【2022版中考12年】广东省广州市2022-2022年中考数学试题分类解析专题6函数的图像与性质一、选择题1.（2022年广东广州3分）如果已知一次函数y=kx+b的图象不经过第三象限，也不经过原点，那么k、b的取值范围是【】（A）k>0且b>0 （B）k>0且b<0 （C）k<0且b>0 （D）k<0且b<02.（2022年广东广州3分）．若点都在反比例函数的图象上，则【】（A） （B） （C） （D）31\n如图所示，。故选B。3.（2022年广东广州3分）抛物线的顶点坐标是【】（A）（－2，1） （B）（－2，－1） （C）（2，1） （D）（2，－1）4.（2022年广东广州3分）直线与抛物线的两个交点的坐标分别是【】（A）（2，2），（1，1） （B）（2，2），（－1，－1）（C）（－2，－2）（1，1） （D）（－2，－2）（－1，1）5.（2022年广东广州3分）抛物线的顶点坐标是【】（A）（2，0）（B）（－2，0）（C）（1，－3）（D）（0，－4）31\n6.（2022年广东广州3分）有一块缺角矩形地皮ABCDE（如图），其中AB＝110m，BC＝80m，CD＝90m，∠EDC＝135°．现准备用此块地建一座地基为长方形（图中用阴影部分表示）的教学大楼，以下四个方案中，地基面积最大的是【】（A）（B）（C）（D）7.（2022年广东广州3分）如果反比例函数的图象经过点（1，－2），那么k的值是【】A．－2B．2C．D．31\n【答案】A。【考点】曲线上点的坐标与方程的关系。【分析】∵反比例函数的图象经过点（1，－2），∴，即k=－2。故选A。8.（2022年广东广州3分）下列各点中，在函数的图像上的是【】A.（2，3）B.（3，1）C.（0，－7）D.（－1，9）9（2022年广东广州3分）当k>0时，双曲线与直线的公共点有【】A.0个 B.1个 C.2个 D.3个10.（2022年广东广州3分）抛物线的顶点坐标是【】．(A)(0，1)(B)(0，一1)(C)(1，0)(D)(一1，0)11.（2022年广东广州3分）下列图象中，表示直线y=x－1的是【】．31\n(A)(B)(C)(D)12.（2022年广东广州3分）二次函数与x轴的交点个数是【】A．0B．1C．2D．313.（2022年广东广州3分）一次函数的图象不经过【 】A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限④当，时，函数的图象经过第二、三、四象限。因此，由题意得，函数的，，故它31\n的图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限。故选B。14.（2022年广东广州3分）二次函数的最小值是【】（A）2（B）1（C）－1（D）－215.（2022年广东广州3分）下列函数中，当＞0时，值随值增大而减小的是【】A、B、C、D、16.（2022年广东广州3分）如图，正比例函数y1=k1x和反比例函数的图象交于A（﹣1，2）、B（1，﹣2）两点，若y1＜y2，则x的取值范围是【】 A．x＜﹣1或x＞1 B．x＜﹣1或0＜x＜1 C．﹣1＜x＜0或0＜x＜1 D．﹣1＜x＜0或x＞1【答案】D。31\n二、填空题1.（2022年广东广州3分）如果正比例函数的图像经过点（2，1），那么这个函数的解析式是▲．2.（2022年广东广州3分）若反比例函数的图象经过点(1，一1)，则k的值是▲．3.（2022年广东广州3分）已知函数，当=1时，的值是▲4.（2022年广东广州3分）一次函数，若y随x的增大而增大，则的取值范围是▲.①当时，函数的值随x的值增大而增大；②当时，函数的值随x的值增大而减小。由题意得，函数的y随x的增大而增大，。三、解答题1.（2022年广东广州13分）在图的方格纸上有A、B、C三点（每个小方格的边长为1个单位长度）。31\n（1）在给出的直角坐标系中（或舍去该直角坐标系，在自己另建立适当的直角坐标系中）分别写出点A、B、C的坐标；（2）根据你得出的A、B、C三点的坐标，求图象经过这三点的二次函数的解析式。（2）设所求的二次函数解析式为：。把点A、B、C的坐标分别代入上式，得：，解之，得。∴所求的二次函数解析式为。31\n2.