第七单元圆第24讲 圆的有关性质纲要求命题趋势1．理解圆的有关概念和性质，了解圆心角、弧、弦之间的关系．2．了解圆心角与圆周角及其所对弧的关系，掌握垂径定理及推论. 中考主要考查圆的有关概念和性质，与垂径定理有关的计算，与圆有关的角的性质及其应用．题型以选择题、填空题为主.知识梳理一、圆的有关概念及其对称性1．圆的定义(1)圆是平面内到一定点的距离等于定长的所有点组成的图形．这个定点叫做________，定长叫做________；(2)平面内一个动点绕一个定点旋转一周所形成的图形叫做圆，定点叫做圆心，定点与动点的连线段叫做半径．2．圆的有关概念(1)连接圆上任意两点的________叫做弦；(2)圆上任意两点间的________叫做圆弧，简称弧．(3)________相等的两个圆是等圆．(4)在同圆或等圆中，能够互相________的弧叫做等弧．3．圆的对称性(1)圆的轴对称性：圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴；(2)圆的中心对称性：圆是以圆心为对称中心的中心对称图形；(3)圆是旋转对称图形：圆绕圆心旋转任意角度，都能和原来的图形重合．这就是圆的旋转不变性．二、垂径定理及推论1．垂径定理垂直于弦的直径________这条弦，并且________弦所对的两条弧．2．推论1(1)平分弦(________)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；(2)弦的垂直平分线经过________，并且平分弦所对的________弧；(3)平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．3．推论2圆的两条平行弦所夹的弧________．4．(1)过圆心；(2)平分弦(不是直径)；(3)垂直于弦；(4)平分弦所对的优弧；(5)平分弦所对的劣弧．若一条直线具备这五项中任意两项，则必具备另外三项．三、圆心角、弧、弦之间的关系1．定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧________，所对的弦________．2．推论12\n同圆或等圆中：(1)两个圆心角相等；(2)两条弧相等；(3)两条弦相等．三项中有一项成立，则其余对应的两项也成立．四、圆心角与圆周角1．定义顶点在________上的角叫做圆心角；顶点在________上，角的两边和圆都________的角叫做圆周角．2．性质(1)圆心角的度数等于它所对的______的度数．(2)一条弧所对的圆周角的度数等于它所对________的度数的一半．(3)同弧或等弧所对的圆周角________，同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧________．(4)半圆(或直径)所对的圆周角是______，90°的圆周角所对的弦是________．五、圆内接四边形的性质圆内接四边形的对角互补．自主测试1．如图，⊙O的弦AB垂直平分半径OC，若AB＝，则⊙O的半径为( )A．B．2C．D．2．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC＝60°，若⊙O的半径OC为2，则弦BC的长为( )12\n5．如图，在平面直角坐标系中，⊙A与y轴相切于原点O，平行于x轴的直线交⊙A于M，N两点，若点M的坐标是(－4，－2)，则弦MN的长为__________．(第5题图)考点一、垂径定理及推论【例1】在圆柱形油槽内装有一些油．截面如图，油面宽AB为6分米，如果再注入一些油后，油面AB上升1分米，油面宽变为8分米，圆柱形油槽直径MN为( )12\nA．6分米B．8分米C．10分米D．12分米分析：如图，油面AB上升1分米得到油面CD，依题意得AB＝6，CD＝8，过O点作AB的垂线，垂足为E，交CD于F点，连接OA，OC，由垂径定理，得AE＝AB＝3，CF＝CD＝4，设OE＝x，则OF＝x－1，在Rt△OAE中，OA2＝AE2＋OE2，在Rt△OCF中，OC2＝CF2＋OF2，由OA＝OC，列方程求x即可求得半径OA，得出直径MN.解析：如图，依题意得AB＝6，CD＝8，过O点作AB的垂线，垂足为E，交CD于F点，连接OA，OC，由垂径定理，得AE＝AB＝3，CF＝CD＝4，设OE＝x，则OF＝x－1，在Rt△OAE中，OA2＝AE2＋OE2，在Rt△OCF中，OC2＝CF2＋OF2，∵OA＝OC，∴32＋x2＝42＋(x－1)2，解得x＝4，∴半径OA＝＝5，∴直径MN＝2OA＝10(分米)．