【2022版中考12年】湖北省黄冈市2002-2022年中考数学试题分类解析 专题12 押轴题

【2022版中考12年】湖北省黄冈市2022-2022年中考数学试题分类解析专题12押轴题一、选择题1.（湖北省黄冈市2022年4分）如图，点A是半径为㎝的⊙O上一点，现有动点P、Q同时从点A出发，分别以3㎝/秒，1㎝/秒的速度沿圆周作顺时针和逆时针方向运动，那么下列结论正确的是【】（A）当P，Q两点运动到1秒时，弦长PQ=㎝（B）当点P第一次回到出发点A时所用时间为秒（C）当P，Q两点从开始运动到第一次成为最大弦时，所用的时间为2秒（D）当P，Q两点从开始运动到第一次成为最大弦时，过点A作⊙O的切线与PQ的延长交于M，则MA长为㎝【答案】ABC。【考点】弧长的计算，圆周角定理，切线的性质。【分析】A、当P，Q两点运动到1秒时，弧PQ=（1+3）×1=4cm，弧PQ对的圆心角为n，则有4=，解得n=90°。∴弦长PQ=（cm）。故A正确。B、∵圆的周长=2π×=16，∴当点P第一次回到出发点A时所用时间=16÷3=秒。故B正确。C、当P，Q两点从开始运动到第一次成为最大弦时，最大弦为直径，所用的时间=8÷（1+3）=2秒。故C正确。D、当P，Q两点从开始运动到第一次成为最大弦时，弧AQ=1×2=，解得弧75\nAQ的度数n=45°，即△AMO为等腰直角三角形，有MA=OA=（cm）。故D错误。故选ABC。2.（湖北省黄冈市2022年4分）如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，AE⊥EF，则下列结论正确的是【】．　　A．∠BAE＝30°B．C．D．△ABE∽△AEF【答案】BD。【考点】正方形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理。【分析】由BE=BC=AB知AE≠AB，∴∠BAE≠30°。故选项A错误。∵∠BAE+∠BEA=90°，∠BEA+∠CEF=90°，∴∠BAE=∠CEF。又∵∠B=∠C=90°，∴△ABE∽△ECF。∴AB：BE=EC：CF。又∵BE=CE，∴AB：CE=EC：CF，即CE2=AB•CF。故选项B正确。由CE2=AB•CF，AB=CD，CE==BC=CD得，即。故选项C错误。设BE=ｘ，则AB=2ｘ。由勾股定理得，AE=，EF=。∴AB：AE=BE：EF=2：。又∵AE⊥EF，∴∠B=∠AEF=90°。∴△ABE∽△AEF。故选项D正确。故选BD。3.（湖北省黄冈市2022年4分）如图，以O为圆心的两个同心圆的半径分别为11cm和9cm，若圆P与这两个圆都相切，则下列说法正确的是【】75\nA、圆P的半径可以为2cmB、圆P的半径可以为10cmC、符合条件的圆P有无数个且P点运动的路线是曲线D、符合条件的圆P有无数个且P点运动的路线是直线4.（湖北省黄冈市大纲卷2022年4分）如图，△ABC中，AB=AC，D为BC中点，E为AD上任意一点，过C作CF∥AB交BE的延长线于F，交AC于G，连结CE。下列结论中正确的有【】A．AD平分∠BACB．BE=CFC．BE=CED．若BE=5，GE=4，则GF=75\n5.（湖北省黄冈市课标卷2022年4分）如图，△ABC中，AB=AC，D为BC中点，E为AD上任意一点，过C作CF∥AB交BE的延长线于F，交AC于G，连结CE。下列结论中正确的有【】A．AD平分∠BACB．BE=CFC．BE=CED．若BE=5，GE=4，则GF=【答案】ACD。【考点】等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，平行线的性质，相似三角形的判定和性质。【分析】∵△ABC中，AB=AC，D为BC中点，∴AD是线段BC的垂直平分线。∴AD平分∠BAC，BE=CE。故A、C正确。75\n∵CF∥AB，∴∠CFG=∠ABF。∵∠ABE=∠ACE，∴∠CFG=∠ACE=∠CFE。∵∠CEG=∠FEC，∴△ECG∽△EFC。∴。当BE=5，GE=4时，EF=，∴GF=EF－GE=。故D正确。∵∠CEF=∠CFE不一定成立，∴CE=CF不一定成立。∴BE=CF不一定成立。故B错误。故选ACD。6.（湖北省黄冈市大纲卷2022年4分）如图，△ABC内接于，AB=AC，AD是的切线，，交于点E，连接AE，则下列结论正确的有【】Ａ．Ｂ．AE=BEＣ．Ｄ．四边形ACBD是平行四边形75\n7.（湖北省黄冈市课标卷2022年4分）下列说法正确的是【】A、不等式－2x－4＞0的解集为x＜2B、点(a，b)关于点(a，0)的对称点为(a，－b)C、方程的根为x=－3D、中国的互联网上网用户数居世界第二位，用户已超过7800万，用科学记数法表示7800万这个数据为7.8×107万【答案】BC。【考点】解一元一次不等式，关于x轴对称的点的坐标，分式方程的解，科学记数法。【分析】A、根据不等式的性质，两边同除以负数，不等号的方向改变．则－2x＞4，x＜－2．故不正确；B、此题即是求点（a，b）关于x轴的对称点，为（a，－b），故正确；C、解得为x=－3，故正确；D、7800万=7.8×103万，故不正确。故选BC。8.（湖北省黄冈市2022年4分）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，E为AB上一点，且ED平分∠ADC，EC平分∠BCD，则下列结论中正确的有【】A、∠ADE=∠CDEB、DE⊥ECC、AD·BC=BE·DED、CD=AD+BC【答案】ABD。75\n【考点】直角梯形的性质，平行的性质，角平分线的性质，全等、相似三角形的判定和性质。9.（湖北省黄冈市2022年3分）如图，已知梯形ABCD中，，AB=CD=AD，AC，BD相交于O点，，则下列说法正确的是【】A．梯形ABCD是轴对称图形B．BC=2ADC．梯形ABCD是中心对称图形D．AC平分【答案】ABD。【考点】梯形的性质，轴对称图形，中心对称图形，平行四边形、等腰（边）三角形的判定和性质。【分析】根据已知条件，对四个选逐个验证，即可得到答案：75\n10.（湖北省黄冈市2022年3分）小高从家门口骑车去单位上班，先走平路到达点A，再走上坡路到达点B，最后走下坡路到达工作单位，所用的时间与路程的关系如图所示．下班后，如果他沿原路返回，且走平路、上坡路、下坡路的速度分别保持和去上班时一致，那么他从单位到家门口需要的时间是【】A．12分钟B．15分钟C．25分钟D．27分钟【答案】B。【考点】一次函数的应用，数形结合思想的应用。【分析】依据图象分别求出平路、上坡路和下坡路的速度，然后根据路程，求出时间即可：∵他在平路、上坡路和下坡路的速度分别为（千米/分），∴他从单位到家门口需要的时间是（分钟）。故选B。11.（湖北省黄冈市2022年3分）已知四条直线y＝kx－3，y＝－1，y＝3和x＝1所围成的四边形的面积是12，则k的值为【】A．1或－2　　　B．2或－1　　　C．3　　　D．475\n【答案】A。【考点】直线上点的坐标与方程的关系，分类思想和数形结合思想的应用。12.（湖北省黄冈市2022年3分）已知函数，若使成立的值恰好有三个，则的值为【】A、0B、1C、2D、3【答案】D。【考点】二次函数的图象。【分析】在坐标系中画出已知函数的图象如图，根据图象知道，在分段函数的分界点，即当=3时，对应成立的值恰好有三个，∴=3。故选D。13.（湖北省黄冈市2022年3分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=6cm，点P从点A出发，沿AB方向以每秒cm的速度向终点B运动；同时，动点Q从点B出发沿BC方向以每秒1cm75\n的速度向终点C运动，将△PQC沿BC翻折，点P的对应点为点P′.设Q点运动的时间t秒，若四边形QPCP′为菱形，则t的值为【】14.