（2022年广东广州16分）现计划把甲种货物1240吨和乙种货物880吨用一列货车运往某地，已知这列货车挂有A、B两种不同规格的货车厢共40节，使用A型车厢每节费用为6000元，使用B型车厢每节费用为8000元．（1）设运送这批货物的总费用为y万元，这列货车挂A型车厢x节，试写出y与x之间的函数关系式；（2）如果每节A型车厢最多可装甲种货物35吨和乙种货物15吨，每节B型车厢最多可装甲种货物25吨和乙种货物35吨，装货时按此要求安排A、B两种车厢的节数，那么共有哪几种安排车厢的方案？（3）在上述方案中，哪个方案运费最省？最少运费为多少元？【答案】.解：（1）设用A型车厢x节，则用B型车厢(40－x)节，总运费为y万元，根据题意，得y＝0.6x＋0.8(40－x)＝－0.2x＋32。31\n3.（2022年广东广州15分）已知抛物线（m为整数）经过点A（1，1），顶点为P，且与x轴有两个不同的交点．（1）判断点P是否在线段OA上（O为坐标原点），并说明理由；（2）设该抛物线与x轴的两个交点的横坐标分别为x1、x2，且x1＜x2，是否存在实数m，使x1＜m＜x2？若存在，请求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．①当－1＜m＜0时，m+1＞0，＜0，点P在第三象限，此时点P不在线段OA上；②当m＜－1时，m+1＜0，＞0，点P在第一象限，31\n∵＞0，∴＞1。∴点P不在线段OA上。综上所述，点P不在线段OA上。4.（2022年广东广州12分）已知二次函数。……（*）（1）当a=1，b=－2，c=1时，请在图上的直角坐标系中画出此时二次函数的图像；（2）用配方法求该二次函数（*）的图像的顶点坐标。31\n【考点】二次函数的图象和性质。【分析】（1）采用描点法作图，要注意先确定顶点坐标。（2）要注意配方法的步骤：①提取二次项系数②加上一次项系数的一半的平方，配得完全平方式。5（2022年广东广州14分）如图，某学校校园内有一块形状为直角梯形的空地ABCD，其中AB//DC，∠B=90°，AB=100m，BC=80m，CD=40m31\n，现计划在上面建设一个面积为S的矩形综合楼PMBN，其中点P在线段AD上，且PM的长至少为36m。（1）求边AD的长；（2）设PA=x（m），求S关于x的函数关系式，并指出自变量x的取值范围；（3）若S=3300m2，求PA的长。（精确到0.1m）【答案】解：（1）过点D作DE⊥AB于D，则DE//BC且DE=BC，CD=BE，DE//PM。在Rt△ADE中，DE=80m，∴AE=AB－BE=100－40=60m。∴（3）当S=3300m2时，，即。∴。31\n∴，。∴即当S=3300m2时，PA的长为75m，或约为91.7m。6.（2022年广东广州12分）如图，⊙O的半径为1，过点A(2，0)的直线切⊙O于点B，交y轴于点C.(1)求线段AB的长；(2)求以直线AC为图象的一次函数的解析式．【答案】解：（1）连接OB，∵B是切点，∴△ABO是直角三角形。∵⊙O的半径为1，A(2，0)，∴OA=2，OB=1。∴由勾股定理得，。（2）∵△ABO∽△AOC，∴，即。31\n∴。∴C（0，）。设直线AC的解析式为y＝kx＋b，则，解得。∴以直线AC为图象的一次函数的解析式为。7.（2022年广东广州14分）已知抛物线（m≠0）．（1）求证：该抛物线与x轴有两个不同的交点；（2）过点P（0，n）作y轴的垂线交该抛物线于点A和点B（点A在点P的左边），是否存在实数m、n，使得AP=2PB？若存在，则求出m、n满足的条件；若不存在，请说明理由．分两种情况讨论：第一种：点A在点P左边，点B在点P的右边，PB=，AP=。31\n∵AP=2PB，∴，即……….②∴……………………….③由②式可解得…………………………..④第二种：点A、B都在点P左边，点A在点B左边，PB=，AP=。∵AP=2PB，∴，即………….⑤∴……………………….⑥由⑤式可解得……….⑦综合①③④⑥⑦可知，满足条件的点P存在，此时应满足条件：，或。8.（2022年广东广州14分）二次函数图象过A、C、B三点，点A的坐标为（－1，0），点B的坐标为（4，0），点C在y轴正半轴上，且AB=OC.