矩形的对角线相等 Ｄ．对角线相等的四边形是矩形 【答案】D。【考点】命题和证明，平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质。【分析】根据平行四边形、矩形的判定和性质定理进行判定：选项A、B、C均正确，D中说法应为：对角线相等且互相平分的四边形是矩形。故选D。4.（深圳2022年招生3分）如图，正方形ABCD中，E为AB的中点，AF⊥DE于点O，则等于【】A.B.C.D.【答案】D。【考点】正方形的性质，相似三角形的判定和性质。【分析】由正方形四边相等的性质和E为AB的中点，得。由正方形四个角等于900的性质和AF⊥DE，可得△AOE∽△DOA，∴。故选D。二、填空题1.（深圳2022年3分）在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE⊥BC，垂足为E，连结DE交AC于点P，过P作PF⊥BC，垂足为F，则的值是▲.12\n【答案】。【考点】矩形的性质，相似三角形的判定和性质。【分析】根据题意易证△OBE∽△DBC和△EPF∽△ED，利用相似三角形的相似比求解：∵OB=BD，OE⊥BC，CD⊥BC，∴△OBE∽△DBC。∴。∵OE∥CD，∴△OEP∽△CDP。∴。∵PF∥DC，∴△EPF∽△EDC。∴。∵CE=BC，∴。2．（深圳2022年3分）如图所示，在四边形ABCD中，，对角线AC与BD相交于点O．若不增加任何字母与辅助线，要使得四边形ABCD是正方形，则还需增加的一个条件是▲．【答案】AC=BD或或AB⊥BC或……等等。【考点】菱形和正方形的判定。【分析】根据菱形的判定定理及正方形的判定定理即可解答：∵在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA，∴四边形ABCD是菱形∴要使四边形ABCD是正方形，则还需增加一个条件是：AC=BD或或AB⊥BC等。3.（深圳2022年3分）如图，矩形ABCD中，由8个面积均为1的小正方形组成的L型模板如图放置，则矩形ABCD的周长为▲．12\n【答案】。【考点】矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质。【分析】作GH⊥AE于点H，则有AE=EF=HG=4，AH=2，由勾股定理，得AG=。∵∠BAE+∠AEB=90°=∠FEC+∠AEB，∴∠BAE=∠FEC。又∵∠B=∠C=90°，AE=EF，∴△ABE≌△ECF（AAS）。∴AB=CE。设AB=CE=，BE=，∵∠BAE+∠AEB=90°=∠BAE+∠GAH，∴∠AEB=∠GAH。又∵∠B=∠AHG=90°，∴△ABE∽△GHA。∴，即。解得，，∴矩形ABCD的周长=2（AB+BC）=2（＋＋）=。4.（深圳2022年学业3分）如图，在ABCD中，AB＝5，AD＝8，DE平分∠ADC，则BE＝▲．【答案】3。【考点】角平分线的定义，平行四边形的性质，平行的性质，等腰三角形的判定。【分析】在ABCD中，AB=5，AD=8，∴BC=8，CD=5（平行四边形的对边相等）。∵DE平分∠ADC，∴∠ADE=∠CDE（角平分线的定义）。又ABCD中，AD∥BC，∴∠ADE=∠DEC（两直线平行，内错角相等）。∴∠DEC=∠CDE（等量代换）。∴CD=CE=5（等角对等边）。∴BE=BC－CE=8－5=3。5.（2022广东深圳3分）如图，Rt△ABC中，C=90o，以斜边AB为边向外作正方形12\nABDE，且正方形对角线交于点D，连接OC，已知AC=5，OC=6，则另一直角边BC的长为▲．【答案】7。【考点】正方形的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理。【分析】如图，过O作OF垂直于BC，再过O作OF⊥BC，过A作AM⊥OF，∵四边形ABDE为正方形，∴∠AOB=90°，OA=OB。∴∠AOM+∠BOF=90°。又∵∠AMO=90°，∴∠AOM+∠OAM=90°。∴∠BOF=∠OAM。在△AOM和△BOF中，∵∠AMO=∠OFB=90°，∠OAM=∠BOF，OA=OB，∴△AOM≌△BOF（AAS）。∴AM=OF，OM=FB。又∵∠ACB=∠AMF=∠CFM=90°，∴四边形ACFM为矩形。∴AM=CF，AC=MF=5。∴OF=CF。∴△OCF为等腰直角三角形。∵OC=6，∴根据勾股定理得：CF2+OF2=OC2，即2CF2=（6）2，解得：CF=OF=6。