第一部分 第六章 第25讲命题点1 弧长及面积的相关计算1．(2022·云南8题3分)若扇形面积为3π，圆心角为60°，则该扇形的半径为( D )A．3 B．9 C．2 D．32．(2022·云南7题3分)已知扇形的圆心角为45°，半径为12，则该扇形的弧长为( C )A．B．2πC．3πD．12π命题点2 圆柱、圆锥的相关计算3．(2022·云南6题3分)如果圆柱的侧面展开图是相邻两边长分别为6,16π的长方形，那么这个圆柱的体积等于__144或384π__.4．(2022·曲靖12题3分)如果一个圆锥的主视图是等边三角形，俯视图是面积为4π的圆，那么它的左视图的高是__2__.5．(2022·云南13题4分)正如我们小学学过的圆锥体积公式V＝πr2h(π表示圆周率，r表示圆锥的底面半径，h表示圆锥的高)一样，许多几何量的计算都要用到π.祖冲之是世界上第一个把π计算到小数点后7位的中国古代科学家，创造了当时世界上的最高水平，差不多过了1000年，才有人把π计算得更精确．在辉煌成就的背后，我们来看看祖冲之付出了多少．现在的研究表明，仅仅就计算来讲，他至少要对9位数字反复进行130次以上的各种运算，包括开方在内．即使今天我们用纸笔来算，也绝不是一件轻松的事情，何况那时候没有现在的纸笔，数学计算不是用现在的阿拉伯数字，而是用算筹(小竹棍或小竹片)进行的，这需要怎样的细心和毅力啊！他这种严谨治学的态度，不怕复杂计算的毅力，值得我们学习．下面我们就来通过计算解决问题：已知圆锥的侧面展开图是个半圆，若该圆锥的体积等于9π，则这个圆锥的高等于( D )A．5πB．5C．3πD．3命题点3 阴影部分面积的相关计算6．(2022·昆明6题3分)如图，正六边形ABCDEF的边长为1，以点A为圆心，AB的长为半径，作扇形ABF，则图中阴影部分的面积为__－__(结果保留根号和π)．3\n7．(2022·昆明22题8分)如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，D是边AC上的一点，连接BD，使∠A＝2∠1，E是BC上的一点，以BE为直径的⊙O经过点D．(1)求证：AC是⊙O的切线；(2)若∠A＝60°，⊙O的半径为2，求阴影部分的面积．(结果保留根号和π)(1)证明：连接OD，∵OB＝OD，∴∠1＝∠2，∴∠DOC＝2∠1.∵∠A＝2∠1，∴∠A＝∠DOC．∵∠ABC＝90°，∴∠A＋∠C＝90°，∴∠DOC＋∠C＝90°，∴∠ODC＝90°.∵OD为半径，∴AC是⊙O的切线．(2)解：∵∠A＝∠DOC＝60°，OD＝2，∴在Rt△ODC中，tan60°＝，∴DC＝OD·tan60°＝2×＝2，∴SRt△ODC＝OD·DC＝×2×2＝2，∴S扇形DOE＝＝＝π，∴S阴影＝SRt△ODC－S扇形DOE＝2－π.8．(2022·昆明22题9分)如图，AB是⊙O的直径，∠BAC＝90°，四边形EBOC是平行四边形，EB交⊙O于点D，连接CD并延长交AB的延长线于点F.(1)求证：CF是⊙O的切线；(2)若∠F＝30°，EB＝4，求图中阴影部分的面积．(结果保留根号和π)3\n(1)证明：连接OD．∵四边形OBEC是平行四边形，∴OC∥BE，∴∠AOC＝∠OBE，∠COD＝∠ODB．∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB，∴∠DOC＝∠AOC，在△COD和△COA中，∴△COD≌△COA(SAS)，∴∠CAO＝∠CDO＝90°，∴CF⊥OD，∴CF是⊙O的切线．(2)解：∵∠F＝30°，∠ODF＝90°，∴∠DOF＝∠AOC＝∠COD＝60°.∵OD＝OB，∴△OBD是等边三角形，∴∠DBO＝60°.∵∠DBO＝∠F＋∠FDB，∴∠FDB＝∠DBO－∠F＝30°.又∵∠FDB＝∠CDE，∴∠FDB＝∠EDC＝30°.∵EC∥OB，∴∠E＝180°－∠OBD＝120°，∴∠ECD＝180°－∠E－∠EDC＝30°，∴EC＝ED＝BO＝DB．∵EB＝4，∴OB＝OD＝OA＝2.在Rt△AOC中，∵OA＝2，∠AOC＝60°，∴AC＝OA·tan60°＝2，∴S阴影＝2S△AOC－S扇形OAD＝2××2×2－＝4－.3
