【2022版中考12年】浙江省嘉兴市、舟山市2022-2022年中考数学试题分类解析专题10四边形一、选择题1.（2022年浙江舟山、嘉兴4分）挪威数学家阿贝尔，年轻时就利用阶梯形，发现了一个重要的恒等式——阿贝尔公式：右图是一个简单的阶梯形，可用两种方法，每一种把图形分割成为两个矩形。利用它们之间的面积关系，可以得到：a1b1+a2b2=【】A.a1(b1－b2)+(a1+a2)b1B.a2(b2－b1)+(a1+a2)b2C.a1(b1－b2)+(a1+a2)b2D.a2(b1－b2)+(a1+a2)b1【答案】C。【考点】矩形的面积。2.（2022年浙江舟山、嘉兴4分）下图背景中的点均为大小相同的小正方形的顶点，其中画有两个四边形，下列叙述中正确的是【】A．这两个四边形面积和周长都不相同B．这两个四边形面积和周长都相同15\nC．这两个四边形有相同的面积，但I的周长大于Ⅱ的周长D．这两个四边形有相同的面积，但I的周长小于Ⅱ的周长【答案】D。【考点】网格问题，勾股定理。3.（2022年浙江舟山、嘉兴4分）如图，正方形ABCD中，E是BC边上一点，以E为圆心、EC为半径的半圆与以A为圆心，AB为半径的圆弧外切，则sin∠EAB的值为【】A．B．C．D．【答案】D。【考点】正方形的性质，两圆外切的性质，勾股定理，锐角三角函数定义。4.（2022年浙江舟山、嘉兴3分）如图，①②③④⑤五个平行四边形拼成一个含30°内角的菱形EFGH（不重叠无缝隙）．若①②③④四个平行四边形面积的和为14cm2，四边形ABCD面积是11cm2，则①②③④四个平行四边形周长的总和为【】15\n（A）48cm（B）36cm（C）24cm（D）18cm【答案】A。【考点】菱形的性质，平行四边形的性质。二、填空题1.（2022年浙江舟山、嘉兴5分）如图，菱形ABCD中，已知∠ABD=20°，则∠C的大小是▲度．【答案】140。【考点】菱形的性质。2.（2022年浙江舟山、嘉兴5分）定义1：与四边形四边都相切的圆叫做四边形的内切圆．定义2：一组邻边相等，其他两边也相等的凸四边形叫做筝形．探究：任意筝形是否一定存在内切圆？答案：▲．（填“是”或“否”）【答案】是。【考点】新定义，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质。15\n3.（2022年浙江舟山、嘉兴5分）如图，已知菱形ABCD的一个内角∠BAD＝80º，对角线AC、BD相交于点O，点E在AB上且BE＝BO，则∠AOE＝▲°．【答案】25。【考点】菱形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理。三、解答题1.（2022年浙江舟山、嘉兴8分）如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是AB、CD上的点，且AE=CF，求证：DE=BF15\n【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD。∵AE=CF，∴BE=DF，BE∥DF。∴四边形DEBF是平行四边形。∴DE=BF。【考点】平行四边形的判定和性质。2.（2022年浙江舟山、嘉兴10分）已知：如图，菱形ABCD中，E、F分别是CB、CD上的点，且BE=DF，求证：（1）△ABE≌△ADF（2）∠AEF=∠AFE【答案】证明：（1）∵ABCD是菱形，∴AB=AD，∠B=∠D。又∵BE=DF，∴△ABE≌△ADF。（2）∵△ABE≌△ADF，∴AE=AF。∴∠AEF=∠AFE。【考点】菱形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质。3.（2022年浙江舟山、嘉兴10分）如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于E，已知：DA=DC，E为AC中点，求证：（1）AC⊥BD（2）∠ABD=∠CBD15\n【答案】证明：（1）∵DA=DC，E为AC中点，∴DB是AC的中垂线。∴AC⊥BD。（2）由（1）DB是AC的中垂线，∴AB=BC。∴△ABC是等腰三角形。∴∠ABD=∠CBD。【考点】等腰三角形的判定和性质，线段中垂线的性质。4.（2022年浙江舟山、嘉兴8分）如图，矩形ABCD中，M是CD的中点。