（2022年湖北黄冈3分）一列快车从甲地驶往乙地，一列特快车从乙地驶往甲地，快车的速度为100千米/小时，特快车的速度为150千米/小时，甲乙两地之间的距离为1000千米，两车同时出发，则图中折线大致表示两车之间的距离（千米）与快车行驶时间t（小时）之间的函数图象是【】A.B.C.D.75\n【答案】C。【考点】函数的图象，分类思想的应用。【分析】分三段讨论：①两车从开始到相遇，这段时间两车距迅速减小；②相遇后向相反方向行驶至特快到达甲地，这段时间两车距迅速增加；③特快到达甲地至快车到达乙地，这段时间两车距缓慢增大；结合图象可得C选项符合题意。故选C。二、填空题1.（湖北省黄冈市2022年3分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AC=cm，将△ABC绕点B旋转至△A‘BC’的位置，且使点A、B、C‘三点在一条直线上，则点A经过的最短路线的长度是▲.2.（湖北省黄冈市2022年3分）如图，把直角三角形ABC的斜边AB放在定直线l上，按顺时针方向在l上转动两次，使它转到△A"B"C"的位置．设BC＝1，，则顶点A运动到点A"的位置时，点A经过的路线与直线l所围成的面积是▲．（计算结果不取近似值）75\n3.（湖北省黄冈市2022年3分）如图是一种“羊头”形图案，其做法是：从正方形①开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形②和②′，…，然后依次类推，若正方形1的边长为64cm，则第4个正方形的边长为▲cm．【答案】16。【考点】探索规律型，正方形和等腰直角三角形的性质。【分析】根据题意：第一个正方形的边长为64cm，此后，每一个正方形的边长是上一个正方形的边长，所以第n个正方形的边长为64×（）n（cm），第4个正方形的边长为64×（）3=16（cm）。4.（湖北省黄冈市大纲卷2022年3分）75\n已知点P是半径为2的⊙O外一点，PA是⊙的切线，切点为A，且PA=2，在⊙O内作长为2的弦AB，连结PB，则PB的长为▲。5.（湖北省黄冈市课标卷2022年3分）图（1）中的梯形符合▲条件时，可以经过旋转和翻折形成图案（2）。【答案】底角为60°且上底与两腰相等的等腰梯形。【考点】翻折变换（折叠问题），等腰梯形的性质。【分析】从图得到，梯形的上底与两腰相等，上底角为360°÷3=120°，∴下底角=60°。∴梯形符合底角为60°且上底与两腰相等的等腰梯形条件时，可以经过旋转和翻折形成图案（2）。75\n6.（湖北省黄冈市大纲卷2022年3分）将边长为8cm的正方形ABCD的四边沿直线l想右滚动(不滑动)，当正方形滚动两周时，正方形的顶点A所经过的路线的长是▲cm。7.（湖北省黄冈市课标卷2022年3分）将边长为8cm的正方形ABCD的四边沿直线l想右滚动(不滑动)，当正方形滚动两周时，正方形的顶点A所经过的路线的长是▲cm。75\n8.（湖北省黄冈市2022年3分）如图，将边长为8cm的正方形ABCD沿直线l向右翻动（不滑动），当正方形连续翻动三次后，正方形ABCD的中心经过的路线长是▲cm.【答案】。【考点】正方形的性质，弧长的计算。【分析】正方形的对角线长是8cm，翻动一次中心经过的路线是半径以对角线的一半为半径，圆心角为90度的弧，则中心经过的路线长是：。75\n9.（湖北省黄冈市2022年3分）如图，和都是边长为2的等边三角形，点B，C，E在同一条直线上，连接BD，则BD的长为▲．10.（湖北省黄冈市2022年3分）矩形ABCD的边AB=8，AD=6，现将矩形ABCD放在直线l上且沿着l向右作无滑动地翻滚，当它翻滚至类似开始的位置时（如图所示），则顶点A所经过的路线长是▲．11.（湖北省黄冈市2022年3分）将半径为4cm的半圆围成一个圆锥，在圆锥内接一个圆柱（如图示），当圆柱的侧面的面积最大时，圆柱的底面半径是▲cm.75\n12.（湖北省黄冈市2022年3分）如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC平分线BP交于点P，若∠BPC=40°，则∠CAP=　▲　．【答案】50°。【考点】角平分线的性质，三角形内角和定理，三角形的外角性质三角形全等的判定和性质。75\n13.（湖北省黄冈市2022年3分）某物流公司的快递车和货车同时从甲地出发，以各自的速度匀速向乙地行驶，快递车到达乙地后卸完物品再另装货物共用45分钟，立即按原路以另一速度匀速返回，直至与货车相遇．已知货车的速度为60千米／时，两车之间的距离y(千米)与货车行驶时间x(小时)之间的函数图象如图所示，现有以下4个结论：①快递车从甲地到乙地的速度为100千米／时；②甲、乙两地之间的距离为120千米；③图中点B的坐标为(，75)；④快递车从乙地返回时的速度为90千米／时．以上4个结论中正确的是▲(填序号)【答案】①③④。【考点】一次函数的应用。75\n14.（2022年湖北黄冈3分）如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=3，边CD在直线L上，将矩形ABCD沿直线L作无滑动翻滚，当点A第一次翻滚到点A1位置时，则点A经过的路线长为▲.【答案】。【考点】矩形的性质，弧长的计算，勾股定理。【分析】如图，75\n点A经过的路线长由三部分组成：以D为圆心，AD为半径旋转90°的弧长；以B″为圆心，AB为半径旋转90°的弧长；以C1为圆心，A1C1为半径旋转90°的弧长，根据矩形的性质和勾股定理可得各半径长，利用弧长公式计算即可：。三、解答题1.（湖北省黄冈市2022年12分）通过电脑拨号上“因特网”的费用是由电话费和上网费两部分组成.以前我市通过“黄冈热线”上“因特网”的费用为电话费0.18元/3分钟，上网费为7.2元/小时.后根据信息产业部调整“因特网”资费的要求，自1999年3月1日起，我市上“因特网”的费用调整为电话费0.22元/3分钟，上网费为每月不超过60小时，按4元/小时计算；超过60小时部分，按8元/小时计算.（1）根据调整后的规定，将每月上“因特网”的费用y（元）表示为上网时间x（小时）的函数；（2）资费调整前，网民晓刚在其家庭经济预算中，一直有一笔每月70小时的上网费用支出.“因特网”资费调整后，晓刚要想不超过其家庭经济预算中的上网费用支出，他现在每月至少可上网多少小时？（3）从资费调整前后的角度分析，比较我市网民上网费用的支出情况.【答案】解：（1）∵电话费0.22元/3分钟，∴一分钟得电话费为：0.22÷3元，则一小时的电话费为：0.22÷3×60=4.4元。∴没有超过（以60小时为标准）的一小时总费用为4＋4.4=8.4元；超过（以60小时为标准）的一小时总费用为8＋4.4=12.4元。∴y=。75\n【考点】一次函数的应用，分类思想的应用。【分析】（1）根据题意，将函数关系分成两段分别求出解析式，即可得答案。（2）根据题意，分别计算资费调整前后的上网的费用，从而比较可得答案。（3）根据题意，分别计算资费调整前后的上网的费用，注意分段讨论调整后的费用，分别与调整前的资费比较可得答案。2.（湖北省黄冈市2022年16分）已知：如图，抛物线经过A，B，C三点，顶点为D，且与x轴的另一个交点为E.（1）求抛物线的解析式；（2）求四边形ABDE的面积；（3）△AOB与△BDE是否相似，如果相似，请予以证明；如果不相似，请说明理由；（4）设抛物线的对称轴与x轴交于点F，另一条抛物线经过点E（抛物线与抛物线不重合），且顶点为M（a，b），对称轴与x轴相交于点G，且以M，G，E为顶点的三角形与以D，E，F为顶点的三角形全等，求a，b的值（只需写出结果，不必写出解答过程）.75\n（2）∵，∴抛物线c1的顶点D的坐标为（1，4）。过D作DF⊥x轴于F，由图象可知：OA=1，OB=3，OF=1，DF=4。令y=0，则，解得x1=－1，x2=3。∴OE=3，则FE=2。∵S△ABO=OA•OB=×1×3=，S△DFE=DF•FE=×4×2=4，S梯形BOFD=（BO+DF）•OF=，75\n∴S四边形ABDE=S△AOB+S梯形BOFD+S△DFE=9。