2022年中考数学专题复习第二十三讲圆的有关概念及性质【基础知识回顾】圆的定义及性质：圆的定义：⑴形成性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转形成的图形叫做圆，固定的端点叫线段OA叫做⑵描述性定义：圆是到定点的距离等于的点的集合【名师提醒：1、在一个圆中，圆←决定圆的半径决定圆的2、直径是圆中的弦，弦不一定是锥】2、弦与弧：弦：连接圆上任意两点的叫做弦弧：圆上任意两点间的叫做弧，弧可分为、、三类3、圆的对称性：⑴轴对称性：圆是轴对称图形，有条对称轴的直线都是它的对称轴⑵中心对称性：圆是中心对称图形，对称中心是【名师提醒：圆不仅是中心对称图形，而且具有旋转性，即绕圆心旋转任意角度都被与原来的图形重合】垂径定理及推论：1、垂径定理：垂直于弦的直径，并且平分弦所对的2、推论：平分弦（）的直径，并且平分弦所对的【名师提醒：1、垂径定理及其推论实质是指一条直线满足：⑴过圆心⑵垂直于弦⑶平分弦⑷平分弦所对的优弧⑸平分弦所对的劣弧五个条件中的两个，那么可推出其中三个，注意解题过程中的灵活运用2、圆中常作的辅助线是过圆心作弦的线3、垂径定理常用作计算，在半径r弦a弦心d和弦h中已知两个可求另外两个】三、圆心角、弧、弦之间的关系：1、圆心角定义：顶点在的角叫做圆心角2、定理：在中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量它们所对应的其余各组量也分别【名师提醒：注意：该定理的前提条件是“在同圆或等圆中”】圆周角定理及其推论：1、圆周角定义：顶点在并且两边都和圆的角叫圆周角2、圆周角定理：在同圆或等圆中，圆弧或等弧所对的圆周角都等于这条弧所对的圆心角的推论1、在同圆或等圆中，如果两个圆周角那么它们所对的弧推论2、半圆（或直弦）所对的圆周角是900的圆周角所对的弦是【名师提醒：1、在圆中，一条弦所对的圆心角只有一个，而它所对的圆周角有个，它们的关系是作直弦所对的圆周角是圆中常作的辅助线】圆内接四边形：定义：如果一个多边形的所有顶点都在圆上，这个多边形叫做这个圆叫做性质：圆内接四边形的对角【名师提醒：圆内接平行四边形是圆内接梯形是】1\n考点一：垂径定理例1（2022•绍兴）如图，AD为⊙O的直径，作⊙O的内接正三角形ABC，甲、乙两人的作法分别是：甲：1、作OD的中垂线，交⊙O于B，C两点，2、连接AB，AC，△ABC即为所求的三角形乙：1、以D为圆心，OD长为半径作圆弧，交⊙O于B，C两点．2、连接AB，BC，CA．△ABC即为所求的三角形．对于甲、乙两人的作法，可判断（）A．甲、乙均正确B．甲、乙均错误C．甲正确、乙错误D．甲错误，乙正确考点：垂径定理；等边三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形．专题：计算题．分析：由甲的思路画出相应的图形，连接OB，由BC为OD的垂直平分线，得到OE=DE，且BC与OD垂直，可得出OE为OD的一半，即为OB的一半，在直角三角形BOE中，根据一直角边等于斜边的一半可得出此直角边所对的角为30°，得到∠OBE为30°，利用直角三角形的两锐角互余得到∠BOE为60°，再由∠BOE为三角形AOB的外角，且OA=OB，利用等边对等角及外角性质得到∠ABO也为30°，可得出∠ABC为60°，同理得到∠ACB也为60°，利用三角形的内角和定理得到∠BAC为60°，即三角形ABC三内角相等，进而确定三角形ABC为等边三角形；由乙的思路画出相应的图形，连接OB，BD，由BD=OD，且OB=OD，等量代换可得出三角形OBD三边相等，即为等边三角形，的长∠BOE=∠DBO=60°，由BC垂直平分OD，根据三线合一得到BE为角平分线，可得出∠OBE为30°，又∠BOE为三角形ABO的外角，且OA=OB，利用等边对等角及外角的性质得到∠ABO也为30°，可得出∠ABC为60°，同理得到∠ACB也为60°，利用三角形的内角和定理得到∠BAC为60°，即三角形ABC三内角相等，进而确定三角形ABC为等边三角形，进而得出两人的作法都正确．