∴FB=OM=OF－FM=6－5=1。∴BC=CF+BF=6+1=7。三、解答题1.（2022广东深圳10分）已知：如图，正方形ABCD，AB=2，P是BC边上与B、C两点不重合的任意一点，DQ⊥AP于Q.（1）求证：△DAQ∽△APB（2）当点P在BC上变动时，线段DQ也随之变化，设PA=x，DQ=y，求y与x之间的函数关系式，并指出x的取值范围。12\n2.（深圳2022年8分）已知：如图，在口ABCD中，E、F是对角线AC上的两点，且AF=CE。求证：DE=BF【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD。∴∠BAE=∠DCF。∵AE=CF，∴△ABE≌△CDF（SAS）。∴BE=DF。【考点】平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质。12\n【分析】要证BE=DF，只要证△ABE≌△CDF即可。由平行四边形的性质知AB=CD，AB∥CD，∴∠BAE=∠DCF，又知AE=CF，于是可由SAS证明△ABE≌△CDF，从而BE=DF得证。本题还可以通过证△ADF≌△CBE来证线段相等。2.（深圳2022年10分）如图（1），等腰梯形ABCD中，AD//BC，AB=DC，以HF为直径的⊙O与AB、BC、CD、DA相切，切点分别是E、F、G、H，其中H为AD的中点，F为BC的中点，连结HG、GF。（1）若HG和GF的长是关于x的方程x2－6x＋k=0的两个实数根，求⊙O的直径HF（用含k的代数式表示），并求出k的取值范围。（2）如图（2），连结EG、DF，EG与HF交于点M，与DF交于点N，求的值。CGDHAEBFOCGDHAEBFOMN（1）（2）【答案】解：（1）∵HF是⊙O的直径，∴△HGF是直角三角形。∴HF2=HG2＋GF2=(HG＋GF)2－2HG·GF由一元二次方程根与系数的关系：HG＋GF=6，HG·GF=k，∴HF2=62－2k。∵HF>0，∴HF=。∵方程x2－6x＋k=0的两个实数根，∴△=62－4k≥0又k=HG·GF≥0，且36－2k≥0，∴0≤k≤9。（2）∵F是BC的中点，H是AD的中点，∴由切线长定理得：AE=AH=HD=DG，EB=BF=FC=CG。∴AE：EB=DG：GC。∴AD//EG//BC。∵AD⊥HF，∴GE⊥HF。设DG=DH=a，CG=CF=b，∵AD//EG//BC，∴△DNG∽△DFC，△FMN∽△FHD。∴NG：FC=DG：DC，即NG:b=a:(a+b)，MN：HD=NF：DF=CG：DC,即MN:a=b:(a+b)。12\n∴NG=MN。又∵由垂径定理得EM=GM，∴=。【考点】等腰梯形的性质，圆周角定理，勾股定理，一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，解不等式组，切线长定理，平行线分线段成比例，相似三角形的判定和性质，垂径定理。【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角得到直角三角形HGF，再根据勾股定理以及根与系数的关系求得HF的长，根据一元二次方程根的判别式求得k的取值范围。（2）先利用平行线等分线段定理和相似三角形的判定和性质求得NG=MN，再根据垂径定理可知EM=MG，从而利用合比性质求得=。3.（深圳2022年10分）等腰梯形ABCD中，AB//CD，AD=BC，延长AB到E，使BE=CD，连结CE（1）求证：CE=CA；（5分）ABECDABECDF（2）上述条件下，若AF⊥CE于点F，且AF平分∠DAE，，求sin∠CAF的值。（5分）【答案】解：（1）证明：∵四边形ABDE是等腰梯形，∴AC=BD。∵CD=BE且CD∥BE，∴四边形DBEC是平行四边形。∴CE=AC。∴CE=BD。（2）∵CD=BE，且，∴。∵AF⊥EC，BD∥EC，∴AF⊥BD，设垂足为O，∵AF平分∠DAB，∴AF垂直平分BD，即BO=BD=AC=CE。∵BO∥CE，∴△ABO∽△AEF。∴，即。∴EF=CE。∴CF=CE=AC。12\n∴sin∠CAF=。【考点】等腰梯形的性质，平行四边形的判定和性质，平行线分线段成比例，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数定义。【分析】（1）根据等腰梯形的性质可得出AC=BD，而CDBE，因此四边形CEBD是平行四边形，CE=BD，因此可得出CE=CA。