（3）如图，过B作BK⊥DF于K，则BK=OF=1，DK=DF－OB=4－3=1。∴BD=。又DE=，AB=，BE=3，在△ABO和△BDE中，AO=1，BO=3，AB=，BD=，BE=3，DE=，∴。∴△AOB∽△DBE。（4），，，，，，。【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，相似三角形的判定，全等三角形的判定，分类思想和数形结合思想的应用。【分析】（1）根据图象可得出A、B、C三点的坐标，然后用待定系数法即可求出抛物线的解析式。（2）由于四边形ABDE不是规则的四边形，因此可过D作DF⊥x轴于F，将四边形ABDE分成△AOB，梯形BOFD和△DFE三部分来求。（3）可先根据坐标系中两点间的距离公式，分别求出AB、BE、DE、BD的长，然后看两三角形的线段是否对应成比例即可。（4）要使两三角形全等，那么两直角三角形的两直角边应对应相等。①当EF=EG=1，DF=MG=3，此时M点的坐标可能为（5，4），（5，－4），（1，－4）；75\n②当EF=MG=1，DF=EG=3，此时M点的坐标可能是（7，1），（7，－1），（－1，1），（－1，－1）。综上可得出a、b的值。3.（湖北省黄冈市2022年11分）在全国抗击“非典”的斗争中，黄城研究所的医学专家们经过日夜奋战，终于研制出一种治疗非典型肺炎的抗生素．据临床观察：如果成人按规定的剂量注射这种抗生素，注射药液后每毫升血液中的含药量y（微克）与时间t（小时）之间的关系近似地满足如图所示的折线．（1）写出注射药液后每毫升血液中含药量y与时间t之间的函数关系式及自变量的取值范围．（2）据临床观察：每毫升血液中含药量不少于4微克时，控制“非典”病情是有效的．如果病人按规定的剂量注射该药液后，那么这一次注射的药液经过多长时间后控制病情开始有效?这个有效时间有多长?（3）假若某病人一天中第一次注射药液是早晨6点钟，问怎样安排此人从6∶00～20∶00注射药液的时间，才能使病人的治疗效果最好?75\n液的含药量之和，　　∴，解得（小时）。　　∴第四次注射药液的时间是：19∶30。　　75\n综上所述，安排此人注射药液的时间为：第一次注射药液的时间是6∶00，第二次注射药液的时间是10∶00，第三次注射药液的时间是15∶00，第四次注射药液的时间是19∶30，这样安排才能使病人的治疗的效果最好。【考点】一次函数的应用，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系。【分析】（1）观察函数的图象可知，本题的函数是个分段函数，应该按自变量的取值范围进行分别计算：当0～1小时的时候，函数图象是个正比例函数，可根据1小时的含药量用待定系数法进行求解；当1～10小时时，函数的图形是个一次函数，可根据1小时和10小时两个时间点的含药量用待定系数法求函数的关系式。（2）在0～1小时的时间段内，当含药量上升到4微克时，控制病情开始有效，那么让这个区间的函数值=4求出这个时间点。同理，可在1～10小时的时间段内求出另一个时间点，他们的差就是药的有效时间。（3）可根据（2）中求药液有效期的方法求出第二次注射的时间，在第三次注射时，要注意算上第二次药液有效期过后剩余的药液量，然后参照求第二次注射是时间的方法求出第三次注射的时间，依此类推。4.（湖北省黄冈市2022年16分）已知二次函数的图象如图所示．（1）求二次函数的解析式及抛物线顶点M的坐标．（2）若点N为线段BM上的一点，过点N作x轴的垂线，垂足为点Q．当点N在线段BM上运动时（点N不与点B，点M重合），设NQ的长为t，四边形NQAC的面积为S，求S与t之间的函数关系式及自变量t的取值范围；（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使△PAC为直角三角形?若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；（4）将△OAC补成矩形，使△OAC的两个顶点成为矩形一边的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上，试直接写出矩形的未知的顶点坐标（不需要计算过程）．75\n　　（3）存在符合条件的点P，且坐标是，。　　设点P的坐标为P，则。　　，。　　分以下三种情况讨论：　i）若∠PAC＝90°，则，　∴，解得：，（舍去）。∴点。　　ii）若∠PCA＝90°，则，　　∴，解得：75\n（舍去）。∴点。　　iii）由图象观察得，当点P在对称轴右侧时，，所以边AC的对角∠APC不可能是直角。（4）以点O，点A（或点O，点C）为矩形的两个顶点，第三个顶点落在矩形这边OA（或边OC）的对边上，如图1，此时未知顶点坐标是点D（－1，－2）。　　以点A，点C为矩形的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边AC的对边上，如图2，此时未知顶点坐标是E，F。【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，直角三角形的判定，勾股定理和逆定理，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，射影定理。【分析】（1）根据图象可以知道A，B，C三点的坐标已知，根据待定系数法即可求出函数的解析式，从而求出顶点M的坐标。（2）根据待定系数法可以求出直线MB的解析式，设NQ的长为t，即N点的纵坐标是t，把x=t代入解析式就可以求出横坐标，四边形NQAC的面积S=S△AOC+S梯形OQNC，可以用t分别表示出△AOC和梯形OQNC的面积，因而就得到S与t之间的函数关系式。（3）分∠PAC＝90°，∠PCA＝90°，∠APC＝90°三种情况讨论即可。（4）可以补成的矩形有两种情况，即图1，的情况，易得未知顶点坐标是点D（－1，－2）；以点A、点C为矩形的两个顶点，第三个顶点时，落在矩形这一边AC的对边上，如图2，易证△AEO∽△OFC，∴。75\n又AC=，设OE=a,则OF=－a,AE=。由勾股定理得：()2+a2=1，解得a=。∴OE=。再设点E的坐标为(x,y)，由射影定理得：x=－,y=。∴此时未知顶点坐标是E。同理可求得点F的坐标为。5.（湖北省黄冈市2022年11分）心理学家研究发现，一般情况下，学生的注意力随着老师讲课时间的变化而变化，讲课开始时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的状态，随后学生的注意力开始分散．经过实验分析可知，学生的注意力y随时间t（分钟）的变化规律有如下关系式：（y值越大表示接受能力越强）（1）讲课开始后第5分钟时与讲课开始后第25分钟时比较，何时学生的注意力更集中；（2）讲课开始后多少分钟，学生的注意力最集中能持续多少分钟；（3）一道数学难题，需要讲解24分钟，为了效果较好，要求学生的注意力最低达到180，那么经过适当安排，老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目？【答案】解：（1）当t=5时，y=195，当t=25时，y=205，∴讲课开始后第25分钟时学生的注意力比讲课开始后第5分钟时更集中。（2）当0＜t≤10时，y=﹣t2+24t+100=﹣（t﹣12）2+244，该二次函数的对称轴为t=12，在对称轴左侧，y随x的增大而增大，∴当t=10时，y有最大值240。当10＜t≤20时，y=240。当20＜t≤40时，y=﹣7t+380，y随x的增大而减小，此时y＜240。∴当t=20时，y有最大值240。∴讲课开始后10分钟时，学生的注意力最集中，能持续10分钟。（3）当0＜t≤10，令y=﹣t2+24t+100=180，∴t=4。当20＜t≤40时，令y=﹣7t+380=180，∴t=28.57。