解答：解：根据甲的思路，作出图形如下：连接OB，∵BC垂直平分OD，∴E为OD的中点，且OD⊥BC，2\n1∴OE=DE=OD，又OB=OD，21在Rt△OBE中，OE=OB，2∴∠OBE=30°，又∠OEB=90°，∴∠BOE=60°，∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA，又∠BOE为△AOB的外角，∴∠OAB=∠OBA=30°，∴∠ABC=∠ABO+∠OBE=60°，同理∠C=60°，∴∠BAC=60°，∴∠ABC=∠BAC=∠C，∴△ABC为等边三角形，故甲作法正确；根据乙的思路，作图如下：连接OB，BD，∵OD=BD，OD=OB，∴OD=BD=OB，∴△BOD为等边三角形，∴∠OBD=∠BOD=60°，又BC垂直平分OD，∴OM=DM，∴BM为∠OBD的平分线，∴∠OBM=∠DBM=30°，又OA=OB，且∠BOD为△AOB的外角，∴∠BAO=∠ABO=30°，∴∠ABC=∠ABO+∠OBM=60°，同理∠ACB=60°，∴∠BAC=60°，∴∠ABC=∠ACB=∠BAC，∴△ABC为等边三角形，故乙作法正确，故选A点评：此题考查了垂径定理，等边三角形的判定，含30°直角三角形的判定，三角形的外角性质，以及等腰三角形的性质，熟练掌握定理及判定是解本题的关键．对应训练1．（2022•哈尔滨）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠B=60°，OP⊥AC于点P，OP=23，3\n则⊙O的半径为（）A．43B．63C．8D．12考点：垂径定理；含30度角的直角三角形；圆周角定理．专题：计算题．分析：由∠B的度数，利用同弧所对的圆心角等于所对圆周角的2倍，求出∠AOC的度数，再由OA=OC，利用等边对等角得到一对角相等，利用三角形的内角和定理求出∠OAC=30°，又OP垂直于AC，得到三角形AOP为直角三角形，利用30°所对的直角边等于斜边的一半，根据OP的长得出OA的长，即为圆O的半径．解答：解：∵圆心角∠AOC与圆周角∠B所对的弧都为AC，且∠B=60°，∴∠AOC=2∠B=120°，又OA=OC，∴∠OAC=∠OCA=30°，∵OP⊥AC，∴∠AOP=90°，在Rt△AOP中，OP=23，∠OAC=30°，∴OA=2OP=43，则圆O的半径43．故选A点评：此题考查了垂径定理，圆周角定理，等腰三角形的性质，以及含30°直角三角形的性质，熟练掌握定理及性质是解本题的关键．考点二：圆周角定理例2（2022•青海）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点N，点M在⊙O上，∠1=∠C（1）求证：CB∥MD；2（2）若BC=4，sinM=，求⊙O的直径．34\n考点：圆周角定理；垂径定理；解直角三角形．分析：（1）由∠C与∠M是BD所对的圆周角，根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可得∠C=∠M，又由∠1=∠C，易得∠1=∠M，即可判定CB∥MD；（2）首先连接AC，AB为⊙O的直径，可得∠ACB=90°，又由弦CD⊥AB，根据垂径定理2的即可求得BC=BD，继而可得∠A=∠M，又由BC=4，sinM=，即可求得⊙O的直径．3解答：（1）证明：∵∠C与∠M是BD所对的圆周角，∴∠C=∠M，又∵∠1=∠C，∴∠1=∠M，∴CB∥MD；（2）解：连接AC，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，又∵CD⊥AB，∴BC=BD，∴∠A=∠M，∴sinA=sinM，BC在Rt△ACB中，sinA=，AB2∵sinM=，BC=4，3∴AB=6，即⊙O的直径为6．点评：此题考查了圆周角定理、垂径定理、平行线的判定以及三角函数等知识．此题难度适5\n中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．对应训练37．（2022•沈阳）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，OD⊥AC，垂足为E，连接BD（1）求证：BD平分∠ABC；（2）当∠ODB=30°时，求证：BC=OD．考点：圆周角定理；含30度角的直角三角形；垂径定理．专题：证明题．分析：（1）由OD⊥ACOD为半径，根据垂径定理，即可得CDAD，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可证得BD平分∠ABC；（2）首先由OB=OD，易求得∠AOD的度数，又由OD⊥AC于E，可求得∠A的度数，然后由AB是⊙O的直径，根据圆周角定理，可得∠ACB=90°，继而可证得BC=OD．解答：证明：（1）∵OD⊥ACOD为半径，∴CDAD，∴∠CBD=∠ABD，∴BD平分∠ABC；（2）∵OB=OD，∴∠OBD=∠0DB=30°，∴∠AOD=∠OBD+∠ODB=30°+30°=60°，又∵OD⊥AC于E，∴∠OEA=90°，∴∠A=180°-∠OEA-∠AOD=180°-90°-60°=30°，又∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，1在Rt△ACB中，BC=AB，2∵OD=CDADAB，∴BC=OD．