【2022版中考12年】浙江省杭州市2022-2022年中考数学试题分类解析专题10四边形一、选择题1.（2022年浙江杭州3分）如图，E，F，G，H分别是正方形ABCD各边的中点，要使中间阴影部分小正方形的面积是5，那么大正方形的边长应该是【】（A）（B）（C）5（D）【答案】C。【考点】正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质。【分析】如图，设正方形的边长为2x，则AB=2x，BF=x，由勾股定理得，AF=。由同角的余角相等，易得△BFW∽△AFB，∴BF：AF=BW：AB=WF：BF，得，WF=，BW=。同理，AS=。∴SW=AF－AS－WF=。∵阴影部分小正方形的面积是5，∴，得正解为。∴AB=5。故选C。2.（2022年浙江杭州3分）在平行四边形ABCD中，∠B=1100，延长AD至F，延长CD至E，连接EF，则∠E+∠F=【】16\n（A）1100（B）300（C）500（D）700【答案】D。【考点】平行四边形的性质，平行的性质，三角形外角性质。【分析】∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CD，AD∥CB。∴∠B＋∠C=180°。∵∠B=110°，∴∠C=70°。∴∠FDC=70°。∴∠E+∠F＝70°。故选D。3.（2022年浙江杭州3分）下图背景中的点均为大小相同的小正方形的顶点，其中画有两个四边形，下列叙述中正确的是【】A.这两个四边形面积和周长都不相同B.这两个四边形面积和周长都相同C.这两个四边形有相同的面积，但Ⅰ的周长大于Ⅱ的周长D.这两个四边形有相同的面积，但Ⅰ的周长小于Ⅱ的周长【答案】D。【考点】网格问题，正方形的性质，勾股定理，实数的大小比较。【分析】设小正方形的边长为1，则两四边形的面积都等于。Ⅰ的周长等于，Ⅱ的周长等于。∵，∴。∴Ⅰ的周长小于Ⅱ的周长。故选D。4.（2022年浙江杭州3分）如图，在菱形ABCD中，∠A=110°，E，F分别是边AB和BC的中点，EP⊥CD于点P，则∠FPC=【】16\nA.35°B.45°C.50°D.55°【答案】D。【考点】菱形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，线段垂直平分线的性质。【分析】∵ABCD是菱形，∠A=110°，∴AB=BC，∠B=70°，AB∥CD。又∵E、F分别为AB、BC中点，∴BE=BF。∴∠BEF=(180°－70°)=55°。∵EP⊥CD，∴EP⊥AB。∴∠PEB=90°。∴∠PEF=35°。过F作AB∥FG交EP于点G，则FG垂直平分PE，∴EF=PF。∴∠EPF=35°。∴∠FPC=55°。故选D。5.（2022年浙江杭州3分）在矩形ABCD中，有一个菱形BFDE（点E，F分别在线段AB，CD上），记它们的面积分别为SABCD和SBFDE，现给出下列命题：①若，则；②若,则DF=2AD则【】A.①是真命题，②是真命题B.①是真命题，②是假命题C.①是假命题，②是真命题D.①是假命题，②是假命题16\n【答案】A。【考点】命题，解直角三角形，菱形的性质，矩形的性质。6.（2022年浙江杭州3分）已知平行四边形ABCD中，∠B=4∠A，则∠C=【】 A．18° B．36° C．72° D．144°【答案】B。【考点】平行四边形的性质，平行线的性质。【分析】由平行四边形性质求出∠C=∠A，BC∥AD，推出∠A+∠B=180°，求出∠A的度数，即可求出∠C：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠C=∠A，BC∥AD。∴∠A+∠B=180°。∵∠B=4∠A，∴∠A=36°。∴∠C=∠A=36°。故选B。7.（2022年浙江杭州3分）在ABCD中，下列结论一定正确的是【】 A．AC⊥BDB．∠A+∠B=180°C．AB=ADD．∠A≠∠C16\n【答案】B。 【考点】平行四边形的性质。【分析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC。∴∠A+∠B=180°。故选B。 二、填空题1.