75\n∵28.57－4=24.57＞24，∴老师可以经过适当安排（从第4分钟开始），能在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目，【考点】阅读型，二次函数的应用，分类思想的应用。【分析】（1）代入题目中的二次函数即可知道。（2）由题目可得y=﹣t2+24t+100化为顶点式再求解即可。（3）要分情况解答该题，把y=180分别代入这两个二次函数等式解答。6.（湖北省黄冈市2022年16分）在直角坐标系XOY中，O为坐标原点，A，B，C三点的坐标分别为A（5，0），B（0，4），C（﹣1，0）．点M和点N在x轴上（点M在点N的左边），点N在原点的右边，作MP⊥BN，垂足为P（点P在线段BN上，且点P与点B不重合），直线MP与y轴相交于点G，MG=BN．（1）求经过A，B，C三点的抛物线的表达式；（2）求点M的坐标；（3）设ON=t，△MOG的面积为S，求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；（4）过点B作直线BK平行于x轴，在直线BK上是否存在点R，使△ORA为等腰三角形？若存在，请直接写出点R的坐标，若不存在，请说明理由．75\n【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，分类思想和数形结合思想的应用。【分析】（1）已知了A、B、C的坐标，可用待定系数法求出抛物线的解析式。（2）由于M点的位置不确定，因此可分两种情况：①M在x轴负半轴，可通过证△BON≌△MOG，得出OM=OB，据此可求出M点的坐标；②M在x轴正半轴，同①。（3）根据②的全等三角形可得出ON=OG=t，而OM=4，可根据三角形的面积公式得出关于S，t的函数关系式。75\n7.（湖北省黄冈市大纲卷2022年10分）在黄州服装批发市场，某种品牌的时装当季节即将来临时，价格呈上升趋势，设这种时装开始时定价为20元，并且每周（7天）涨价2元，从第6周开始保持30元的价格平稳销售；从第12周开始，当季节即将过去时，平均每周减价2元，直到第16周周末，该服装不再销售。⑴试建立销售价y与周次x之间的函数关系式；⑵若这种时装每件进价Z与周次x之间的关系式为：Z=–0.125（x–8）2+12，1≤x≤16，且x为整数，试问该服装第几周出售时，每件销售利润最大？最大利润是多少？【答案】解：（1）依题意得，可建立的函数关系式为：，即。（2）设备利润为W，则W=售价－进价，故，即75\n8.（湖北省黄冈市大纲卷2022年16分）如图，在直角坐标系中，O是原点，A、B、C三点的坐标分别为A（18，0），B（18，6），C（8，6），四边形OABC是梯形，点P、Q同时从原点出发，分别坐匀速运动，其中点P沿OA向终点A运动，速度为每秒1个单位，点Q沿OC、CB向终点B运动，当这两点有一点到达自己的终点时，另一点也停止运动。⑴求出直线OC的解析式及经过O、A、C三点的抛物线的解析式。⑵试在⑴中的抛物线上找一点D，使得以O、A、D为顶点的三角形与△AOC全等，请直接写出点D的坐标。⑶设从出发起，运动了t秒。如果点Q的速度为每秒2个单位，试写出点Q的坐标，并写出此时t的取值范围。75\n⑷设从出发起，运动了t秒。当P、Q两点运动的路程之和恰好等于梯形OABC的周长的一半，这时，直线PQ能否把梯形的面积也分成相等的两部分，如有可能，请求出t的值；如不可能，请说明理由。【答案】解：（1）设OC的解析式为y=kx，∵C点的坐标为（8，6），∴将坐标代入得：k=。∴直线OC的解析式为。∵A，O是x轴上两点，∴可设抛物线的解析式为。当Q点OC上时，P运动的路程为t，则Q运动的路程为（22－t）。△OPQ中，OP边上的高为：（22－t）×，∵直线PQ把梯形的面积也分成相等的两部分，即，75\n依题意有：，整理得：。∵△=222－4×140＜0，∴这样的t不存在。当Q在CB上时，Q走过的路程为22－t，∴CQ的长为：22－t－10=12－t。∴梯形OCQP的面积=。∴这样的t值不存在。综上所述，不存在这样的t值，使得P，Q两点同时平分梯形的周长和面积。【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，分类思想的应用。【分析】（1）根据待定系数法就可以求出直线OC的解析式及经过O、A、C三点的抛物线的解析式。（2）点D就是抛物线与CB的另一个交点．在抛物线的解析式中令y=6，就可以求出D的坐标。（3）分Q在OC上，和在CB上两种情况进行讨论．即0≤t≤5和5＜t≤10两种情况。（4）P、Q两点运动的路程之和可以用t表示出来，梯形OABC的周长就可以求得．当P、Q两点运动的路程之和恰好等于梯形OABC的周长的一半，就可以得到一个关于t的方程，可以解出t的值。梯形OABC的面积可以求出，梯形OCQP的面积可以用t表示出来。把t代入可以进行检验。9.（湖北省黄冈市课标卷2022年10分）在黄州服装批发市场，某种品牌的时装当季节即将来临时，价格呈上升趋势，设这种时装开始时定价为20元，并且每周（7天）涨价2元，从第6周开始保持30元的价格平稳销售；从第12周开始，当季节即将过去时，平均每周减价2元，直到第16周周末，该服装不再销售。⑴试建立销售价y与周次x之间的函数关系式；⑵若这种时装每件进价Z与周次x之间的关系式为：Z=–0.125（x–8）2+12，1≤x≤16，且x为整数，试问该服装第几周出售时，每件销售利润最大？最大利润是多少？75\n【考点】二次函数的性质和应用，分类思想的应用。【分析】（1）依题意列出函数关系式。（2）由于y与x之间的函数关系式为分段函数，则w与x之间的函数关系式亦为分段函数，分情况解答。10.（湖北省黄冈市课标卷2022年16分）75\n如图，在直角坐标系中，O是原点，A、B、C三点的坐标分别为A（18，0），B（18，6），C（8，6），四边形OABC是梯形，点P、Q同时从原点出发，分别坐匀速运动，其中点P沿OA向终点A运动，速度为每秒1个单位，点Q沿OC、CB向终点B运动，当这两点有一点到达自己的终点时，另一点也停止运动。⑴求出直线OC的解析式及经过O、A、C三点的抛物线的解析式。⑵试在⑴中的抛物线上找一点D，使得以O、A、D为顶点的三角形与△AOC全等，请直接写出点D的坐标。⑶设从出发起，运动了t秒。如果点Q的速度为每秒2个单位，试写出点Q的坐标，并写出此时t的取值范围。⑷设从出发起，运动了t秒。当P、Q两点运动的路程之和恰好等于梯形OABC的周长的一半，这时，直线PQ能否把梯形的面积也分成相等的两部分，如有可能，请求出t的值；如不可能，请说明理由。【答案】解：（1）设OC的解析式为y=kx，∵C点的坐标为（8，6），∴将坐标代入得：k=。∴直线OC的解析式为。∵A，O是x轴上两点，∴可设抛物线的解析式为。将C（8，6）代入得：。∴经过O、A、C三点的抛物线的解析式为，即。（2）D（10，6）。75\n【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，分类思想的应用。【分析】（1）根据待定系数法就可以求出直线OC的解析式及经过O、A、C三点的抛物线的解析式。（2）点D就是抛物线与CB的另一个交点．在抛物线的解析式中令y=6，就可以求出D的坐标。（3）分Q在OC上，和在CB上两种情况进行讨论．即0≤t≤5和5＜t≤10两种情况。（4）P、Q两点运动的路程之和可以用t表示出来，梯形OABC的周长就可以求得．当P、Q两点75\n运动的路程之和恰好等于梯形OABC的周长的一半，就可以得到一个关于t的方程，可以解出t的值。梯形OABC的面积可以求出，梯形OCQP的面积可以用t表示出来。把t代入可以进行检验。11.（湖北省黄冈市大纲卷2022年13分）我市英山县某茶厂种植“春蕊牌”绿茶，由历年来市场销售行情知道，从每年的3月25日起的180天内，绿茶市场销售单价y(元)与上市时间t(天)的关系可以近似地用如图①中的一条折线表示。