点评：此题考查了圆周角定理、垂径定理以及直角三角形的性质等知识．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．考点三：圆内接四边形的性质6\n例3（2022•深圳）如图，⊙C过原点，且与两坐标轴分别交于点A、点B，点A的坐标为（0，3），M是第三象限内OB上一点，∠BMO=120°，则⊙C的半径长为（）A．6B．5C．3D．32考点：圆内接四边形的性质；坐标与图形性质；含30度角的直角三角形．专题：探究型．分析：先根据圆内接四边形的性质求出∠OAB的度数，由圆周角定理可知∠AOB=90°，故可得出∠ABO的度数，根据直角三角形的性质即可得出AB的长，进而得出结论．解答：解：∵四边形ABMO是圆内接四边形，∠BMO=120°，∴∠BAO=60°，∵AB是⊙O的直径，∴∠AOB=90°，∴∠ABO=90°-∠BAO=90°-60°=30°，∵点A的坐标为（0，3），∴OA=3，∴AB=2OA=6，AB∴⊙C的半径长==3．2故选C．点评：本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理及直角三角形的性质，熟知圆内接四边形对角互补的性质是解答此题的关键．对应训练3．（2022•肇庆）如图，四边形ABCD是圆内接四边形，E是BC延长线上一点，若∠BAD=105°，则∠DCE的大小是（）A．115°B．l05°C．100°D．95°考点：圆内接四边形的性质．专题：计算题．分析：根据圆内接四边形的对角互补得到∠BAD+∠BCD=180°，而∠BCD与∠DEC为邻补7\n角，得到∠DCE=∠BAD=105°．解答：解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠BAD+∠BCD=180°，而∠BCD+∠DCE=180°，∴∠DCE=∠BAD，而∠BAD=105°，∴∠DCE=105°．故选B．点评：本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．也考查了邻补角的定义以及等角的补角相等．【聚焦山东中考】1．（2022•泰安）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，下列结论不成立的是（）A．CM=DMB．CBDBC．∠ACD=∠ADCD．OM=MD考点：垂径定理．专题：计算题．分析：由直径AB垂直于弦CD，利用垂径定理得到M为CD的中点，B为劣弧CD的中点，可得出A和B选项成立，再由AM为公共边，一对直角相等，CM=DM，利用SAS可得出三角形ACM与三角形ADM全等，根据全等三角形的对应角相等可得出选项C成立，而OM不一定等于MD，得出选项D不成立．解答：解：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，∴M为CD的中点，即CM=DM，选项A成立；B为CD的中点，即CBDB，选项B成立；在△ACM和△ADM中，AMAM∵AMCAMD90，CMDM8\n∴△ACM≌△ADM（SAS），∴∠ACD=∠ADC，选项C成立；而OM与MD不一定相等，选项D不成立．故选D点评：此题考查了垂径定理，以及全等三角形的判定与性质，垂径定理为：垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的弧，熟练掌握垂径定理是解本题的关键．2．（2022•东营）某施工工地安放了一个圆柱形饮水桶的木制支架（如图1），若不计木条的厚度，其俯视图如图2所示，已知AD垂直平分BC，AD=BC=48cm，则圆柱形饮水桶的底面半径的最大值是cm．2．30考点：垂径定理的应用；勾股定理．分析：当圆柱形饮水桶的底面半径最大时，圆外接于△ABC；连接外心与B点，可通过勾股定理即可求出圆的半径．解答：解：连接OB，如图，当⊙O为△ABC的外接圆时圆柱形饮水桶的底面半径的最大．∵AD垂直平分BC，AD=BC=48cm，∴O点在AD上，BD=24cm；在Rt△0BD中，设半径为r，则OB=r，OD=48-r，∴r2=（48-r）2+242，解得r=30．即圆柱形饮水桶的底面半径的最大值为30cm．故答案为：30．点评：此题考查把实物图转化为几何图形的能力以及勾股定理，垂径定理的讨论和勾股定理．3．（2022•泰安）如图，在半径为5的⊙O中，弦AB=6，点C是优弧AB上一点（不与A，B重合），则cosC的值为．