课时训练(二十七) 圆的有关性质(限时:30分钟)|夯实基础|1.下列四个命题:①直径所对的圆周角是直角;②圆既是轴对称图形,又是中心对称图形;③在同圆中,相等的圆周角所对的弦相等;④三点确定一个圆.其中正确命题的个数为( )A.1B.2C.3D.42.若☉O的半径是5,点A到圆心O的距离是7,则点A与☉O的位置关系是( )A.点A在☉O上B.点A在☉O内C.点A在☉O外D.点A与圆心O重合3.[2022·永州]小红不小心把家里的一块圆形玻璃镜打碎了,需要配制一块同样大小的玻璃镜,工人师傅在一块如图K27-1所示的玻璃镜残片的边缘描出了点A,B,C,给出三角形ABC,则这块玻璃镜的圆心是( )图K27-1A.AB,AC边上的中线的交点12\nB.AB,AC边上的垂直平分线的交点C.AB,AC边上的高所在直线的交点D.∠BAC与∠ABC的角平分线的交点4.[2022·聊城]如图K27-2,☉O中,弦BC与半径OA相交于点D,连接AB,OC.若∠A=60°,∠ADC=85°,则∠C的度数是( )图K27-2A.25°B.27.5°C.30°D.35°5.[2022·邵阳]如图K27-3所示,四边形ABCD为☉O的内接四边形,∠BCD=120°,则∠BOD的大小是( )图K27-3A.80°B.120°C.100°D.90°6.[2022·枣庄]如图K27-4,AB是☉O的直径,弦CD交AB于点P,AP=2,BP=6,∠APC=30°,则CD的长为( )图K27-4A.15 B.2512\nC.215 D.87.[2022·大连]如图K27-5,在☉O中,弦AB=8cm,OC⊥AB,垂足为C,OC=3cm,则☉O的半径为 cm. 图K27-58.如图K27-6,已知AB是☉O的弦,半径OC垂直于AB,点D是☉O上一点,且点D与点C位于弦AB两侧,连接AD,CD,OB,若∠BOC=68°,则∠ADC= 度. 图K27-69.[2022·北京]如图K27-7,AB为☉O的直径,C,D为☉O上的点,AD=CD,若∠CAB=40°,则∠CAD= . 图K27-710.[2022·西宁]如图K27-8,四边形ABCD内接于☉O,点E在BC的延长线上,若∠BOD=120°,则∠DCE= . 图K27-812\n11.[2022·黄冈]如图K27-9,△ABC内接于☉O,AB为☉O的直径,∠CAB=60°,弦AD平分∠CAB,若AD=6,则AC= . 图K27-912.[2022·绥化]如图K27-10,一下水管道横截面为圆形,直径为100cm,下雨前水面宽为60cm,一场大雨过后,水面宽为80cm,则水位上升了 cm. 图K27-1013.如图K27-11,已知△ABC,以AB为直径的☉O分别交AC于D,BC于E,连接ED,若ED=EC.图K27-11(1)求证:AB=AC;(2)若AB=4,BC=23,求CD的长.12\n14.[2022·苏州改编]如图K27-12,已知△ABC内接于☉O,AB是直径,点D在☉O上,OD∥BC,过点D作DE⊥AB,垂足为E,连接CD交OE于点F.图K27-12(1)求证:△DOE∽△ABC;(2)求证:∠ODF=∠BDE.|拓展提升|12\n15.[2022·湘潭]如图K27-13,AB是以O为圆心的半圆的直径,半径CO⊥AO,点M是AB上的动点,且不与点A,C,B重合,直线AM交直线OC于点D,连接OM与CM.(1)若半圆的半径为10;①当∠AOM=60°时,求DM的长;②当AM=12时,求DM的长.(2)探究:在点M运动的过程中,∠DMC的大小是否为定值?若是,求出该定值;若不是,请说明理由.图K27-1312\n参考答案1.C2.C [解析]∵☉O的半径是5,点A到圆心O的距离是7,即点A到圆心O的距离大于圆的半径,∴点A在☉O外.3.B [解析]本题实质上是要确定三角形外接圆的圆心,三角形外接圆的圆心是三边垂直平分线的交点,故选B.4.D [解析]∵∠A=60°,∠ADC=85°,∴∠B=∠ADC-∠A=85°-60°=25°,∴∠O=2∠B=2×25°=50°,∴∠C=∠ADC-∠O=85°-50°=35°.5.B [解析]根据“圆内接四边形的对角互补”可得∠BCD+∠A=180°,因为∠BCD=120°,所以∠A=60°.又根据“在同圆中,同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍”,所以∠BOD=2∠A=120°.