绿茶的种植除了与气候、种植技术有关外，其种植的成本单价z(元)与上市时间t(天)的关系可以近似地用如图②的抛物线表示。（1）直接写出图①中表示的市场销售电价y(元)与上市时间t(天)(t＞0)的函数关系式；（2）求出图②中表示的种植成本单价z(元)与上市时间t(天)(t＞0)的函数关系式；（3）认定市场销售单价减去种植成本单价为纯收益单价，问何时上市的绿茶纯收益单价最大？(说明：市场销售单价和种植成本单价的单位：元/500克。)【答案】解：（1）依题意，可建立函数关系式：。（2）由题目已知条件可设，∵图象过点（60，），∴。∴a=。75\n∴（t＞0）。【考点】二次函数的应用，曲线上点的坐标与方程的关系，分类思想的应用。【分析】（1）依题意的y与x之间的函数关系式为分段函数。（2）依题意得z与a之间的函数关系式，如图得出该函数经过的坐标得出a的值。（3）设纯收益单价为W元，则W=销售单价－成本单价，根据y与x的函数关系式为分段函数可得w与x也为分段函数。12.（湖北省黄冈市大纲卷2022年14分）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A、B的坐标分别为(4，0)、(4，3)，动点M、N分别从点O、B同时出发，以每秒1个单位的速度运动，其中点M沿OA向终点A运动，点N沿BC向终点C运动，过点N作NP⊥BC，交AC于点P，连结MP，当两动点运动了t秒时。（1）P点的坐标为(，)(用含t的代数式表示)；（2）记△MPA的面积为S，求S与t的函数关系式(0＜t＜4)；（3）当t=秒时，S有最大值，最大值是；75\n（4）若点Q在y轴上，当S有最大值且△QAN为等腰三角形是，求直线AQ的解析式。【答案】解：（1）。（2）。（3）由（2）知：，因此当t=2时，S最大=。（4）由（3）知，当S有最大值时，t=2，此时N在BC的中点处，如图，设Q（0，y），∵△AOQ是直角三角形，∴。∵△QAN为等腰三角形，①若AQ=AN，此时方程无解。②若AQ=QN，解得y=－。③若QN=AN，解得y1=0，y2=6。∴Q1（0，－），Q2（0，0），Q3（0，6）。当Q为（0，－），直线AQ的解析式为；75\n当Q为（0，0）时，A（4，0）、Q（0，0）均在x轴上，直线AQ的解析式为y=0（或直线为x轴）；当Q为（0，6）时，Q、N、A在同一直线上，△ANQ不存在，舍去。故直线AQ的解析式为或y=0。【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，勾股定理，等腰三角形的判定。【分析】（1）可在直角三角形CPN中，根据CP的长和∠BPA的三角函数值求出CN、PN的长，即可表示出P点的坐标。（2）三角形MPA中，MA的长易得出，MA上的高就是P点的纵坐标，由此可得出S，t的函数关系式。（3）根据（2）的函数关系可得出S的最大值，及对应的t的值。（4）本题要分三种情况进行讨论：①QN=NA；②AQ=AN；③QN=AQ；可设Q点的坐标，然后表示出NQ、NA、QA的长，根据上述三种情况中不同的等量关系可求出不同的Q点坐标，然后用待定系数法即可求出直线AQ的解析式。13.（湖北省黄冈市课标卷2022年13分）我市英山县某茶厂种植“春蕊牌”绿茶，由历年来市场销售行情知道，从每年的3月25日起的180天内，绿茶市场销售单价y(元)与上市时间t(天)的关系可以近似地用如图①中的一条折线表示。绿茶的种植除了与气候、种植技术有关外，其种植的成本单价z(元)与上市时间t(天)的关系可以近似地用如图②的抛物线表示。（1）直接写出图①中表示的市场销售电价y(元)与上市时间t(天)(t＞0)的函数关系式；（2）求出图②中表示的种植成本单价z(元)与上市时间t(天)(t＞0)的函数关系式；（3）认定市场销售单价减去种植成本单价为纯收益单价，问何时上市的绿茶纯收益单价最大？(说明：市场销售单价和种植成本单价的单位：元/500克。)75\n【考点】二次函数的应用，曲线上点的坐标与方程的关系，分类思想的应用。【分析】（1）依题意的y与x之间的函数关系式为分段函数。75\n（2）依题意得z与a之间的函数关系式，如图得出该函数经过的坐标得出a的值。（3）设纯收益单价为W元，则W=销售单价－成本单价，根据y与x的函数关系式为分段函数可得w与x也为分段函数。14.（湖北省黄冈市课标卷2022年14分）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A、B的坐标分别为(4，0)、(4，3)，动点M、N分别从点O、B同时出发，以每秒1个单位的速度运动，其中点M沿OA向终点A运动，点N沿BC向终点C运动，过点N作NP⊥BC，交AC于点P，连结MP，当两动点运动了t秒时。（1）P点的坐标为(，)(用含t的代数式表示)；（2）记△MPA的面积为S，求S与t的函数关系式(0＜t＜4)；（3）当t=秒时，S有最大值，最大值是；（4）若点Q在y轴上，当S有最大值且△QAN为等腰三角形是，求直线AQ的解析式。75\n【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，勾股定理，等腰三角形的判定。【分析】（1）可在直角三角形CPN中，根据CP的长和∠BPA的三角函数值求出CN、PN的长，即可表示出P点的坐标。（2）三角形MPA中，MA的长易得出，MA上的高就是P点的纵坐标，由此可得出S，t的函数关系式。（3）根据（2）的函数关系可得出S的最大值，及对应的t的值。（4）本题要分三种情况进行讨论：①QN=NA；②AQ=AN；③QN=AQ；可设Q点的坐标，然后表示出NQ、NA、QA的长，根据上述三种情况中不同的等量关系可求出不同的Q点坐标，然后用待定系数法即可求出直线AQ的解析式。15.（湖北省黄冈市2022年11分）75\n我市高新技术开发区的某公司，用480万元购得某种产品的生产技术后，并进一步投入资金1520万元购买生产设备，进行该产品的生产加工，已知生产这种产品每件还需成本费40元.经过市场调研发现：该产品的销售单价，需定在100元到300元之间较为合理.当销售单价定为100元时，年销售量为20万件；当销售单价超过100元，但不超过200元时，每件新产品的销售价格每增加10元，年销售量将减少0.8万件；当销售单价超过200元，但不超过300元时，每件产品的销售价格每增加10元，年销售量将减少1万件.设销售单价为x（元），年销售量为y（万件），年获利为w（万元）.（年获利=年销售额—生产成本—投资成本）（1）直接写出y与x之间的函数关系式；（2）求第一年的年获利w与x间的函数关系式，并说明投资的第一年，该公司是盈利还是亏损？若盈利，最大利润是多少？若亏损，最少亏损是多少？（3）若该公司希望到第二年底，除去第一年的最大盈利（或最小亏损）后，两年的总盈利不低于1842元，请你确定此时销售单价的范围.在此情况下，要使产品销售量最大，销售单价应定为多少元？（3）两年的总盈利不低于1842万元，可见第二年至少要盈利1842+78=1920万元，既然两年一块算，第二年我们就不用算投资成本那2000万元了。第二年：当100≤x≤200时，第二年盈利75\n【考点】二次函数的应用，分类思想的应用。【分析】（1）根据题意，列出分段函数：当100≤x＜200时，；当200≤x≤300时，。（2）根据条件，求出二次函数解析式，从中找出最值以及相应的自变量范围。（3）分情况进行讨论，找出最值以及相应的自变量取值范围。16.（湖北省黄冈市2022年15分）已知：如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCO是菱形，且∠AOC=60°，点B的坐标是，点P从点C开始以每秒1个单位长度的速度在线段CB上向点B移动，同时，点Q从点O开始以每秒a（1≤a≤3）个单位长度的速度沿射线OA方向移动，设秒后，直线PQ交OB于点D.