（2022年浙江杭州4分）给出一个正方形，请你动手画一画，将它剖分为个小正方形。那么，通过实验与思考，你认为这样的自然数可以取的所有值应该是▲2.（2022年浙江杭州大纲卷4分）如图，已知正方形ABCD的边长为2，△BPC是等边三角形，则△CDP的面积是 ▲ ；△BPD的面积是 ▲ 。【答案】1，－1。16\n【考点】等边三角形和正方形的性质，直角三角形两锐角的关系，含30度角直角三角形的性质。3.（2022年浙江杭州课标卷4分）如图，已知正方形ABCD的边长为2，△BPC是等边三角形，则△CDP的面积是 ▲ ；△BPD的面积是 ▲ 。【答案】1，－1。16\n【考点】等边三角形和正方形的性质，直角三角形两锐角的关系，含30度角直角三角形的性质。【分析】过点P作PH⊥CD于H。∵△BPC是等边三角形，∴∠BCP=600，且PC=BC=2。∵ABCD为正方形，∴∠BCD=900。∴∠PCH=300。在Rt△PCH中，PH=PC=1。∴S△CDP=×CD×PH=1。过点P作PQ⊥BC于Q。∵△BPC是等边三角形，∴PQ也是BC边上中线，CQ=BC=1。在Rt△PCQ中，PC=2，CQ=1，∴PQ=。∴S△BPC=×BC×PQ=，S△BCD=×BC×CD=2。∴S△BPD=S△BPC＋S△CDP－S△BCD=＋1－2=－1。4.（2022年浙江杭州4分）如果用4个相同的长为3宽为1的长方形，拼成一个大的长方形，那么这个大的长方形的周长可以是▲。【答案】14或16或26。【考点】矩形的性质，分类思想的应用。16\n第三种是（3+4）×2=14。5.（2022年浙江杭州4分）已知一个底面为菱形的直棱柱，高为10cm，体积为150cm3，则这个棱柱的下底面积为▲cm2；若该棱柱侧面展开图的面积为200cm2，记底面菱形的顶点依次为A，B，C，D，AE是BC边上的高，则CE的长为▲cm．【答案】15，1。【考点】菱形的性质，几何体的展开图，勾股定理。【分析】由底面为菱形的直棱柱，高为10cm，体积为150cm3，由体积=底面积×高，即可求得这个棱柱的下底面积，又由该棱柱侧面展开图的面积为200cm2，即可求得底面菱形的周长与BC边上的高AE的长，由勾股定理求得BE的长，从而求得CE的长：∵底面为菱形的直棱柱，高为10cm，体积为150cm3，∴这个棱柱的下底面积为：150÷10=15（cm2）。∵该棱柱侧面展开图的面积为200cm2，高为10cm，∴底面菱形的周长为：200÷10=20（cm）。∴AB=BC=CD=AD=20÷4=5（cm），∴AE=S菱形ABCD÷BC=15÷5=3（cm）。∴BE==4（cm）。∴EC=BC﹣BE=5﹣4=1（cm）。三、解答题1.（2022年浙江杭州8分）已知等腰梯形ABCD，E为梯形内一点，且EA=ED．求证：EB=EC．16\n2.（2022年浙江杭州8分）如图，EF为梯形ABCD的中位线，AH平分∠DAB交EF于M，延长DM交AB于N。求证：三角形AND是等腰三角形。【答案】证明：∵EF为梯形ABCD的中位线，∴EF∥AB。∴∠EMA=∠NAM。∵AH平分∠DAB，∴∠EAM=∠NAM。∴∠EAM=∠EMA=∠NAM。∴EA=EM。∴AD=2AE。又∵EM∥AB，E为AD的中点，∴M为DN的中点。∴EM为△DAN的中位线。∴AN=2EM=2AE。∴AD=AN。∴△ADN是等腰三角形。【考点】梯形和三角形中位线定理，平行的性质，角平分线定义，等腰三角形的判定。【分析】因为EF是梯形中位线，所以也是△AND的中位线，又AH是角平分线，可以得到边AD、AN都是EM的2倍，就可以得到三角形是等腰三角形。3.（2022年浙江杭州6分）我们学习了四边形和一些特殊的四边形，右图表示了在某种条件下它们之间的关系。16\n如果①，②两个条件分别是：①两组对边分别平行；②有且只有一组对边平行。那么请你对标上的其他6个数字序号写出相对应的条件。【答案】解：③--相邻两边垂直；④--相邻两边相等；⑤--相邻两边相等；⑥--相邻两边垂直；⑦--两腰相等；⑧--一条腰垂直于底边。【考点】矩形、菱形、正方形、等腰梯形和直角梯形的判定。【分析】根据图中图形各四边形的不同的定义和判定进行解答即可。4.