故选B.6.C [解析]过点O作OE⊥CD于E,连接OC.∵AP=2,BP=6,∴AB=8,∴OA=OB=4,∴OP=2,∵∠APC=30°,∴OE=12OP=1.在Rt△OCE中,CE=OC2-OE2=15.∵OE⊥CD,O是圆心,∴CD=2CE=215.故选C.12\n7.5 [解析]由于在☉O中,弦AB=8cm,OC⊥AB,所以BC=12AB=4cm.连接OB,则OB=OC2+BC2=32+42=5(cm),故答案为5.8.34 [解析]如图,连接OA.∵OC⊥AB,∴AC=BC,∴∠AOC=∠COB=68°,∴∠ADC=12∠AOC=34°.9.25° [解析]连接BC,BD,∵AB是☉O的直径,C,D为☉O上的点,∴∠ACB=90°.∵∠CAB=40°,∴∠CBA=50°.∵AD=CD,∴∠CBD=∠DBA=12∠CBA=25°,∴∠CAD=∠CBD=25°.10.60° [解析]∵∠BOD=120°,∴∠BAD=60°,又∠BAD+∠BCD=180°,∠DCE+∠BCD=180°,∴∠DCE=∠BAD=60°.11.23 [解析]连接BD,因为∠CAB=60°,弦AD平分∠CAB,所以∠DAB=30°,因为AB是☉O的直径,所以∠C=∠D=90°,所以AB=ADcos30°=43,因为∠C=90°,∠CAB=60°,所以∠ABC=30°,所以AC=AB·sin30°=23.12.10或70 [解析]作OD⊥AB于C,OD交☉O于点D,连接OB,12\n由垂径定理得:BC=12AB=30cm,在Rt△OBC中,OC=OB2-BC2=40(cm),当水位上升到圆心以下且水面宽80cm时,圆心到水面距离=502-402=30(cm),水面上升的高度为:40-30=10(cm);当水位上升到圆心以上且水面宽80cm时,水面上升的高度为:40+30=70(cm),综上可得,水面上升的高度为10cm或70cm.故答案为10或70.13.解:(1)证明:∵ED=EC,∴∠EDC=∠C.∵∠EDC=∠B,∴∠B=∠C,∴AB=AC.(2)连接AE,∵AB为直径,∴AE⊥BC,由(1)知AB=AC,∴BE=CE=12BC=3.∵四边形ABED为☉O的内接四边形,12\n∴∠CED=∠BAC.又∵∠C=∠C,∴△CED∽△CAB,∴CECA=CDBC,∴CE·CB=CD·CA,∵AC=AB=4,∴3×23=4CD,∴CD=32.14.证明:(1)∵AB是☉O的直径,∴∠ACB=90°.∵DE⊥AB,∴∠DEO=90°,∴∠DEO=∠ACB.∵OD∥BC,∴∠DOE=∠ABC,∴△DOE∽△ABC.(2)∵△DOE∽△ABC,∴∠ODE=∠A.∵∠A和∠BDC都是BC所对的圆周角,∴∠A=∠BDC,∴∠ODE=∠BDC.∴∠ODF=∠BDE.15.[解析](1)①当∠AOM=60°时,∠D=30°,△AMO为等边三角形,然后根据含有30°角的直角三角形的性质得到AD=2AO,再结合△AMO为等边三角形求出DM的长;②连接BM,则可得∠AMB=90°,根据两个角分别对应相等的三角形是相似三角形得到△AOD∽△AMB,从而得到AMAO=ABAD,求出AD的长,进而求出DM的长;(2)在图①中,由于AB是直径,所以∠AMB=90°,所以∠DMC+∠CMB=90°,然后根据BC所对的圆心角与圆周角的关系得到∠CMB=12∠COB,从而得到∠DMC的度数为45°,是一个定值;在图②中,∠DMC=12∠AOC=45°,从而得到∠DMC的度数仍然是一个定值.解:(1)①当∠AOM=60°时,∵OM=OA,12\n∴△AMO是等边三角形,∴∠A=∠MOA=60°,AM=AO=10.∵CO⊥AO,∴∠D=30°,∴AD=2AO=20,∴DM=AD-AM=10.②连接MB,∵AB是直径,∴∠AMB=90°,∵CO⊥AO,∴∠AOD=90°,∵∠A=∠A,∴△ADO∽△ABM,∴AMAO=ABAD,∵AO=10,AM=12,∴AD=503,∴DM=AD-AM=143.(2)∠DMC的大小是定值.当点M位于AC之间时,连接BM,如图:∵AB是直径,∴∠AMB=90°,∴∠DMC+∠CMB=90°.∵∠CMB=12∠COB=45°,∴∠DMC=45°.当点M位于BC之间时,∠DMC=12∠AOC=45°.12\n综上所述,∠DMC=45°,是定值.12