（1）求∠AOB的度数及线段OA的长；（2）求经过A，B，C三点的抛物线的解析式；（3）当时，求t的值及此时直线PQ的解析式；（4）当a为何值时，以O，P，Q，D为顶点的三角形与相似？当a为何值时，以O，P，Q，D为顶点的三角形与不相似？请给出你的结论，并加以证明.75\n（3）当a=3时，CP=t，OQ=3t，OD=，∴PB=8－t，BD=。由△OQD∽△BPD得，即。∴t=。当t=时，OQ=。同理可求Q（）。设直线PQ的解析式为y=kx＋b，则，解得。∴直线PQ的解析式为y=。（4）当a=1时，△ODQ∽△OBA；当1＜a＜3时，以O、Q、D为顶点的三角形与△OAB不能相似；当a=3时，△ODQ∽△OAB。理由如下：75\n【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，菱形的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，相似三角形的判定和性质。【分析】（1）已知了∠AOC的度数，根据菱形的性质即可得出∠AOB=30°，连接AC交BO于M，在直角三角形OAM中，OM=OB，可根据OM的长和∠AOM的度数即可求出OA的长。（2）同（1）在直角三角形OAM中可求出AM和OM的长，即可得出A点的坐标．根据菱形的对称性，可知A、C关于y轴对称，由此可得出C点的坐标，可用待定系数法求出抛物线的解析式。（3）当a=3时，OQ=3t，BP=t，已知了OD的长，可求出BD的长，然后根据相似三角形BPD和OQD得出的关于BM，OM，BP，OQ的比例关系式，可求出t的值．即可按（2）的方法求出Q的坐标，用待定系数法可得出直线DQ的解析式。（4）本题要分情况讨论：①当△ODQ∽△OBA时，PQ∥AB，四边形AQPB是平行四边形，因此BP=AQ，可据此求出a的值；75\n②当△ODQ∽△OAB时，∠ODQ=∠OAB．分两种情况：一：当P、B不重合时；二：当P、B重合时。方法一样，和（3）类似，先根据相似三角形BPD和OQD求出OD的值，然后根据相似三角形OQD和OBA求出a的值．然后进行判断即可。17.（湖北省黄冈市2022年8分）四川汶川大地震发生后，我市某工厂A车间接到生产一批帐篷的紧急任务，要求必须在12天（含12天）内完成．已知每顶帐篷的成本价为800元，该车间平时每天能生产帐篷20顶．为了加快进度，车间采取工人分批日夜加班，机器满负荷运转的生产方式，生产效率得到了提高．这样，第一天生产了22顶，以后每天生产的帐篷都比前一天多2顶．由于机器损耗等原因，当每天生产的帐篷数达到30顶后，每增加1顶帐篷，当天生产的所有帐篷，平均每顶的成本就增加20元．设生产这批帐篷的时间为天，每天生产的帐篷为顶．（1）直接写出与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围．（2）若这批帐篷的订购价格为每顶1200元，该车间决定把获得最高利润的那一天的全部利润捐献给灾区．设该车间每天的利润为W元，试求出W与之间的函数关系式，并求出该车间捐款给灾区多少钱？【考点】一次函数、二次函数的综合应用，分类思想的应用。【分析】（1）根据“第一天生产了22顶，以后每天生产的帐篷都比前一天多2顶”列出函数关系式。75\n（2）分1≤x≤5和5＜x≤12两种情况讨论，应用的基本等量关系是：利润=（每顶帐篷订购价－每顶帐篷成本价－增加的其他费用）×生产量。18.（湖北省黄冈市2022年14分）已知：如图，在直角梯形COAB中，，以O为原点建立平面直角坐标系，A，B，C三点的坐标分别为，点D为线段BC的中点，动点P从点O出发，以每秒1个单位的速度，沿折线OABD的路线移动，移动的时间为秒．（1）求直线BC的解析式；（2）若动点P在线段OA上移动，当为何值时，四边形OPDC的面积是梯形COAB面积的？（3）动点P从点O出发，沿折线OABD的路线移动过程中，设的面积为S，请直接写出S与的函数关系式，并指出自变量的取值范围；（4）当动点P在线段AB上移动时，能否在线段OA上找到一点Q，使四边CQPD形为矩形？请求出此时动点P的坐标；若不能，请说明理由．【答案】解：（1）设BC所在直线的解析式为y=kx+b，∵直线BC过B（8，10），C（0，4）两点，75\n∵四边形OPDC的面积是梯形COAB面积的，即，解得。∴当时，四边形OPDC的面积是梯形COAB面积的。∴Rt△PAQ∽Rt△BDP。设BP=x，则PA=10－x，∴，化简得，x=5，即PB=5。∴PB=BD，这与△PBD是直角三角形不相符。∴四边形CQPD不可能是矩形。【考点】一次函数综合题，75\n待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系，梯形的中位线定理，勾股定理，相似三角形的判定和性质，矩形的判定，反证法的应用，分类思想的应用。【分析】（1）根据点B，C的坐标，用待定系数法来求出直线BC的解析式。（2）计算出梯形面积COAB，表示出四边形OPDC的面积，根据“四边形OPDC的面积是梯形COAB面积的”列式求解即可。（4）先假设存在这样的点P，那么四边形CQPD是矩形，可得出CD=QP=BD=5，∠QPD=∠PDC=90°，要求此时t的值，首先就要求出AP的长，根据∠QPD=∠BDP=∠QAP=90°，不难得出三角形AQP与三角形DPB相似，那么可得出关于BD，BP，AP，QP的比例关系，而BD，QP的长已求出，AP+PB=AB=10，因此可求出此时AP，PB的长，然后判定一下此时四边形QPDC是矩形的结论是否成立，如果成立可根据AP的长求出t的长。19.（湖北省黄冈市2022年11分）新星电子科技公司积极应对2022年世界金融危机，及时调整投资方向，瞄准光伏产业，建成了太阳能光伏电池生产线．由于新产品开发初期成本高，且市场占有率不高等因素的75\n影响，产品投产上市一年来，公司经历了由初期的亏损到后来逐步盈利的过程（公司对经营的盈亏情况每月最后一天结算1次）．公司累积获得的利润y（万元）与销售时间第x（月）之间的函数关系式（即前x个月的利润总和y与x之间的关系）对应的点都在如图所示的图象上．该图象从左至右，依次是线段OA、曲线AB和曲线BC，其中曲线AB为抛物线的一部分，点A为该抛物线的顶点，曲线BC为另一抛物线的一部分，且点A，B，C的横坐标分别为4，10，12（1）求该公司累积获得的利润y（万元）与时间第x（月）之间的函数关系式；（2）直接写出第x个月所获得S（万元）与时间x（月）之间的函数关系式（不需要写出计算过程）；（3）前12个月中，第几个月该公司所获得的利润最多？最多利润是多少万元？75\n【考点】二次函数的应用，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，分类思想的应用。【分析】（1）根据各段图象所过的特殊点易求其解析式，注意自变量的取值范围，综合起来得结论。（2）当x≥2时，第x个月的利润应该是前x个月的利润之和减去前x－1个月的利润之和：75\n，即。（3）根据函数性质分别求出各段中S的最大值比较后得结论。20.（湖北省黄冈市2022年14分）如图,在平面直角坐标系xoy中,抛物线与x轴的交点为点B,过点B作x轴的平行线BC,交抛物线于点C,连结AC．现有两动点P,Q分别从O,C两点同时出发,点P以每秒4个单位的速度沿OA向终点A移动,点Q以每秒1个单位的速度沿CB向点B移动,点P停止运动时,点Q也同时停止运动,线段OC,PQ相交于点D,过点D作DE∥OA,交CA于点E,射线QE交x轴于点F．设动点P,Q移动的时间为t(单位:秒)(1)求A,B,C三点的坐标和抛物线的顶点的坐标;(2)当t为何值时,四边形PQCA为平行四边形?请写出计算过程;(3)当0＜t＜时,△PQF的面积是否总为定值?若是,求出此定值,若不是,请说明理由;(4)当t为何值时,△PQF为等腰三角形?请写出解答过程．