第1讲 概 率一、选择题1.(2022·广东卷)已知5件产品中有2件次品，其余为合格品.现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为( )A.0.4B.0.6C.0.8D.1解析 5件产品中有2件次品，记为a，b，有3件合格品，记为c，d，e，从这5件产品中任取2件，结果有(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(c，d)，(c，e)，(d，e)共10种.恰有一件次品的结果有6种，则其概率为P＝＝0.6.答案 B2.(2022·新课标全国Ⅰ卷)4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为( )A.B.C.D.解析 4名同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动的情况有24＝16(种)，其中仅在周六(周日)参加的各有1种，∴所求概率为1－＝.故选D.答案 D3.(2022·山东卷)在区间[0，2]上随机地取一个数x，则事件“－1≤log≤1”发生的概率为( )A.B.C.D.解析 由－1≤≤1，得≤x＋≤2，∴0≤x≤.∴由几何概型的概率计算公式得所求概率P＝＝.答案 A4.若在区间[－5，5]内任取一个实数a，则使直线x＋y＋a＝0与圆(x－1)2＋(y＋2)25\n＝2有公共点的概率为( )A.B.C.D.解析 若直线与圆有公共点，则圆心(1，－2)到直线的距离d＝＝≤，解得－1≤a≤3.又－5≤a≤5，∴所求概率P＝＝.答案 B5.(2022·福建卷)如图，矩形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标为(1，0)，且点C与点D在函数f(x)＝的图象上.若在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于( )A.B.C.D.解析 由图形知C(1，2)，D(－2，2)，∴S四边形ABCD＝6，S阴＝×3×1＝.∴P＝＝.答案 B二、填空题6.(2022·江苏卷)袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________.解析 这两只球颜色相同的概率为，故两只球颜色不同的概率为1－＝.答案 7.在区间[－2，4]上随机地取一个数x，若x满足|x|≤m的概率为，则m＝________.解析 由|x|≤m，得－m≤x≤m.当m≤2时，由题意得＝，解得m＝2.5，矛盾，舍去.当2＜m＜4时，由题意得＝，解得m＝3.即m的值为3.答案 35\n8.(2022·安阳模拟)有一棱长为6cm的密闭的正方体，其内部自由飘浮着一气泡(大小忽略不计)，则该气泡距正方体的顶点不小于1cm的概率为________.解析 距离正方体的顶点小于1cm的所有点构成一个半径为1cm的球，其体积为cm3，正方体的体积为216cm3，故该气泡距正方体的顶点不小于1cm的概率为1－.答案 1－三、解答题9.(2022·北京卷)某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买.商品顾客人数 甲乙丙丁100√×√√217×√×√200√√√×300√×√×85√×××98×√××(1)估计顾客同时购买乙和丙的概率；(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；(3)如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？解 (1)从统计表可以看出，在这1000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为＝0.2.(2)从统计表可以看出，在这1000位顾客中，有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品.所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为＝0.3.(3)与(1)同理，可得：顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为＝0.2，顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为＝0.6，5\n顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为＝0.1.所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大.10.(2022·湖南卷)某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖.抽奖方法是：从装有2个红球A1，A2和1个白球B的甲箱与装有2个红球a1，a2和2个白球b1、b2的乙箱中，各随机摸出1个球，若摸出的2个球都是红球则中奖，否则不中奖.(1)用球的标号列出所有可能的摸出结果；(2)有人认为：两个箱子中的红球比白球多，所以中奖的概率大于不中奖的概率，你认为正确吗？请说明理由.解 (1)所有可能的摸出结果为：{A1，a1}，{A1，a2}，{A1，b1}，{A1，b2}，{A2，a1}，{A2，a2}，{A2，b1}，{A2，b2}；{B，a1}，{B，a2}，{B，b1}，{B，b2}共计12种结果.(2)不正确，理由如下：设“中奖”为事件A，则P(A)＝＝，P(A)＝1－＝，P(A)＜P(A)，故此种说法不正确.11.现有8名数理化成绩优秀者，其中A1，A2，A3数学成绩优秀，B1，B2，B3物理成绩优秀，C1，C2化学成绩优秀.从中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名，组成一个小组代表学校参加竞赛.(1)求C1被选中的概率；(2)求A1和B1不全被选中的概率.解 (1)从8人中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名，其一切可能的结果组成的基本事件空间为Ω＝{(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A1，B3，C1)，(A1，B3，C2)，(A2，B1，C1)，(A2，B1，C2)，(A2，B2，C1)，(A2，B2，C2)，(A2，B3，C1)，(A2，B3，C2)，(A3，B1，C1)，(A3，B1，C2)，(A3，B2，C1)，(A3，B2，C2)，(A3，B3，C1)，(A3，B3，C2)}.由18个基本事件组成.由于每一个基本事件被抽取的机会均等.因此这些基本事件的发生是等可能的.用M表示“C1恰被选中”这一事件，则M＝{(A1，B1，C1)，(A1，B2，C1)，(A1，B3，C1)，(A2，B1，C1)，(A2，B2，C1)，(A2，B3，C1)，(A3，B1，C1)，(A3，B2，C1)，(A3，B3，C1)}.事件M由9个基本事件组成，因而P(M)＝＝.(2)用N表示“A1，B1不全被选中”这一事件，则其对立事件N表示“A1，B1全被选中”这一事件，由于N＝{(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)}，事件N由2个基本事件组成，所以P(N)＝＝.5\n由对立事件的概率公式得P(N)＝1－P(N)＝1－＝.5