（1）求C的坐标；（2）求二次函数的解析式，并求出函数最大值。【答案】解：（1）∵A(1，0)、B(4，0)，∴AO=1，OB=4，即AB=AO+OB=1+4=5。31\n∵AB=OC，∴OC＝5，即点C的坐标为（0，5）。（2）设图象经过A、C、B三点的二次函数的解析式为，∵点C（0，5）在图象上，∴，即。∴所求的二次函数解析式为。∵，且，∴当时，y有最大值。.9.（2022年广东广州12分）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A、B两点（1）根据图象，分别写出A、B的坐标；（2）求出两函数解析式；（3）根据图象回答：当为何值时，一次函数的函数值大于反比例函数的函数值【答案】解：（1）由图象知，A（－6，－2），B（4，3）。（2）∵点A（－6，－2）在反比例函数的图象上，∴。∴反比例函数解析式为。∵点A（－6，－2）和B（4，3）在一次函数的图象上，∴，解得。31\n∴一次函数解析式为。（3）由图象知，当－6＜x＜0或x＞4时，一次函数的函数值大于反比例函数的函数值。10.（2022年广东广州14分）如图，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，－1），ΔABC的面积为。（1）求该二次函数的关系式；（2）过y轴上的一点M（0，m）作y轴的垂线，若该垂线与ΔABC的外接圆有公共点，求m的取值范围；（3）在该二次函数的图象上是否存在点D，使四边形ABCD为直角梯形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由。∵，即，解得p=。31\n∵p<0，∴p=。∴该二次函数的关系式为：。（3）存在。由（2）知AC⊥BC。①若以AC为底边，则BD//AC。由A、C的坐标易求AC的解析式为y=－2x－1，可设BD的解析式为y=－2x+b，把B(2，0)代入得BD解析式为y=－2x＋4。解方程组得，∴D（，9）。②若以BC为底边，则BC//AD。由B、C的坐标易求BC的解析式为可设AD的解析式为，把A(，0)代入得AD解析式为。解方程组得。∴D()综上所述，存在两点D，坐标为：（，9）或()。31\n11.（2022年广东广州12分）已知抛物线y＝－x2＋2x＋2．（1）该抛物线的对称轴是，顶点坐标；（2）选取适当的数据填入下表，并在图的直角坐标系内描点画出该抛物线的图象；x……y……（3）若该抛物线上两点A（x1，y1），B（x2，y2）的横坐标满足x1＞x2＞1，试比较y1与y2的大小．【答案】解：（1）x=1；（1，3）。（2）填表如下：x…﹣10123…y…﹣1232﹣1…描点作图如下：31\n（3）因为在对称轴x=1右侧，y随x的增大而减小，又x1＞x2＞1，所以y1＜y2。12.（2022年广东广州12分）已知反比例函数(m为常数)的图象经过点A（－1，6）．（1）求m的值；（2）如图，过点A作直线AC与函数的图象交于点B，与x轴交于点C，且AB＝2BC，求点C的坐标．【答案】解：（1）∵图象过点A（﹣1，6），∴=6，解得m=2。（2）分别过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为点E、D，由题意得，AE=6，OE=1，即A（﹣1，6）。∵BD⊥x轴，AE⊥x轴，∴AE∥BD。∴△CBD∽△CAE。∴。∵AB=2BC，∴，即。31\n∴BD=2，即点B的纵坐标为2。当y=2时，x=－3，即B（－3，2）。设直线AB方程为：y=kx+b，把A和B坐标代入得：，解得。∴直线AB为y=2x+8。令y=0，解得x=﹣4。∴C（﹣4，0）。13.（2022年广东广州12分）已知Rt△ABC的斜边AB在平面直角坐标系的轴上，点C（1，3）在反比例函数的图象上，且sin∠BAC＝．（1）求的值和边AC的长；（2）求点B的坐标．【答案】解：（1）∵点C（1，3）在反比例函数的图象上，∴把C（1，3）代入得，，即＝3。31\n∵sin∠BAC＝，∴sin∠BAC＝。∴AC＝5。（2）∵△ABC是直角三角形，∴∠DAC=∠DCB。又∵sin∠BAC＝，∴tan∠DAC＝。∴。又∵CD＝3，∴BD＝。