75\n（3）设点P运动t秒，则OP=4t，CQ=t，0＜t＜，说明P在线段OA上，且不与点O、A重合。由于QC∥OP知△QDC∽△PDO，故。∵AF=4t=OP，∴PF=PA+AF=PA+OP=18。又∵点Q到直线PF的距离d=10，∴。∴△PQF的面积总为90。（4）设点P运动了t秒，则P（4t，0），F（18+4t，0），Q（8－t，－10）（0≤t≤）。∴，75\n【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定，分类思想的应用。【分析】（1）已知抛物线的解析式，当x=0时，可求得B的坐标；由于BC∥OA，把B的纵坐标代入抛物线的解析式，可求出C的坐标；当y=0时，可求出A的坐标．求顶点坐标时用公式法或配方法都可以。（2）当四边形ACQP是平行四边形时，AP、CQ需满足平行且相等的条件．已知BC∥OA，只需求t为何值时，AP=CQ，可先用t表示AP，CQ，再列出方程即可求出t的值。（3）当0＜t＜时，根据OA=18，P点的速度为4单位/秒，可得出P点总在OA上运动．△PQF中，Q到PF的距离是定值即OB的长，因此只需看PF的值是否有变化即可得出S△PQF是否为定值，已知QC∥PF，根据平行线分线段成比例定理可得出：，因此可得出OP=AF，那么PF=PA+AF=PA+OP=OA，由于OA的长为定值即PF的长为定值，因此△PQF的面积是不会变化的．其面积的值可用OA•OB求出。（4）可先用t表示出P，F，Q的坐标，然后根据勾股定理得出PF2，PQ2，FQ2，分三种情况进行讨论：FP=FQ，QP=QF，PQ=PF。综合三种情况即可得出符合条件的t的值。21.（湖北省黄冈市2022年11分）某同学从家里出发，骑自行车上学时，速度v（米/秒）与时间t（秒）的关系如图a，A（10，5），B（130，5），C（135，0）.　　（1）求该同学骑自行车上学途中的速度v与时间t的函数关系式；75\n（2）计算该同学从家到学校的路程（提示：在OA和BC段的运动过程中的平均速度分别等于它们中点时刻的速度，路程＝平均速度×时间）；（3）如图b，直线x＝t（0≤t≤135），与图a的图象相交于P、Q，用字母S表示图中阴影部分面积，试求S与t的函数关系式；（4）由（2）（3），直接猜出在t时刻，该同学离开家所走过的路程与此时S的数量关系.【答案】解：（1）v与时间t的函数关系式：。（2）OA段平均速度为2.5m/s，BC段的为2.5m/s，∴该同学从家到学校的路程为l=2.5×10＋5×（130－10）＋2.5×5=637.5（m）。（3）①0≤t＜10，；②10≤t＜130，；③130≤t≤135，。∴S与t的函数关系式为：。（4）相等的关系。【考点】一次函数的应用，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系，分类思想的应用。【分析】75\n（1）此函数图象分段，因此这个函数为分段函数，应用待定系数法分别求出各个段的函数表达式联立即可。（2）根据图象，分别得出各段路程相加即为从家到学校的路程。（3）x=t函数不定，t从0变化到135，分段求阴影面积。（4）设该同学离开家所走过的路程为l．由于路程=速度×时间，则①0≤t＜10，；②10≤t＜130，l为前10分钟匀加速所走的路程加上后（t－10）分钟匀速所走的路程，即；③130≤t＜135，l为前10分钟匀加速所走的路程加上接着的120分钟匀速所走的路程再加上后（t＋130）分钟匀减速所走的路程，即。∴该同学离开家所走过的路程与所围的阴影面积相等。22.（湖北省黄冈市2022年15分）已知抛物线顶点为C（1，1）且过原点O.过抛物线上一点P（x，y）向直线作垂线，垂足为M，连FM（如图）.（1）求字母a，b，c的值；（2）在直线x＝1上有一点，求以PM为底边的等腰三角形PFM的P点的坐标，并证明此时△PFM为正三角形；（3）对抛物线上任意一点P，是否总存在一点N（1，t），使PM＝PN恒成立，若存在请求出t值，若不存在请说明理由.75\n②当时，即，∴m=或m=。Ⅰ、当m=时，P点的坐标为（），M点的坐标为（）；Ⅱ、当m=时，P点的坐标为（），M点的坐标为（）。经过计算可知PF=PM，∴△MPF为正三角形。75\n∴P点坐标为：（）或（）。，解得t=。∴t=时，PM=PN恒成立。∴存在这样的点。【考点】二次函数综合题，二次函数的性质，曲线上点的坐标与方程的关系，勾股定理，等边三角形的判定。【分析】（1）由抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）顶点为C（1，1）且过原点O，可得a，b，c的值。（2）过P作直线x=1的垂线，可求P纵坐标，知道M、P、F三点坐标，就能求出三角形各边的长。（3）存在，Rt△PNH中，利用勾股定理建立起y与t的关系式，推出t的值，即可得知存在这样的点。23.（湖北省黄冈市2022年12分）我市某镇的一种特产由于运输原因，长期只能在当地销售．当地政府对该特产的销售投资收益为：每投入万元，可获得利润P=75\n（万元）．当地政府拟在“十二•五”规划中加快开发该特产的销售，其规划方案为：在规划前后对该项目每年最多可投人100万元的销售投资，在实施规划5年的前两年中，每年都从100万元中拨出50万元用于修建一条公路，两年修成，通车前该特产只能在当地销售；公路通车后的3年中，该特产既在本地销售，也在外地销售．在外地销售的投资收益为：每投入万元，可获利润Q=（万元）．（1）若不进行开发，求5年所获利润的最大值是多少？（2）若按规划实施，求5年所获利润（扣除修路后）的最大值是多少？（3）根据（1）、（2），该方案是否具有实施价值？【考点】二次函数的应用（销售问题）。【分析】（1）由可获得利润P=（万元），即可知当=60时，P最大，最大值为41，继而求得5年所获利润的最大值；（2）首先求得前两年的获利最大值，注意前两年：0≤≤50，此时因为P随的增大而增大，所以=50时，P值最大；然后后三年：设每年获利y，设每年获利，设当地投资额为，则外地投资额为100－，即可得函数=P+Q=[]+[75\n]，整理求解即可求得最大值，则可求得按规划实施，5年所获利润（扣除修路后）的最大值。（3）比较可知，该方案是具有极大的实施价值。24.（湖北省黄冈市2022年14分）如图所示，过点F（0，1）的直线y=kx+b与抛物线y=x2交于M（x1，y1）和N（x2，y2）两点（其中x1＜0，x2＞0）．（1）求b的值．（2）求x1•x2的值．（3）分别过M，N作直线l：y=﹣1的垂线，垂足分别是M1和N1．判断△M1FN1的形状，并证明你的结论．（4）对于过点F的任意直线MN，是否存在一条定直线m，使m与以MN为直径的圆相切．如果有，请求出这条直线m的解析式；如果没有，请说明理由．【答案】解：（1）∵直线y=kx+b过点F（0，1），∴b=1。（2）∵直线y=kx+b与抛物线y=x2交于M（x1，y1）和N（x2，y2）两点，∴可以得出：kx+b=x2，整理得：x2﹣4kx﹣4=0。∴x1•x2=﹣4。（3）△M1FN1是直角三角形（F点是直角顶点）。理由如下：设直线l与y轴的交点是F1，则∵FM12=FF12+M1F12=x12+4，FN12=FF12+F1N12=x22+4，M1N12=（x1﹣x2）2=x12+x22﹣2x1x2=x12+x22+8，∴FM12+FN12=M1N12。∴△M1FN1是以F点为直角顶点的直角三角形。75\n【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，一元二次方程根与系数的关系，勾股定理和逆定理，梯形的中位线性质，直线与圆的位置关系。【分析】（1）把点F的坐标代入直线可以确定b的值。（2）联立直线与抛物线方程，代入（1）中求出的b值，利用根与系数的关系可以求出x1•x2的值。（3）确定M1，N1的坐标，利用勾股定理，分别求出M1F2，N1F2，M1N12，然后用勾股定理逆定理判断三角形的形状。