求证：（1）△ADM≌△BCM；（2）∠MAB=∠MBA【答案】证明：（1）∵M是CD的中点，∴DM=CM。∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，∠D=∠C=90°。∵在△ADM和△BCM中，，∴△ADM≌△BCM；（SAS）。（2）∵△ADM≌△BCM，∴∠DAM=∠CBM。∵∠DAB=∠CBA=90°，∴∠DAB－∠DAM=∠CBA－∠CBM，即∠MAB=∠MBA。15\n5.（2022年浙江舟山、嘉兴8分）我们学习了四边形和一些特殊的四边形，下图表示了在某种条件下它们之间的关系。如果①，②两个条件分别是：①两组对边分别平行；②有且只有一组对边平行。那么请你对标上的其他6个数字序号写出相对应的条件。【答案】解：③——相邻两边垂直；④——相邻两边相等；⑤——相邻两边相等；⑥——相邻两边垂直；⑦——两腰相等；⑧——一条腰垂直于底边。【考点】特殊四边形的判定。6.（2022年浙江舟山、嘉兴12分）小丽参加数学兴趣小组活动，提供了下面3个有联系的问题，请你帮助解决：（1）如图1，正方形ABCD中，作AE交BC于E，DF⊥AE交AB于F，求证：AE=DF；（2）如图2，正方形ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，点G，H分别在AB，CD上，且EF⊥GH，求的值；15\n（3）如图3，矩形ABCD中，AB=a，BC=b，点E，F分别在AD，BC上，且EF⊥GH，求的值．【答案】解：（1）证明：∵DF⊥AE，∴∠AEB=90°－∠BAE=∠AFD。又∵AB=AD，∠ABE=∠DAF=90°。∴△ABE≌△DAF（AAS）。∴AE=DF。（2）作AM∥EF交BC于M，作DN∥GH交AB于N，则AM=EF，DN=GH。由（1）知，AM=DN，∴EF=GH，即。（3）作AM∥EF交BC于M，作DN∥GH交AB于N，则AM=EF，DN=GH。∵EF⊥GH，∴AM⊥DN。∴∠AMB=90°－∠BAM=∠AND。15\n又∵∠ABM=∠DAN=90°，∴△ABM∽△DAN。∴。∴。【考点】正方形和矩形的性质，平行四边形的判定和性质，全等、相似三角形的判定和性质。7.（2022年浙江舟山、嘉兴10分）如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，BD与AE、AF分别相交于G、H．（1）求证：△ABE∽△ADF；（2）若AG=AH，求证：四边形ABCD是菱形．【答案】证明：（1）∵AE⊥BC，AF⊥CD，∴∠AEB=∠AFD=90°。∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABE=∠ADF。∴△ABE∽△ADF。（2）∵△ABE∽△ADF，∴∠BAG=∠DAH。∵AG=AH，∴∠AGH=∠AHG。∴∠AGB=∠AHD。∴△ABG≌△ADH（ASA）。∴AB=AD。∵四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是菱形。【考点】平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判15\n定和性质，菱形的判定。8.（2022年浙江舟山、嘉兴8分）如图，在ABCD中，已知点E在AB上，点F在CD上且AE＝CF．（1）求证：DE＝BF；（2）连结BD，并写出图中所有的全等三角形．（不要求证明）【答案】解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD。∵AE=CF，∴BE=DF。∴四边形BEDF是平行四边形。∴DE=BF。（2）图中的全等三角形有3对：△ADE≌△CBF，△ADB≌△CBD，△DBE≌△BDF。【考点】平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定。9.（2022年浙江舟山、嘉兴10分）设计建造一条道路，路基的横断面为梯形ABCD，如图（单位：米）．设路基高为h，两侧的坡角分别为α和β，已知h＝2，α＝45º，tanβ＝，CD＝10．（1）求路基底部AB的宽；（2）修筑这样的路基1000米，需要多少土石方？15\n【答案】解：作DE⊥AB于点E，CF⊥AB于点F，则四边形DEFC是矩形。∵DC=EF=10，DE=CF=2，α＝45º，tanβ＝，∴AE=DE=2，∴BF=CF÷tanβ=2÷=4。