故选C.答案：C方法总结有关弦长、弦心距与半径的计算，常作垂直于弦的直径，利用垂径定理和解直角三角形来达到求解的目的．触类旁通1如图所示，若⊙O的半径为13cm，点P是弦AB上一动点，且到圆心的最短距离为5cm，则弦AB的长为__________cm.考点二、圆心(周)角、弧、弦之间的关系【例2】如图，已知A，B，C，D是⊙O上的四个点，AB＝BC，BD交AC于点E，连接CD，AD.12\n(1)求证：DB平分∠ADC；(2)若BE＝3，ED＝6，求AB的长．解：(1)证明：∵AB＝BC，∴.∴∠ADB＝∠BDC，∴DB平分∠ADC.(2)由(1)知，∴∠BAE＝∠ADB.∵∠ABE＝∠ABD，∴△ABE∽△DBA.∴＝.∵BE＝3，ED＝6，∴BD＝9.∴AB2＝BE·BD＝3×9＝27.∴AB＝3.方法总结圆心角、弧、弦之间的关系定理，提供了从圆心角到弧到弦的转化方式，为我们证明角相等、线段相等和弧相等提供了新思路，解题时要根据具体条件灵活选择应用．触类旁通2如图，AB是⊙O的直径，C，D两点在⊙O上，若∠C＝40°，则∠ABD的度数为( )A．40°B．50°C．80°D．90°考点三、圆周角定理及推论【例3】如图，若AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD＝58°，则∠BCD＝( )A．116°B．32°12\nC．58°D．64°解析：根据圆周角定理求得，∠AOD＝2∠ABD＝116°(同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半)，∠BOD＝2∠BCD(同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半)；根据平角是180°知∠BOD＝180°－∠AOD.还有一种解法，即利用直径所对的圆周角等于90°，可得∠ADB＝90°，则∠DAB＝90°－∠ABD＝32°，∵∠DAB＝∠DCB，∴∠DCB＝32°.答案：B方法总结求圆中角的度数时，通常要利用圆周角与圆心角或圆心角与弧之间的关系．触类旁通3如图，点A，B，C，D都在⊙O上，的度数等于84°，CA是∠OCD的平分线，则∠ABD＋∠CAO＝__________.A．CM＝DMB．C．∠ACD＝∠ADCD．OM＝MD3．(2022浙江湖州)如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AC是⊙O的直径，∠C＝50°，∠ABC的平分线BD交⊙O于点D，则∠BAD的度数是( )12\n(第3题图)A．45°B．85°C．90°D．95°4．(2022浙江衢州)工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是10mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，如图所示，则这个小圆孔的宽口AB的长度为__________mm.7．(2022湖南长沙)如图，A，P，B，C是半径为8的⊙O上的四点，且满足∠BAC＝∠APC＝60°.12\n(1)求证：△ABC是等边三角形；(2)求圆心O到BC的距离OD.1．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果AB＝10，CD＝8，那么线段OE的长为( )A．5B．4C．3D．22．如图，直径为10的⊙A经过点C(0,5)和点O(0,0)，B是y轴右侧⊙A优弧上一点，则∠OBC的余弦值为( )A．B．C．D．3．一条排水管的截面如图所示．已知排水管的截面圆半径OB＝10，截面圆圆心O到水面的距离OC是6，则水面宽AB是( )A．16 B．10C．8D．64．如图，小华同学设计了一个圆直径的测量器，标有刻度的尺子OA，OB在O点钉在一起，并使它们保持垂直，在测直径时，把O点靠在圆周上，读得刻度OE＝8个单位，OF＝6个单位，则圆的直径为( )12\n(第4题图)A．12个单位B．10个单位C．4个单位D．15个单位5．已知如图，在圆内接四边形ABCD中，∠B＝30°，则∠D＝__________.(第5题图)6．