9\n43．5考点：圆周角定理；勾股定理；垂径定理；锐角三角函数的定义．BD分析：首先构造直径所对圆周角，利用勾股定理得出BD的长，再利用cosC=cosD=求AD出即可．解答：解：连接AO并延长到圆上一点D，连接BD，可得AD为⊙O直径，故∠ABD=90°，∵半径为5的⊙O中，弦AB=6，则AD=10，2222∴BD=ADAB106=8，∵∠D=∠C，BD84∴cosC=cosD===，AD1054故答案为：．5点评：此题主要考查了勾股定理以及锐角三角函数的定义和圆周角定理，根据已知构造直角三角形ABD是解题关键．4．（2022•青岛）如图，点A、B、C在⊙O上，∠AOC=60°，则∠ABC的度数是．4.150°考点：圆周角定理．分析：首先在优弧ADC上取点D，连接AD，CD，由圆周角定理，即可求得∠ADC的度数，又由圆的内接四边形的性质，即可求得答案．解答：解：在优弧ADC上取点D，连接AD，CD，∵∠AOC=60°，1∴∠ADC=∠AOC=30°，2∵∠ABC+∠ADC=180°，∴∠ABC=180°-∠ADC=180°-30°=150°．10\n故答案为：150°．点评：此题考查了圆周角定理与圆的内接四边形的性质．此题比较简单，注意掌握辅助线的作法．【备考真题过关】一、选择题1．（2022•无锡）如图，以M（-5，0）为圆心、4为半径的圆与x轴交于A、B两点，P是⊙M上异于A、B的一动点，直线PA、PB分别交y轴于C、D，以CD为直径的⊙N与x轴交于E、F，则EF的长（）A．等于42B．等于43C．等于6D．随P点位置的变化而变化考点：垂径定理；勾股定理；相似三角形的判定与性质．专题：计算题．分析：连接NE，设圆N半径为r，ON=x，则OD=r-x，OC=r+x，证△OBD∽△OCA，推出OC：OB=OA：OD，即（r+x）：1=9：（r-x），求出r2-x2=9，根据垂径定理和勾股定理即可求出答案．解答：解：连接NE，设圆N半径为r，ON=x，则OD=r-x，OC=r+x，∵以M（-5，0）为圆心、4为半径的圆与x轴交于A、B两点，∴OA=4+5=9，0B=5-4=1，∵AB是⊙M的直径，∴∠APB=90°（直径所对的圆周角是直角），∵∠BOD=90°，∴∠PAB+∠PBA=90°，∠ODB+∠OBD=90°，∵∠PBA=∠OBD，∴∠PAB=∠ODB，∵∠APB=∠BOD=90°，∴△OBD∽△OCA，11\nOCOA∴，OBODrx9即，1rx解得：（r+x）（r-x）=9，r2-x2=9，由垂径定理得：OE=OF，OE2=EN2-ON2=r2-x2=9，即OE=OF=3，∴EF=2OE=6，故选C．点评：本题考查了勾股定理，垂径定理，相似三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是求出OE=OF和r2-x2=9，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力．2．（2022•陕西）如图，在半径为5的⊙O中，AB、CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB=CD=8，则OP的长为（）A．3B．4C．32D．42考点：垂径定理；勾股定理．分析：作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OP，OB，OD，首先利用勾股定理求得OM的长，然后判定四边形OMPN是正方形，求得正方形的对角线的长即可求得OM的长．解答：解：作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OP，OB，OD，22由垂径定理、勾股定理得：OM=54=3，∵弦AB、CD互相垂直，∴∠DPB=90°，∵OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，12\n∴∠OMP=∠ONP=90°∴四边形MONP是正方形，∴OP=32故选C．点评：本题考查了垂径定理及勾股定理的知识，解题的关键是正确地作出辅助线．3．（2022•黄冈）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，已知CD=12，BE=2，则⊙O的直径为（）A．8B．10C．16D．20考点：垂径定理；勾股定理．分析：连接OC，可知，点E为CD的中点，在Rt△OEC中，OE=OB-BE=OC-BE，根据勾股定理，即可得出OC，即可得出直径．解答：解：连接OC，根据题意，1CE=CD=6，BE=2．