∴AB=AE＋EF＋BF=2＋10＋4=16（米）。（2）在梯形ABCD中，DC=10，AB=16，DE=2，∴（米2）。∴修筑这样的路基1000米，需要土石方：1000×26=26000（米3）。【考点】梯形的性质，矩形的判定和性质，锐角三角函数定义。10.（2022年浙江舟山、嘉兴10分）以四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA为斜边分别向外侧作等腰直角三角形，直角顶点分别为E、F、G、H，顺次连结这四个点，得四边形EFGH．（1）如图1，当四边形ABCD为正方形时，我们发现四边形EFGH是正方形；如图2，当四边形ABCD为矩形时，请判断：四边形EFGH的形状（不要求证明）；（2）如图3，当四边形ABCD为一般平行四边形时，设∠ADC=（0°＜＜90°），①试用含的代数式表示∠HAE；②求证：HE=HG；③四边形EFGH是什么四边形？并说明理由．15\n【答案】解：（1）四边形EFGH的形状是正方形。（2）①在平行四边形ABCD中，∵AB∥CD，∴∠BAD=180°﹣∠ADC=180°﹣α。∵△HAD和△EAB是等腰直角三角形，∴∠HAD=∠EAB=45°。∴∠HAE=360°﹣∠HAD﹣∠EAB﹣∠BAD=360°﹣45°﹣45°﹣（180°﹣α）=90°+α。因此，用含α的代数式表示∠HAE是90°+α．②证明：∵△AEB和△DGC是等腰直角三角形，∴AE=AB，DC=CD，在平行四边形ABCD中，AB=CD，∴AE=DG。∵△HAD和△GDC是等腰直角三角形，∴∠HDA=∠CDG=45°。∴∠HDG=∠HDA+∠ADC+∠CDG=90°+α=∠HAE，∵△HAD是等腰直角三角形，∴HA=HD。∴△HAE≌△HDC。∴HE=HG。③四边形EFGH是正方形。理由是：由②同理可得：GH=GF，FG=FE。∵HE=HG，∴GH=GF=EF=HE。∴四边形EFGH是菱形。∵△HAE≌△HDG，∴∠DHG=∠AHE。∵∠AHD=∠AHG+∠DHG=90°，∴∠EHG=∠AHG+∠AHE=90°。∴四边形EFGH是正方形。15\n【考点】正方形的判定，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形，菱形的判定和性质。11.（2022年浙江舟山、嘉兴8分）如图，已知菱形ABCD的对角线相交于点O，延长AB至点E，使BE=AB，连接CE．（1）求证：BD=EC；（2）若∠E=50°，求∠BAO的大小．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=CD，AB∥CD。又∵BE=AB，∴BE=CD，BE∥CD。∴四边形BECD是平行四边形。∴BD=EC。（2）解：∵四边形BECD是平行四边形，∴BD∥CE，∴∠ABO=∠E=50°。又∵四边形ABCD是菱形，∴AC丄BD。∴∠BAO=90°﹣∠ABO=40°。【考点】菱形的性质，平行四边形的判定和性质，平行的性质，直角三角形两锐角的关系。12.（2022年浙江舟山8分嘉兴10分）15\n某学校的校门是伸缩门（如图1），伸缩门中的每一行菱形有20个，每个菱形边长为30厘米．校门关闭时，每个菱形的锐角度数为60°（如图2）；校门打开时，每个菱形的锐角度数从60°缩小为10°（如图3）．问：校门打开了多少米？（结果精确到1米，参考数据：sin5°≈0.0872，cos5°≈0.9962，sin10°≈0.1736，cos10°≈0.9848）．【答案】解：如图，校门关闭时，取其中一个菱形ABCD，根据题意，得∠BAD=60°，AB=0.3米，∵在菱形ABCD中，AB=AD，∴△BAD是等边三角形。∴BD=AB=0.3米，∴大门的宽是：0.3×20≈6（米）。校门打开时，取其中一个菱形A1B1C1D1，设A1C1与B1D1相交于点O1，根据题意，得∠B1A1D1=10°，A1B1=0.3米，15\n∵在菱形A1B1C1D1中，A1C1⊥B1D1，∠B1A1O1=5°，∴在Rt△A1B1O1中，B1O1=sin∠B1A1O1•A1B1=sin5°×0.3=0.02616（米）。∴B1D1=2B1O1=0.05232米。∴伸缩门的宽是：0.05232×20=1.0464米。∴校门打开的宽度为：6﹣1.0464=4.9536≈5（米）。15