如图，过A，C，D三点的圆的圆心为E，过B，F，E三点的圆的圆心为D，如果∠A＝63°，那么∠DBE＝__________.(第6题图)7．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AD⊥BC于D点，且AC＝5，DC＝3，AB＝4，则⊙O的直径等于________．(第7题图)8．如图，在圆内接四边形ABCD中，CD为∠BCA外角的平分线，F为弧AD上一点，BC＝AF，延长DF与BA的延长线交于点E.求证：12\n(1)△ABD为等腰三角形；(2)AC·AF＝DF·FE.参考答案导学必备知识自主测试1．A 2．D 3．60° 4．90°5．3 如图，过点A作AB⊥MN，连接AM，设MB为x，则AM＝AO＝4－x.在Rt△AMB中，∵AM2＝MB2＋AB2，∴(4－x)2＝x2＋22，解得x＝.∴MN＝2MB＝3.探究考点方法触类旁通1．24 连接OA，当OP⊥AB时，OP最短，此时OP＝5cm，且AB＝2AP.在Rt△AOP中，AP＝＝＝12，所以AB＝24cm.触类旁通2．B 由题意，得∠A＝∠C＝40°，由直径所对的圆周角是直角，得∠ADB＝90°，根据直角三角形两锐角互余或三角形内角和定理得∠A＋∠ABD＝90°，从而得∠ABD＝50°.触类旁通3．48° 因为的度数等于84°，所以∠COD＝84°.因为OC＝OD，所以∠OCD＝48°.因为CA是∠OCD的平分线，所以∠ACD＝∠ACO＝24°，因为OA＝OC，所以∠OAC＝∠ACO＝24°，因为∠ABD＝∠ACD＝24°，所以∠ABD＋∠CAO＝48°.品鉴经典考题1．A ∵OA⊥OB，∴∠AOB＝90°，∴∠ACB＝45°.故选A.2．D ∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，∴M为CD的中点，即CM＝DM，选项A成立；B为的中点，即CB＝DB，选项B成立；12\n在△ACM和△ADM中，∵AM＝AM，∠AMC＝∠AMD＝90°，CM＝DM，∴△ACM≌△ADM(SAS)，∴∠ACD＝∠ADC，选项C成立；而OM与MD不一定相等，选项D不成立．故选D.3．B ∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°.∵∠ABC的平分线BD交⊙O于点D，∴∠ABD＝45°.∵∠C＝50°，∴∠D＝50°，∴∠BAD的度数是180°－45°－50°＝85°.4．8 如图所示，在⊙O中，连接OA，过点O作OD⊥AB于点D，则AB＝2AD.∵钢珠的直径是10mm，∴钢珠的半径是5mm.∵钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，∴OD＝3mm.在Rt△AOD中，∵AD＝＝＝4(mm)．∴AB＝2AD＝2×4＝8(mm)．故答案为8.5．2 ∵AB是⊙O的弦，OC⊥AB于C，AB＝2，∴BC＝AB＝.∵OC＝1，∴在Rt△OBC中，OB＝＝＝2.故答案为2.6．150 因为∠AOC＝60°，则它所对的弧度为60°，所以∠ABC所对的弧度为300°.因为∠ABC是圆周角，所以∠ABC＝150°.7．(1)证明：在△ABC中，∵∠BAC＝∠APC＝60°，∠APC＝∠ABC，∴∠ABC＝60°，∴∠ACB＝180°－∠BAC－∠ABC＝180°－60°－60°＝60°，∴△ABC是等边三角形．(2)解：如图，连接OB，则OB＝8，∠OBD＝30°.又∵OD⊥BC于D，∴OD＝OB＝4.研习预测试题12\n1．C 2．C 3．A 4．B5．150° 6．18°7．5 连接AO并延长交圆于点E，连接BE.(如图)∵AE为⊙O的直径，∴∠ABE＝90°.∴∠ABE＝∠ADC.又∵∠AEB＝∠ACD，∴△ABE∽△ADC.∴＝.∵在Rt△ADC中，AC＝5，DC＝3，∴AD＝4.∴AE＝5.8．证明：(1)由圆的性质知∠MCD＝∠DAB，∠DCA＝∠DBA，而∠MCD＝∠DCA，∴∠DBA＝∠DAB，故△ABD为等腰三角形．(2)∵∠DBA＝∠DAB，∴.又∵BC＝AF，∴，∠CDB＝∠FDA，∴，∴CD＝DF.由“圆的内接四边形外角等于它的内对角”知，∠AFE＝∠DBA＝∠DCA，①∠FAE＝∠BDE.∴∠CDA＝∠CDB＋∠BDA＝∠FDA＋∠BDA＝∠BDE＝∠FAE，②由①②得△CDA∽△FAE.∴＝，∴AC·AF＝CD·FE.而CD＝DF，∴AC·AF＝DF·FE.12
