知识点11一元一次不等式（组）的应用1.（2022四川内江，21，10）某商场计划购进A、B两种型号的手机，已知每部A型号手机的进价比每部B型号手机的进价多500元，每部A型号手机的售价是2500元，每部B型号手机的售价是2100元．（1）若商场用50000元共购进A型号手机10部，B型号手机20部，求A、B两种型号的手机每部进价各是多少元？（2）为了满足市场需求，商场决定用不超过7．5万元采购A、B两种型号的手机共40部，且A型号手机的数量不少于B型号手机数量的2倍．①该商场有哪几种进货方式？②该商场选择哪种进货方式，获得的利润最大？【思路分析】（1）先找到题中的等量关系：50000元共购进A型号手机10部，B型号手机20部，以及A、B两种型号的手机的进价关系，设未知数列方程即可；（2）①由已知提供的信息：用不超过7．5万元采购A、B两种型号的手机共40部；且A型号手机的数量不少于B型号手机数量的2倍，可以列出两个不等式，解这个不等式组（解为正整数）就可以确定进货方式．②设总利润为W，A种型号的手机m部，由利润等于售价减去进价再乘以部数，就可以得到一个关于W和m的一次函数，根据一次函数的性质可以得出怎样进货利润最大．【解题过程】解：（1）设B种型号的手机每部进价为x元，则A种型号的手机每部进价为（x＋500）元，根据题意可得10(x＋500)＋20x＝50000，解得：x＝1500，x＋500＝2000．答：A种型号的手机每部进价为2000元，B种型号的手机每部进价为1500元．（2）①设商场购进A种型号的手机m部，B种型号的手机为（40－m）部，由题意得：9\n，解得≤m≤30，∵m为整数，∴m＝27，28，29，30，所以共有四种进货方案，分别是：A种27部，B种13部；A种28部，B种12部；A种29部，B种11部；A种30部，B种10部．②设获得的利润为W，则W＝（2500－2000）m＋（2100－1500）（40－m）＝－100m＋24000，∵－100＜0，∴W随m的增大而减小，所以当m＝27时，W最大，即选择购进A种27部，B种13部获得的利润最大．【知识点】一元一次方程；一元一次不等式组；一次函数的性质；1.（2022四川绵阳，21，11分）有大小两种货车，3辆大货车与4辆小货车一次可以运货18吨，2辆大货车与6辆小货车一次可以运货17吨.（1）请问1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运货多少吨：（2）目前有33吨货物需要运输，货运公司拟安排大小货车共10辆，全部货物一次运完.其中每辆大货车一次运货花费130元，每辆小货车一次运货花费100元，请问货物公司应如何安排车辆最节省费用？【思路分析】（1）设1辆大货车与1辆小货车一次分别可以运x吨、y吨．根据条件建立方程组求出其解即可；（2）首先设货物公司安排大货车m辆，则小货车需要安排(10-m)辆，根据（1）的结论可得出不等式4m+1.5(10-m)≥33，进而得出所有的情况，然后计算出每种情况的花费，进而得出答案.【解题过程】解：（1）设1辆大货车一次可以运货x吨，1辆小货车一次可以运货y吨.根据题意可得：，解得：.答：1辆大货车一次可以运货4吨，1辆小货车一次可以运货1.5吨.（2）设货物公司安排大货车m辆，则小货车需要安排(10-m)辆，根据题意可得4m+1.5(10-m)≥33，解得m≥7.2.∵m为正整数，∴m可以取8，9，10，当m=8时，该货物公司需花费130×8+2×100=1240元；9\n当m=9时，该货物公司需花费130×9+100=1270元；当m=10时，该货物公司需花费130×10=1300元.答：当该货物公司安排大货车8辆，小货车2辆时花费最少.【知识点】二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用2.（2022四川内江，21，10）某商场计划购进A、B两种型号的手机，已知每部A型号手机的进价比每部B型号手机的进价多500元，每部A型号手机的售价是2500元，每部B型号手机的售价是2100元．