2在Rt△OEC中，设OC=x，则OE=x-2，故：（x-2）2+62=x2解得：x=10即直径AB=20．故选D．点评：本题是对垂径定理和解直角三角形的综合应用，解题的关键是利用勾股定理构造直角13\n三角形．4．（2022•河北）如图，CD是⊙O的直径，AB是弦（不是直径），AB⊥CD于点E，则下列结论正确的是（）1A．AE＞BEB．ADBCC．∠D=∠AECD．△ADE∽△CBE2考点：垂径定理；圆周角定理；相似三角形的判定．分析：根据垂径定理及相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判断即可．解答：解：∵CD是⊙O的直径，AB是弦（不是直径），AB⊥CD于点E，∴AE=BE，ACBC，故A、B错误；∵∠AEC不是圆心角，1∴∠D≠∠AEC，故C错误；2∵∠CEB=∠AED，∠DAE=∠BCE，∴△ADE∽△CBE，故C正确．故选D．点评：本题考查了垂径定理、圆周角定理、相似三角形的判定，难度不大，是基础题．5．（2022•重庆）已知：如图，OA，OB是⊙O的两条半径，且OA⊥OB，点C在⊙O上，则∠ACB的度数为（）A．45°B．35°C．25°D．20°考点：圆周角定理．专题：探究型．分析：直接根据圆周角定理进行解答即可．解答：解：∵OA⊥OB，∴∠AOB=90°，1∴∠ACB=∠AOB=45°．2故选A．点评：本题考查的是圆周角定理，即在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．14\n6．（2022•云南）如图，AB、CD是⊙O的两条弦，连接AD、BC．若∠BAD=60°，则∠BCD的度数为（）A．40°B．50°C．60°D．70°考点：圆周角定理．分析：由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得∠BCD的度数．解答：解：∵∠BAD与∠BCD是BD对的圆周角，∴∠BCD=∠BAD=60°．故选C．点评：此题考查了圆周角定理．此题比较简单，注意掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等定理的应用，注意数形结合思想的应用．7．（2022•襄阳）△ABC为⊙O的内接三角形，若∠AOC=160°，则∠ABC的度数是（）A．80°B．160°C．100°D．80°或100°考点：圆周角定理．分析：首先根据题意画出图形，由圆周角定理即可求得答案∠ABC的度数，又由圆的内接四边四边形性质，即可求得∠AB′C的度数．解答：解：如图，∵∠AOC=160°，11∴∠ABC=∠AOC=×160°=80°，22∵∠ABC+∠AB′C=180°，∴∠AB′C=180°-∠ABC=180°-80°=100°．∴∠ABC的度数是：80°或100°．故选D．点评：此题考查了圆周角定理与圆的内接四边形的性质．此题难度不大，注意数形结合思想与分类讨论思想的应用，注意别漏解．15\n8．（2022•泸州）如图，在△ABC中，AB为⊙O的直径，∠B=60°，∠BOD=100°，则∠C的度数为（）A．50°B．60°C．70°D．80°考点：圆周角定理．分析：由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得∠A的度数，然后由三角形的内角和定理，即可求得∠C的度数．解答：解：∵∠BOD=100°，1∴∠A=∠BOD=50°，2∵∠B=60°，∴∠C=180°-∠A-∠B=70°．故选C．点评：此题考查了圆周角定理与三角形的内角和定理．此题难度不大，注意掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半定理的应用是解此题的关键．二、填空题9．（2022•朝阳）如图，AB为⊙O的直径，CD为⊙O的一条弦，CD⊥AB，垂足为E，已知CD=6，AE=1，则⊙0的半径为．9．5考点：垂径定理；勾股定理．分析：连接OD，由垂径定理得求出DE，设⊙O的半径是R，由勾股定理得出R2=（R-1）2+32，求出R即可．解答：解：16\n连接OD，∵AB⊥CD，AB是直径，∴由垂径定理得：DE=CE=3，设⊙O的半径是R，在Rt△ODE中，由勾股定理得：OD2=OE2+DE2，即R2=（R-1）2+32，解得：R=5，故答案为：5．点评：本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，用了方程思想，题目比较好，难度适中．10．（2022•成都）如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于C．