（2022年浙江杭州10分）如图，在等腰梯形ABCD中，∠C=60°，AD∥BC，且AD=DC，E、F分别在AD、DC的延长线上，且DE=CF，AF、BE交于点P。（1）求证：AF=BE；（2）请你猜测∠BPF的度数，并证明你的结论。16\n5.（2022年浙江杭州10分）在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=2BC=2CD，对角线AC与BD相交于点O，线段OA，OB的中点分别为E，F。（1）求证：△FOE≌△DOC；（2）求sin∠OEF的值；（3）若直线EF与线段AD，BC分别相交于点G，H，求的值。【答案】解：（1）∵EF是△OAB的中位线，∴EF∥AB，EF=AB。而CD∥AB，CD=AB，∴EF=CD，∠OEF=∠OCD，∠OFE=∠ODC，∴△FOE≌△DOC（ASA）。（2）∵在Rt△ABC中，AC=，16\n∴sin∠OEF=sin∠CAB=。（3）∵AE=OE=OC，EF∥CD，∴△AEG∽△ACD。∴，即EG=CD。同理FH=CD，∴【分析】（1）由EF是△OAB的中位线，利用中位线定理，得EF∥AB，EF=AB，又CD∥AB，CD=AB，可得EF=CD，由平行线的性质可证△FOE≌△DOC。（2）由平行线的性质可知∠OEF=∠CAB，利用sin∠OEF=sin∠CAB=，由勾股定理得出AC与BC的关系，再求正弦值；（3）由（1）可知AE=OE=OC，EF∥CD，则△AEG∽△ACD，利用相似比可得EG=CD，同理得FH=CD，又AB=2CD，代入中求值即可。6.（2022年浙江杭州12分）图形既关于点O中心对称，又关于直线AC，BD对称，AC=10，BD=6，已知点E，M是线段AB上的动点（不与端点重合），点O到EF，MN的距离分别为，，△OEF与△OGH组成的图形称为蝶形。（1）求蝶形面积S的最大值；（2）当以EH为直径的圆与以MQ为直径的圆重合时，求与满足的关系式，并求的取值范围。16\n【答案】解：（1）由题意，得四边形ABCD是菱形.∵EF∥BD，∴△ABD∽△AEF。∴，即。∴。∴当时，。（2）根据题意，得OE=OM，如图，作OR⊥AB于R，OB关于OR对称线段为OS，1）当点E、M不重合时，则OE，OM在OR的两侧，易知RE=RM。∵，∴∴由ML∥EK∥OB，得16\n7.（2022年浙江杭州10分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，分别以AB，CD为边向外侧作等边三角形ABE和等边三角形DCF，连接AF，DE．（1）求证：AF=DE；（2）若∠BAD=45°，AB=a，△ABE和△DCF的面积之和等于梯形ABCD的面积，求BC的长．【答案】（1）证明：∵在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，∴∠BAD=∠CDA。∵在等边三角形ABE和等边三角形DCF中，AB=AE，DC=DF，且∠BAE=∠CDF=60°，∴AE=DF，∠EAD=∠FDA，AD=DA。∴△AED≌△DFA（SAS）。∴AF=DE。16\n（2）解：如图作BH⊥AD，CK⊥AD，则有BC=HK。∵∠BAD=45°，∴∠HAB=∠KDC=45°。【考点】等腰梯形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质。【分析】（1）根据等腰梯形和等边三角形的性质以及全等三角形SAS的判定证明△AED≌△DFA即可。（2）如图作BH⊥AD，CK⊥AD，利用给出的条件和梯形的面积公式即可求出BC的长。8.（2022年浙江杭州8分）如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，线段AG，BG分别交CD于点E，F，DE=CF．求证：△GAB是等腰三角形．【答案】证明：∵在等腰梯形中ABCD中，AD=BC，∴∠D=∠C，∠DAB=∠CBA，在△ADE和△BCF中，∵，∴△ADE≌△BCF（SAS）。∴∠DAE=∠CBF。∴∠GAB=∠GBA。∴GA=GB，即△GAB为等腰三角形。【考点】等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质。16\n16