（1）若商场用50000元共购进A型号手机10部，B型号手机20部，求A、B两种型号的手机每部进价各是多少元？（2）为了满足市场需求，商场决定用不超过7．5万元采购A、B两种型号的手机共40部，且A型号手机的数量不少于B型号手机数量的2倍．①该商场有哪几种进货方式？②该商场选择哪种进货方式，获得的利润最大？【思路分析】（1）先找到题中的等量关系：50000元共购进A型号手机10部，B型号手机20部，以及A、B两种型号的手机的进价关系，设未知数列方程即可；（2）①由已知提供的信息：用不超过7．5万元采购A、B两种型号的手机共40部；且A型号手机的数量不少于B型号手机数量的2倍，可以列出两个不等式，解这个不等式组（解为正整数）就可以确定进货方式．②设总利润为W，A种型号的手机m部，由利润等于售价减去进价再乘以部数，就可以得到一个关于W和m的一次函数，根据一次函数的性质可以得出怎样进货利润最大．【解题过程】解：（1）设B种型号的手机每部进价为x元，则A种型号的手机每部进价为（x＋500）元，根据题意可得10(x＋500)＋20x＝50000，解得：x＝1500，x＋500＝2000．答：A种型号的手机每部进价为2000元，B种型号的手机每部进价为1500元．（2）①设商场购进A种型号的手机m部，B种型号的手机为（40－m）部，由题意得：，解得≤m≤30，∵m为整数，∴m＝27，28，29，30，所以共有四种进货方案，分别是：A种27部，B种13部；A种28部，B种12部；A种29部，B种11部；A种30部，B种10部．②设获得的利润为W，则W＝（2500－2000）m＋（2100－1500）（40－m）＝－100m＋24000，∵－100＜0，∴W随m的增大而减小，所以当m＝27时，W最大，即选择购进A种27部，B种13部获得的利润最大．9\n【知识点】一元一次方程；一元一次不等式组；一次函数的性质；3.（2022甘肃白银，21，8分）《九章算术》是中国古代数学专著，在数学上其独到的成就。不仅最早提到了分数问题，也首先记录了“盈不足”等问题。如有一道阐述“盈不足”的问题，原文如下：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六。问人数、鸡价各几何？译文为：现有若干人合伙买鸡，如果每人出9文钱，就会多11文钱；如果每人出6文钱，又会缺16文钱。问买鸡的人数、鸡的价格各是多少？请解答上述问题。【思路分析】这是一道列方程解应用题，找出相等关系是关键。题中“每人出9文钱，就会多11文钱”是一个相等关系，“每人出6文钱，又会缺16文钱”又是一个相等关系。因此设出未知数将这两个相等关系用含未知数的等式表示出来就是方程组了。【解题过程】解：设买鸡的人有x个，鸡的价格为y文钱，根据题意，得：，解得：答：买鸡的人有9个，鸡的价格为70文钱。【知识点】列方程解应用题，找相等关系，解方程组或解方程。4.（2022江苏连云港，第24题，10分）某村在推进美丽乡村活动中，决定建设幸福广场，计划铺设相同大小规格的红色和蓝色地砖经过调查，获取信息如下如果购买红色地砖4000块，蓝色地砖6000块，需付款86000元；如果购买红色地砖10000块，蓝色地砖3500块，需付款99000元.(1)红色地砖与蓝色地砖的单价各多少元?(2)经过测算，需要购置地砖12000块，其中蓝色地砖的数量不少于红色地砖的一半，并且不超过6000块，如何购买付款最少?请说明理由.【思路分析】(1)根据购买红色地砖4000块的价格+购买红色地砖6000块的价格=86000，购买红色地砖10000块的价格+购买红色地砖3500块的价格=99000，列二元一次方程组，解答即可.(2)根据蓝色地砖的数量不少于红色地砖的一半，并且不超过6000，得出购买蓝色地砖的数量范围，再分情况讨论即可.9\n【解题过程】(1)设红色地砖每块a元，蓝色地砖每块b元由题意得解得：答:红色地砖每块8元，蓝色地砖每块10元.5分(2)设购置蓝色地砖x块，则购置红色地砖(12000－x)块，所需的总费用为y元.