若AB=23，0C=1，则半径OB的长为．10．2考点：垂径定理；勾股定理．专题：探究型．分析：先根据垂径定理得出BC的长，再在Rt△OBC中利用勾股定理求出OB的长即可．解答：解：∵AB是⊙O的弦，OC⊥AB于C，AB=23，1∴BC=，AB=3，2∵0C=1，∴在Rt△OBC中，2222OB=OCBC1(3)2．故答案为：2．点评：本题考查的是垂径定理及勾股定理，先求出BC的长，再利用勾股定理求出OB的长是解答此题的关键．11．（2022•嘉兴）如图，在⊙O中，直径AB丄弦CD于点M，AM=18，BM=8，则CD的长为．17\n11．24考点：垂径定理；勾股定理．专题：探究型．分析：连接OD，由AM=18，BM=8可求出⊙O的半径，利用勾股定理可求出MD的长，再根据垂径定理即可得出CD的长．解答：解：连接OD，∵AM=18，BM=8，AMBM188∴OD===13，22∴OM=13-8=5，2222在Rt△ODM中，DM=ODOM13512，∵直径AB丄弦CD，∴AB=2DM=2×12=24．故答案为：24．点评：本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．12．（2022•株洲）已知：如图，在⊙O中，C在圆周上，∠ACB=45°，则∠AOB=．12．90°考点：圆周角定理．分析：由在⊙O中，C在圆周上，∠ACB=45°，根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得∠AOB的度数．解答：解：∵在⊙O中，C在圆周上，∠ACB=45°，∴∠AOB=2∠ACB=2×45°=90°．故答案为：90°．18\n点评：此题考查了圆周角定理．此题比较简单，注意掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半定理的应用，注意数形结合思想的应用．13．（2022•玉林）如图，矩形OABC内接于扇形MON，当CN=CO时，∠NMB的度数是．13．30°考点：圆周角定理；含30度角的直角三角形；矩形的性质．分析：首先连接OB，由矩形的性质可得△BOC是直角三角形，又由OB=ON=2OC，∠BOC的度数，又由圆周角定理求得∠NMB的度数．解答：解：连接OB，∵CN=CO，∴OB=ON=2OC，∵四边形OABC是矩形，∴∠BCO=90°，OC1∴cos∠BOC=，OB2∴∠BOC=60°，1∴∠NMB=∠BOC=30°．2故答案为：30°．点评：此题考查了圆周角定理、矩形的性质以及特殊角的三角函数值．此题难度适中，注意辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．14．（2022•义乌市）如图，已知点A（0，2）、B（23，2）、C（0，4），过点C向右作平行于x轴的射线，点P是射线上的动点，连接AP，以AP为边在其左侧作等边△APQ，连接PB、BA．若四边形ABPQ为梯形，则：19\n（1）当AB为梯形的底时，点P的横坐标是；（2）当AB为梯形的腰时，点P的横坐标是．214．（1）3，（2）0或233考点：圆周角定理；等边三角形的性质；梯形；解直角三角形．专题：几何综合题．分析：首先根据题意画出符合题意的图形，（1）当AB为梯形的底时，PQ∥AB，可得Q在CP上，由△APQ是等边三角形，CP∥x轴，即可求得答案；（2）当AB为梯形的腰时，AQ∥BP，易得四边形ABPC是平行四边形，即可求得CP的长，继而可求得点P的横坐标．解答：解：（1）如图1：当AB为梯形的底时，PQ∥AB，∴Q在CP上，∵△APQ是等边三角形，CP∥x轴，∴AC垂直平分PQ，∵A（0，2），C（0，4），∴AC=2，323∴PC=AC•tan30°=2×，3223∴当AB为梯形的底时，点P的横坐标是：；2（2）如图2，当AB为梯形的腰时，AQ∥BP，∴Q在y轴上，∴BP∥y轴，∵CP∥x轴，∴四边形ABPC是平行四边形，20\n∴CP=AB=23，如图3，当C与P重合时，∵A（0，2）、B（23，2），23∴tan∠APC=3，2∴∠APC=60°，∵△APQ是等边三角形，∴∠PAQ=60°，∴∠ACB=∠PAQ，∴AQ∥BP，∴当C与P重合时，四边形ABPQ以AB为要的梯形，此时点P的横坐标为0；∴当AB为梯形的腰时，点P的横坐标是：0或23．2故答案为：（1）3，（2）0或23．3点评：此题考查了梯形的性质与等边三角形的性质．此题难度适中，解题的关键是根据题意画出符合要求的图形，然后利用数形结合思想求解．115．