第一部分 第六章 第24讲1．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，过点C的切线交AB的延长线于点F，连接DF.(1)求证：DF是⊙O的切线；(2)连接BC，若∠BCF＝30°，BF＝2，求CD的长．(1)证明：连接OD，如答图，答图∵CF是⊙O的切线，∴∠OCF＝90°，∴∠OCD＋∠DCF＝90°.∵直径AB⊥弦CD，∴CE＝ED，即OF为CD的垂直平分线，∴CF＝DF，∴∠CDF＝∠DCF.∵OC＝OD，∴∠CDO＝∠OCD，∴∠CDO＋∠CDF＝∠OCD＋∠DCF＝90°，∴OD⊥DF，∴DF是⊙O的切线．(2)解：连接BC，∵∠OCF＝90°，∠BCF＝30°，∴∠OCB＝60°.∵OC＝OB，∴△OCB为等边三角形，∴∠COB＝60°，∴∠CFO＝30°，∴FO＝2OC＝2OB，∴FB＝OB＝OC＝2.在Rt△OCE中，∵∠CEO＝90°，∠COE＝60°，∴sin∠COE＝＝，∴CE＝，∴CD＝2CE＝2.2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，过点D作⊙O的切线，交BC于点E.2\n(1)求证：BE＝EC；(2)若∠B＝30°，AC＝2，求DB的长．(1)证明：如答图，连接DO，CD，答图∵∠ACB＝90°，AC为⊙O的直径，∴EC为⊙O的切线．又∵ED为⊙O的切线，∴EC＝ED．又∵∠EDO＝90°，∴∠BDE＋∠ADO＝90°，∴∠BDE＋∠A＝90°.又∵∠B＋∠A＝90°，∴∠BDE＝∠B，∴BE＝ED，∴BE＝EC．(2)解：∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝2，∴AB＝2AC＝4，∴BC＝＝6.∵AC为⊙O的直径，∴∠BDC＝∠ADC＝90°.又∵∠B＝30°，∴CD＝BC＝3，∴DB＝＝3.2