由题意知x≥(12000－x)，得x≥4000，又x≤6000所以蓝砖块数x的取值范围4000≤x≤6000当4000≤x<5000时，y=10x+8×0.8(12000－x)，即y=76800+3.6x.所以x=4000时，y有最小值91200当5000≤x≤6000时，y=0.9×10x+8×0.8(12000－x)=2.6x+76800.所以x=5000时，y有最小值89800.∵89800＜91200，所以购买蓝色地砖5000块，红色地砖7000块，费用最少，最少费用为89800元.10分【知识点】二元一次方程组；一元一次不等式组5.（2022山东聊城，21，8分）建设中的大外环路是我市的一项重点民生工程.某工程公司承建的一段路基工程的施工土方量为120万方，原计划由公司的甲、乙两个工程队从公路的两端同时相向施工150天完成.由于特殊情况需要，公司抽调甲队外援施工，由乙队先单独施工40天后甲队返回，两队又共同施工了110天，这时甲乙两队共完成土方量103.2万立方.（1）问甲、乙两队原计划平均每天的施工土方量分别为多少万立方？（2）在抽调甲队外援施工的情况下，完了保证150天完成任务，公司为乙队新购进了一批机械来提高效率，那么乙队平均每天的施工土方量至少要比原来提高多少万立方才能保证按时完成任务？【思路分析】（1）设甲、乙两队原计划平均每天的施工土方量分别为x万立方，y万立方，由题意列方程组，解方程组可以得到答案；9\n（2）设乙队平均每天的施工土方量至少要比原来提高m万立方才能保证按时完成任务，由题意列不等式150m≥120-103.2，解不等式可以得到答案.【解题过程】（1）设甲、乙两队原计划平均每天的施工土方量分别为x万立方，y万立方，由题意得，解得.答：甲、乙两队原计划平均每天的施工土方量分别为0.42万立方，0.38万立方.（1）设乙队平均每天的施工土方量至少要比原来提高m万立方才能保证按时完成任务，由题意得150m≥120-103.2，解得m≥0.112.答：乙队平均每天的施工土方量至少要比原来提高0.112万立方才能保证按时完成任务.【知识点】二元一次方程组的实际应用、一元一次不等式的实际应用6.（2022山东省济宁市，19，7）（7分）“绿水青山就是金山银山”，为保护生态环境，A，B两村准备各自清理所属区域养鱼网箱和捕鱼网箱，每村参加清理人数及总开支如下表：村庄清理养鱼网箱人数/人清理捕鱼网箱人数/人总支出/元A15957000B101668000（1）若两村清理同类渔具的人均支出费用一样，求清理养鱼网箱和捕鱼网箱的人均支出费用各是多少元；（2）在人均支出费用不变的情况下，为节约开支，两村准备抽调40人共同清理养鱼网箱和捕鱼网箱，要使总支出不超过102000元，且清理养鱼网箱人数小于清理捕鱼网箱人数，则有哪几种分配清理人员方案？【思路分析】问题（1）中隐含着两个相等关系式：村庄A清理养鱼网箱的费用+捕鱼网箱的费用=57000元、村庄B清理养鱼网箱的费用+捕鱼网箱的费用=68000元，则可分别以清理养鱼网箱、捕鱼网箱的人均支出费用为未知数，建立方程组解决问题；问题（2）中隐含着两个不等关系式：清理养鱼网箱的费用+捕鱼网箱的费用≤102000、清理养鱼网箱人数＜清理捕鱼网箱人数，不妨以清理养鱼网箱人数为未知数，从而建立关于以清理养鱼网箱人数为未知数的不等式组解决问题.9\n【解题过程】（1）设清理养鱼网箱的人均支出费用为x元，清理养鱼网箱、捕鱼网箱的人均支出费用为y元，根据题意，列方程组，得：，解得，答：清理养鱼网箱的人均支出费用为2000元，清理养鱼网箱、捕鱼网箱的人均支出费用为3000元；（2）设清理养鱼网箱人数为m，则清理捕鱼网箱人数为(40-m)，根据题意，得：，解得18≤m＜20，∵m是整数，∴m=18或19，∴当m=18时，40-m=22，即清理养鱼网箱人数为18，清理捕鱼网箱人数为22；当m=19时，40-m=21，即清理养鱼网箱人数为19，则清理捕鱼网箱人数为21.因此，有2种分配清理人员方案，分别为清理养鱼网箱人数为18，清理捕鱼网箱人数为22或清理养鱼网箱人数为19，则清理捕鱼网箱人数为21.