（2022•鞍山）如图，△ABC内接于⊙O，AB、CD为⊙O直径，DE⊥AB于点E，sinA=，2则∠D的度数是．15.30°考点：圆周角定理；特殊角的三角函数值．专题：计算题．分析：由圆周角定理、特殊角的三角函数值求得∠CAB=30°；然后根据直角三角形的两个锐角互余的性质、等腰三角形的性质、对顶角相等求得∠EOD=∠COB=60°；最后在直角三角形ODE中求得∠D的度数．解答：解：∵AB为⊙O直径，∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角是直角）；1又∵sinA=，2∴∠CAB=30°，21\n∴∠ABC=60°（直角三角形的两个锐角互余）；又∵点O是AB的中点，∴OC=OB，∴∠OCB=OBC=60°，∴∠COB=60°，∴∠EOD=∠COB=60°（对顶角相等）；又∵DE⊥AB，∴∠D=90°-60°=30°．故答案是：30°．点评：本题综合考查了圆周角定理、特殊角的三角函数值．解题时，注意“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这一知识点的利用．三、解答题16．（2022•荆门）如图所示为圆柱形大型储油罐固定在U型槽上的横截面图．已知图中ABCD为等腰梯形（AB∥DC），支点A与B相距8m，罐底最低点到地面CD距离为1m．设油罐横截面圆心为O，半径为5m，∠D=56°，求：U型槽的横截面（阴影部分）的面积．（参考数据：sin53°≈0.8，tan56°≈1.5，π≈3，结果保留整数）考点：垂径定理的应用；勾股定理；等腰梯形的性质；解直角三角形的应用．分析：连接AO、BO．过点A作AE⊥DC于点E，过点O作ON⊥DC于点N，ON交⊙O于点M，交AB于点F，则OF⊥AB，先根据垂径定理求出AF的值，再在在Rt△AOF中利用锐角三角函数的定义求出∠AOB的度数，由勾股定理求出OF的长，根据四边形ABCD是等腰梯形求出AE的长，再由S阴=S梯形ABCD-（S扇OAB-S△OAB）即可得出结论．解答：解：如图，连接AO、BO．过点A作AE⊥DC于点E，过点O作ON⊥DC于点N，ON交⊙O于点M，交AB于点F．则OF⊥AB．∵OA=OB=5m，AB=8m，1∴AF=BF=AB=4（m），∠AOB=2∠AOF，2AF在Rt△AOF中，sin∠AOF==0.8=sin53°，AO∴∠AOF=53°，则∠AOB=106°，22∵OF=OAAF=3（m），由题意得：MN=1m，∴FN=OM-OF+MN=3（m），∵四边形ABCD是等腰梯形，AE⊥DC，FN⊥AB，22\n∴AE=FN=3m，DC=AB+2DE．AE3在Rt△ADE中，tan56°=，DE2∴DE=2m，DC=12m．11061∴S=S-（S-S）=（8+12）×3-（π×52-×8×3）=20（m2）．阴梯形ABCD扇OAB△OAB23602答：U型槽的横截面积约为20m2．点评：本题考查的是垂径定理的应用及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形及等腰梯形，再利用勾股定理进行求解是解答此题的关键．17．（2022•南通）如图，⊙O的半径为17cm，弦AB∥CD，AB=30cm，CD=16cm，圆心O位于AB，CD的上方，求AB和CD的距离．考点：垂径定理；勾股定理．专题：探究型．分析：过点O作弦AB的垂线，垂足为E，延长AE交CD于点F，连接OA，OC；由于AB∥CD，则OF⊥CD，EF即为AB、CD间的距离；由垂径定理，易求得AE、CF的长，可连接OA、ODC在构建的直角三角形中，根据勾股定理即可求出OE、OF的长，也就求出了EF的长，即弦AB、CD间的距离．解答：解：过点O作弦AB的垂线，垂足为E，延长AE交CD于点F，连接OA，OC，∵AB∥CD，∴OF⊥CD，∵AB=30cm，CD=16cm，1111∴AE=AB=×30=15cm，CF=CD=×16=8cm，2222在Rt△AOE中，2222OE=OAAE1715=8cm，在Rt△OCF中，2222OF=OCCF178=15cm，23\n∴EF=OF-OE=15-8=7cm．答：AB和CD的距离为7cm．点评：本题考查的是勾股定理及垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．18．（2022•宁夏）在⊙O中，直径AB⊥CD于点E，连接CO并延长交AD于点F，且CF⊥AD．求∠D的度数．考点：垂径定理；等边三角形的判定与性质．分析：连接BD，根据平行线的性质可得：BD∥CF，则∠BDC=∠C，根据圆周角定理可得11∠BDC=∠BOC，则∠C=∠BOC，根据直角三角形的两个锐角互余即可求解．