（2）要求∠CAF的正弦值，就要知道，CF和AC的比例关系．由于BD∥CE，AF⊥CE，那么AF⊥BD，而AF平分∠DAB，因此AF垂直平分BD，如果设AF，BD交于O点，那么BO=BD=AC=CE．根据CD：AE=2：5，即BE：AE=2：5，可得出AB：AE=3：5，有BO∥CE，得出BO：EF=AB：AE，也就求出了BF何CE的比例关系，便可得出CF和EC的比例关系，由于CE=AC，因此也就得出了CF和AC的比例关系即可得出∠CAF的正弦值。4.（深圳2022年7分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=AD，∠ADC=1200．（1）（３分）求证：BD⊥DC．（2）（４分）若AB=4，求梯形ABCD的面积．【答案】解：（1）证明：∵AD∥BC，∠ADC=1200，∴∠C=600。又∵AB=DC=AD，∴∠ABC=∠C=600，∠ABD=∠ADB=∠DBC=300。∴∠BDC=900。∴BD⊥DC。（2）过D作DE⊥BC于E,在Rt△DEC中，∵∠C=600，AB=DC=4，∴DE=DCsin600=。在Rt△BDC中，BC=。∴。【考点】等腰梯形的性质，平行的性质，垂直的判定，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。【分析】（1）由等腰梯形和平行的性质，经过等量代换即可证得∠BDC=900，从而得证。（2）作DE⊥BC，由锐角三角函数求出下底BC和高DE即可求梯形ABCD的面积。12\n5.（深圳2022年6分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，EA⊥AD，M是AE上一点，∠BAE=∠MCE，∠MBE=450．（1）求证：BE=ME．（2）若AB=7，求MC的长．【答案】解：（1）证明：∵AD∥BC，EA⊥AD，∴∠DAE=∠AEB=90°。∵∠MBE=45°，∴∠BME=45°=∠MBE。∴BE=ME。（2）∵∠AEB=∠AEC=90°，∠BAE=∠MCE，BE=ME，∴△AEB≌△CEM（AAS）。∴MC=BA=7。【考点】梯形的性质，直角三角形两锐角的关系，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定。【分析】（1）由已知可得∠MBE=∠BME=45°，根据等腰三角形等角对等边的判定，得BE=ME。（2）根据AAS判定△AEB≌△CEM，由全等三角形的对应边相等，得MC=AB=7。6.（深圳2022年9分）如图，在平面直角坐标系中，正方形AOCB的边长为，点D在轴的正半轴上，且OD=OB，BD交OC于点E．（1）求∠BEC的度数．（2）求点E的坐标．（3）求过B，O，D三点的抛物线的解析式．（计算结果要求分母有理化．参考资料：把分母中的根号化去，叫分母有理化．例如：①；②；③等运算都是分母有理化）12\n【答案】解：(1）∵四边形AOCB是正方形，OD=OB，∴∠OBD=∠ODB=22.50。∴∠CBE=22.50。∴∠BEC=900－∠CBE=900－22.50=67.50。（2）∵正方形AOCB的边长为，∴OD=OB=。∴点B的坐标为（－1，1），点D的坐标为（，0）。设直线BD的解析式为，则，解得。∴直线BD的解析式为令，，∴点E的坐标为，）。（3）设过B、O、D三点的抛物线的解析式为，∵B（－1，1），O（0，0），D（，0），∴，解得，。∴所求的抛物线的解析式为。【考点】正方形的性质，等腰三角形的性质，直角三角形两锐角的关系，勾股定理，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次根式化简。【分析】(1）由正方形、等腰三角形的性质和直角三角形两锐角互余的性质，可求得∠BEC的度数。（2）求出点B和D的坐标，用待定系数法求出直线BD的解析式，令即可求出点E的坐标。（3）由B、O、D三点的坐标，用待定系数法即可求出过B，O，D三点的抛物线的解析式。7.（深圳2022年7分）如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，DB平分∠ADC，过点A作AE∥BD，交CD的延长线于点E，且∠C＝2∠E．（1）求证：梯形ABCD是等腰梯形．（2）若∠BDC＝30°，AD＝5，求CD的长．12\n12