【知识点】二元一次方程组的应用一元一次不等式组的应用1.（2022湖南郴州，20，8）郴州市正在创建“全国文明城市”，某校举办“创文知识”抢答赛，欲购买A、B两种奖品以奖励抢答者.如果购买A种20件，B种15件，共需380元；如果购买A种15件，B种10件，共需280元.（1）A、B两种奖品每件各是多少元？（2）现要购买A、B两种奖品共100件，总费用不超过900元，那么A种奖品最多购买多少件？【思路分析】（1）设A、B两种奖品每件各是、元，根据“如果购买A种20件，B种15件，共需380元；如果购买A种15件，B种10件，共需280元”列出方程组，解出方程组即可；（2）设A种奖品最多购买件，根据“总费用不超过900元”可列出不等式，解出不等式即可.【解析】（1）设A、B两种奖品每件各是、元，依题意，得：，解得：.答：A、B两种奖品每件各是16、4元.9\n（2）设A种奖品最多购买件，B种奖品购买件，依题意，得：，解得：.答：A种奖品最多购买41件.【知识点】二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的应用2.（2022湖南郴州，20，8）郴州市正在创建“全国文明城市”，某校举办“创文知识”抢答赛，欲购买A、B两种奖品以奖励抢答者.如果购买A种20件，B种15件，共需380元；如果购买A种15件，B种10件，共需280元.（1）A、B两种奖品每件各是多少元？（2）现要购买A、B两种奖品共100件，总费用不超过900元，那么A种奖品最多购买多少件？【思路分析】（1）设A、B两种奖品每件各是、元，根据“如果购买A种20件，B种15件，共需380元；如果购买A种15件，B种10件，共需280元”列出方程组，解出方程组即可；（2）设A种奖品最多购买件，根据“总费用不超过900元”可列出不等式，解出不等式即可.【解析】（1）设A、B两种奖品每件各是、元，依题意，得：，解得：.答：A、B两种奖品每件各是16、4元.（2）设A种奖品最多购买件，B种奖品购买件，依题意，得：，解得：.答：A种奖品最多购买41件.【知识点】二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的应用3.（2022湖南省湘潭市，23，8分）湘潭市继2022年成功创建全国文明城市之后，又准备争创全国卫生城市，某小区积极响应，决定在小区内安装垃圾分类的温馨提示牌和垃圾箱，若购买2个温馨提示牌和3个垃圾箱共需550元，且垃圾箱的单价是温馨提示牌单价的3倍.9\n（1）求温馨提示牌和垃圾箱的单价各是多少元？（2）该小区至少需要安放48个垃圾箱，如果购买温馨提示牌和垃圾箱共100个，且费用不超过10000元，请你列举出所有购买方案，并指出哪种方案所需资金最少？最少是多少元？【思路分析】（1）设温馨提示牌的单价为x元，则垃圾箱的单价为3x元，根据2个温馨提示牌+3个垃圾箱=550元列出方程求解；（2）设购买温馨提示牌为m个，则购买垃圾箱为(100-m)个，根据总费用不超过10000元列出不等式求解.【解析】解：（1）设温馨提示牌的单价为x元，则垃圾箱的单价为3x元，列方程得：2x+3×3x=550，解得x=50,所以温馨提示牌的单价为50元，垃圾箱的单价为150元；（2）设购买温馨提示牌为m个，则购买垃圾箱为(100-m)个，列不等式得：50m+150(100-m)≤10000，解得m≥50，又∵100-m≥48，∴m≤52，∵m的值整数，∴m的取值为50,51,52，当m=50时，100-m=50，即购买50个和温馨提示牌和50个垃圾桶，其费用为：50×50+50×150=10000元；当m=51时，100-m=49，即购买51个和温馨提示牌和49个垃圾桶，其费用为：51×50+49×150=9900元；当m=52时，100-m=48，即购买52个和温馨提示牌和48个垃圾桶，其费用为：52×50+48×150=9800元，所以最小费用为9800元.【知识点】列一元一次方程解决实际问题；列一元一次不等式解决实际问题9