22解答：解：方法一：连接BD．∵AB⊙O是直径，∴BD⊥AD又∵CF⊥AD，∴BD∥CF，∴∠BDC=∠C．1又∵∠BDC=∠BOC，21∴∠C=∠BOC．2∵AB⊥CD，∴∠C=30°，∴∠ADC=60°．方法二：设∠D=x，∵CF⊥AD，AB⊥CD，∠A=∠A，∴△AFO∽△AED，∴∠D=∠AOF=x，∴∠ADC=2∠ADC=2x，∴x+2x=180，∴x=60，24\n∴∠ADC=60°．1点评：本题考查了圆周角定理以及直角三角形的性质，正确得到∠C=∠BOC是解题的关2键．19．（2022•长沙）如图，A，P，B，C是半径为8的⊙O上的四点，且满足∠BAC=∠APC=60°，（1）求证：△ABC是等边三角形；（2）求圆心O到BC的距离OD．考点：圆周角定理；等边三角形的判定；垂径定理；解直角三角形．专题：探究型．分析：（1）先根据圆周角定理得出∠ABC的度数，再直接根据三角形的内角和定理进行解答即可；（2）连接OB，由等边三角形的性质可知，∠OBD=30°，根据OB=8利用直角三角形的性质即可得出结论．解答：解：（1）在△ABC中，∵∠BAC=∠APC=60°，又∵∠APC=∠ABC，∴∠ABC=60°，∴∠ACB=180°-∠BAC-∠ABC=180°-60°-60°=60°，∴△ABC是等边三角形；（2）∵△ABC为等边三角形，⊙O为其外接圆，∴O为△ABC的外心，∴BO平分∠ABC，∴∠OBD=30°，1∴OD=8×=4．225\n点评：本题考查了圆周角定理、等边三角形的判定，垂径定理，解直角三角形等知识，将各知识点有机结合，旨在考查同学们的综合应用能力．20．（2022•大庆）如图△ABC中，BC=3，以BC为直径的⊙O交AC于点D，若D是AC中点，∠ABC=120°．（1）求∠ACB的大小；（2）求点A到直线BC的距离．考点：圆周角定理；等腰三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形．分析：（1）根据垂直平分线的性质得出AB=BC，进而得出∠A=∠C=30°即可；（2）根据BC=3，∠ACB=30°，∠BDC=90°，得出CD的长，进而求出AE的长度即可．解答：解：（1）连接BD，∵以BC为直径的⊙O交AC于点D，∴∠BDC=90°，∵D是AC中点，∴BD是AC的垂直平分线，∴AB=BC，∴∠A=∠C，∵∠ABC=120°，∴∠A=∠C=30°，即∠ACB=30°；（2）过点A作AE⊥BC于点E，26\n∵BC=3，∠ACB=30°，∠BDC=90°，CDCD∴cos30°==，BC333∴CD=，2∵AD=CD，∴AC=33，∵在Rt△AEC中，∠ACE=30°，133∴AE=33=．22点评：此题主要考查了圆周角定理、等腰三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质，根据已知得出CD的长度是解题关键．21．（2022•怀化）如图，已知AB是⊙O的弦，OB=4，∠OBC=30°，点C是弦AB上任意一点（不与点A、B重合），连接CO并延长CO交⊙O于点D，连接AD、DB．（1）当∠ADC=18°时，求∠DOB的度数；（2）若AC=23，求证：△ACD∽△OCB．考点：圆周角定理；等腰三角形的性质；勾股定理；垂径定理；相似三角形的判定．专题：证明题；几何综合题．分析：（1）连接OA，根据OA=OB=OD，求出∠DAO、∠OAB的度数，求出∠DAB，根据圆周角定理求出即可；（2）过O作OE⊥AB于E，根据垂径定理求出AE和BE，求出AB，推出C、E重合，得ACDC出∠ACD=∠OCB=90°，求出DC长得出，根据相似三角形的判定推出即可．OCBC解答：（1）解：连接OA，27\n∵OA=OB=OD，∴∠OAB=∠OBC=30°，∠OAD=∠ADC=18°，∴∠DAB=∠DAO+∠BAO=48°，由圆周角定理得：∠DOB=2∠DAB=96°．（2）证明：过O作OE⊥AB于E，由垂径定理得：AE=BE，∵在Rt△OEB中，OB=4，∠OBC=30°，1∴OE=OB=2，2由勾股定理得：BE=23=AE，即AB=2AE=43，∵AC=23，∴BC=23，即C、E两点重合，∴DC⊥AB，∴∠DCA=∠OCB=90°，∵DC=OD+OC=2+4=6，OC=2，AC=BC=23，ACDC∴=3，OCBC∴△ACD∽△OCB（两边对应成比例，且夹角相等的两三角形相似）．点评：本题综合考查了垂径定理，圆周角定理，相似三角形的判定，勾股定理，等腰三角形的性质的应用，主要考查学生能否运用性质进行推理，题目综合性比较强，是一道比较好的题目．28\n29