∴AB＝1＋。∴B点的坐标为（，0）。14.（2022年广东广州14分）已知关于的二次函数的图象经过点C（0，1），且与轴交于不同的两点A、B，点A的坐标是（1，0）（1）求的值；（2）求的取值范围；（3）该二次函数的图象与直线＝1交于C、D两点，设A、B、C、D四点构成的四边形的对角线相交于点P，记△PCD的面积为S1，△PAB的面积为S2，当0＜＜1时，求证：S1﹣S2为常数，并求出该常数．31\n（3）证明：∵0＜＜1，∴B在A的右边，设A（1，0），B（，0），∵由根与系数的关系得：1＋＝，∴。∴AB＝。把＝1代入二次函数得：解得：1＝0，2＝，∴CD＝。过P作MN⊥CD于M，交轴于N，则MN⊥轴，∵CD∥AB，∴△CPD∽△BPA。∴。∴。∴。∴。∴。31\n即不论为何值，S1－S2的值都是常数。这个常数是1。15.（2022年广东广州12分）某城市居民用水实行阶梯收费，每户每月用水量如果未超过20吨，按每吨1.9元收费．如果超过20吨，未超过的部分按每吨1.9元收费，超过的部分按每吨2.8元收费．设某户每月用水量为x吨，应收水费为y元．（1）分别写出每月用水量未超过20吨和超过20吨，y与x间的函数关系式．（2）若该城市某户5月份水费平均为每吨2.2元，求该户5月份用水多少吨？16.（2022年广东广州14分）如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．（1）求点A、B的坐标；（2）设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD的面积等于△ACB的面积时，求点D的坐标；31\n（3）若直线l过点E（4，0），M为直线l上的动点，当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线l的解析式．【答案】解：（1）在中，令y=0，即，解得x1=﹣4，x2=2。∵点A在点B的左侧，∴A、B点的坐标为A（﹣4，0）、B（2，0）。（2）由得，对称轴为x=﹣1。在中，令x=0，得y=3。∴OC=3，AB=6，。在Rt△AOC中，。设△ACD中AC边上的高为h，则有AC•h=9，解得h=。如图1，在坐标平面内作直线平行于AC，且到AC的距离=h=，这样的直线有2条，分别是L1和L2，则直线与对称轴x=﹣1的两个交点即为所求的点D。设L1交y轴于E，过C作CF⊥L1于F，则CF=h=，∴。31\n设直线AC的解析式为y=kx+b，将A（﹣4，0），B（0，3）坐标代入，得，解得。∴直线AC解析式为。直线L1可以看做直线AC向下平移CE长度单位（个长度单位）而形成的，∴直线L1的解析式为。则D1的纵坐标为。∴D1（﹣4，）。同理，直线AC向上平移个长度单位得到L2，可求得D2（﹣1，）。综上所述，D点坐标为：D1（﹣4，），D2（﹣1，）。（3）如图2，以AB为直径作⊙F，圆心为F．过E点作⊙F的切线，这样的切线有2条．连接FM，过M作MN⊥x轴于点N。31\n∵A（﹣4，0），B（2，0），∴F（﹣1，0），⊙F半径FM=FB=3。又FE=5，则在Rt△MEF中，ME=，sin∠MFE=，cos∠MFE=。在Rt△FMN中，MN=MN•sin∠MFE=3×，FN=MN•cos∠MFE=3×。则ON=。∴M点坐标为（，）。直线l过M（，），E（4，0），设直线l的解析式为y=k1x+b1，则有，解得。∴直线l的解析式为y=x+3。同理，可以求得另一条切线的解析式为y=x﹣3。综上所述，直线l的解析式为y=x+3或y=x﹣3。31\n17.（2022年广东广州14分）已知抛物线过点A(1，0)，顶点为B，且抛物线不经过第三象限。（1）使用a、c表示b；（2）判断点B所在象限，并说明理由；（3）若直线经过点B，且于该抛物线交于另一点C(),求当x≥1时y1的取值范围。（3）∵抛物线经过点A(1，0)和点C()，31\n∴，解得：。∴C()。∵，∴顶点B的坐标为。∵点B、C()经过直线，∴，解得：。∵，∴。将代入得：，解得：或。当时，，与题设不符，舍去。∴，。∴抛物线解析式为(如图所示)。∴抛物线在（2，－2）取得最小值。∴当x≥1时，y1的取值范围为y1≥－2。31\n31