（4）根据题意由梯形的中位线性质，可知y=﹣1总与该圆相切。25.（湖北省黄冈市2022年12分）某科技开发公司研制出一种新型产品，每件产品的成本为2400元，销售单价定为3000元．在该产品的试销期间，为了促销，鼓励商家购买该新型产品，公司决定商家一次购买这种新型产品不超过10件时，每件按3000元销售；若一次购买该种产品超过10件时，每多购买一件，所购买的全部产品的销售单价均降低10元，但销售单价均不低于2600元．(1)商家一次购买这种产品多少件时，销售单价恰好为2600元?(2)设商家一次购买这种产品x件，开发公司所获的利润为y元，求y(元)与x(件)之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．75\n(3)该公司的销售人员发现：当商家一次购买产品的件数超过某一数量时，会出现随着一次购买的数量的增多，公司所获的利润反而减少这一情况.为使商家一次购买的数量越多，公司所获的利润越大，公司应将最低销售单价调整为多少元?(其它销售条件不变)【考点】二次函数的应用。【分析】（1）设件数为x，则销售单价为3000-10（x-10）元，根据销售单价恰好为2600元，列方程求解。（2）由利润y=销售单价×件数，及销售单价均不低于2600元，按0≤x≤10，10＜x≤50，x＞50三种情况列出函数关系式。（3）由（2）的函数关系式，利用二次函数的性质求利润的最大值，并求出最大值时x的值，确定销售单价。26.（湖北省黄冈市2022年14分）如图，已知抛物线的方程C1:与x轴相交于点B、C，与y轴相交于点E，且点B在点C的左侧.(1)若抛物线C1过点M(2，2)，求实数m的值．(2)在(1)的条件下，求△BCE的面积．(3)在(1)的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使BH+EH最小，并求出点H的坐标．(4)在第四象限内，抛物线C1上是否存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似?若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．75\n【答案】解：（1）∵抛物线C1过点M(2，2)，∴，解得m=4。（2）由（1）得。令x=0，得。∴E（0，2），OE=2。令y=0，得，解得x1=－2，x=4。∴B（－2，，0），C（4，0），BC=6。∴△BCE的面积=。（3）由（2）可得的对称轴为x=1。连接CE，交对称轴于点H，由轴对称的性质和两点之间线段最短的性质，知此时BH+EH最小。设直线CE的解析式为，则75\n，解得。∴直线CE的解析式为。当x=1时，。∴H（1，）。（4）存在。分两种情形讨论：①当△BEC∽△BCF时，如图所示。则，∴BC2=BE•BF。由（2）知B（－2，0），E（0，2），即OB=OE，∴∠EBC=45°，∴∠CBF=45°。作FT⊥x轴于点F，则BT=TF。∴令F（x，－x－2）（x＞0），又点F在抛物线上，∴－x－2=，∵x+2＞0（∵x＞0），∴x=2m，F（2m，－2m－2）。此时，又BC2=BE•BF，∴（m+2）2=•，解得m=2±。∵m＞0，∴m=+2。75\n②当△BEC∽△FCB时，如图所示。则，∴BC2=EC•BF。同①，∵∠EBC=∠CFB，△BTF∽△COE，∴。∴令F（x，－（x+2））（x＞0），又点F在抛物线上，∴－（x+2）=。∵x+2＞0（∵x＞0），∴x=m+2。∴F（m+2，－（m+4）），，BC=m+2。又BC2=EC•BF，∴（m+2）2=.整理得：0=16，显然不成立。综合①②得，在第四象限内，抛物线上存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似，m=+2。【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，轴对称的性质，两点之间线段最短的性质，相似三角形的判定和性质。【分析】（1）将点（2，2）的坐标代入抛物线解析式，即可求得m的值。（2）求出B、C、E点的坐标，从而求得△BCE的面积。（3）根据轴对称以及两点之间线段最短的性质，可知点B、C关于对称轴x=1对称，连接EC与对称轴的交点即为所求的H点。（4）分两种情况进行讨论：①当△BEC∽△BCF时，如图所示，此时可求得+2。75\n②当△BEC∽△FCB时，如图所示，此时得到矛盾的等式，故此种情形不存在。27.（2022年湖北黄冈12分）某公司生产的一种健身产品在市场上受到普遍欢迎，每年可在国内、国外市场上全部售完，该公司的年产量为6千件，若在国内市场销售，平均每件产品的利润（元）与国内销售数量（千件）的关系为：若在国外销售，平均每件产品的利润（元）与国外的销售数量t（千件）的关系为：（1）用的代数式表示t为：t=▲；当0＜≤4时，与的函数关系式为：=▲；当4≤＜▲时，=100；（2）求每年该公司销售这种健身产品的总利润W（千元）与国内的销售数量ｘ（千件）的函数关系式，并指出ｘ的取值范围；（3）该公司每年国内、国外的销量各为多少时，可使公司每年的总利润最大？最大值为多少？75\n【考点】二次函数的应用，由实际问题列函数关系式，二次函数的性质，分类思想的应用。【分析】（1）由该公司的年产量为6千件，每年可在国内、国外市场上全部售完，可得国内销售量+国外销售量=6千件，即x+t=6，变形即为t=6－x；根据平均每件产品的利润y2（元）与国外的销售数量t（千件）的关系以及t=6－x即可求出y2与x的函数关系：当0＜x≤4时，y2=5x+80；当y2=100时，，即，解得。（2）根据总利润=国内销售的利润+国外销售的利润，结合函数解析式，分三种情况讨论：①0＜x≤2；②2＜x≤4；③4＜x＜6。（3）先利用配方法将各解析式写成顶点式，再根据二次函数的性质，求出三种情况下的最大值，再比较即可。28.（2022年湖北黄冈15分）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCO是梯形，其中A（6，0），B（3，），C（1，），动点P从点O以每秒2个单位的速度向点A运动，动点Q也同时从点B沿B→C→O的线路以每秒1个单位的速度向点O运动，当点P到达A点时，点Q也随之停止，设点P、Q运动的时间为t（秒）.（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；（2）当点Q在CO边上运动时，求△OPQ的面积S与时间t的函数关系式；75\n（3）以O、P、Q为顶点的三角形能构成直角三角形吗？若能，请求出t的值，若不能，请说明理由；（4）经过A、B、C三点的抛物线的对称轴、直线OB和PQ能够交于一点吗？若能，请求出此时t的值（或范围），若不能，请说明理由.【答案】解：（1）设经过A、B、C三点的抛物线的解析式为：，把A（6，0），B（3，），C（1，）代入得：，解得：。∴经过A、B、C三点的抛物线的解析式为：。又∵动点P的速度是每秒2个单位，∴OP=2t。∴。75\n∴所求△OPQ的面积S与时间t的函数关系式为：（2≤t≤3）。（4）由（1）可得，其对称轴为。又直线OB的解析式为，∴抛物线对称轴与OB的交点为M（0，）。75\n【考点】二次函数综合题，双动点问题，待定系数法的应用，曲线上点的坐标与方程的关系，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，直角三角形的性质，勾股定理，解一元二次方程，分式的化简，分类思想的应用。【分析】（1）应用待定系数法求解即可。（2）过点C作CD⊥x轴的于点D，过点Q作QH⊥x轴的于点H，由△OQH∽△OCD得比例式，从而用t表示出△OPQ的边OP上的高，进而根据三角形面积公式即可求得所求△OPQ的面积S与时间t的函数关系式。75\n75