第一部分 第六章 课时23命题点一 切线的性质与判定1．(2022·遵义)如图，△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝6.P是底边BC上的一个动点(P与B，C不重合)，以P为圆心，PB为半径的⊙P与射线BA交于点D，射线PD交射线CA于点E.(1)若点E在线段CA的延长线上，设BP＝x，AE＝y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；(2)当BP＝2时，试说明射线CA与⊙P是否相切；(3)连接PA，若S△APE＝S△ABC，求BP的长．解：(1)过A作AF⊥BC于F，过P作PH⊥AB于H，如答图1.∵∠BAC＝120°，AB＝AC＝6，∴∠B＝∠C＝30°.∵PB＝PD，∴∠PDB＝∠B＝30°，CF＝AC·cos30°＝6×＝3，∴∠ADE＝30°，∴∠DAE＝∠CPE＝60°.∴∠CEP＝90°，∴CE＝AC＋AE＝6＋y，∴PC＝＝.∵BC＝6，∴PB＋CP＝x＋＝6，∴y＝－x＋3.∵BD＝2BH＝x＜6，∴x＜2，∴x的取值范围是0＜x＜2.(2)∵BP＝2，∴CP＝4，∴PE＝PC＝2＝PB，∴射线CA与⊙P相切．(3)当D点在线段BA上时，连接AP，如答图1.∵S△ABC＝BC·AF＝×6×3＝9，∴S△APE＝AE·PE＝y·×(6＋y)＝S△ABC＝，解得y＝，代入y＝－x＋3，得x＝4－.当D点在BA的延长线上时，如答图2，PC＝EC＝(6－y)，∴PB＋CP＝x＋4\n(6－y)＝6，∴y＝x－3.∵∠PEC＝90°，∴PE＝＝＝(6－y)，答图∴S△APE＝AE·PE＝y·(6－y)＝S△ABC＝.解得y＝或，代入y＝x－3，得x＝3或5.综上，BP的长为4－或3或5.命题点二 三角形的外接圆与内切圆2．(2022·遵义)如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，连接AC，⊙P和⊙Q分别是△ABC和△ADC的内切圆，则PQ的长是( B )A． B． C． D．2【解析】∵四边形ABCD为矩形，∴△ACD≌△CAB，∴⊙P和⊙Q的半径相等.在Rt△ABC中，∵AB＝4，BC＝3，∴AC＝＝5，∴⊙P的半径r＝＝＝1.如答图，连接PQ，过点Q作QE∥BC，过点P作PE∥AB交QE于点E，则∠QEP＝90°，4\n答图∵在Rt△QEP中，QE＝BC－2r＝3－2＝1，EP＝AB－2r＝4－2＝2，∴PQ＝＝＝.3．(2022·遵义)如图，直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB＝90°，且∠ABC＝60°，AB＝BC，△ACD的外接圆⊙O交BC于E点，连接DE并延长，交AC于P点，交AB延长线于F.(1)求证：CF＝DB；(2)当AD＝时，试求E点到CF的距离． (1)证明：如答图，连接AE，答图∵∠ABC＝60°，AB＝BC，∴△ABC为等边三角形．∵AB∥CD，∠DAB＝90°，∴∠ADC＝∠DAB＝90°，∴AC为⊙O的直径，∴∠AEC＝90°，即AE⊥BC，∴BE＝CE.∵CD∥BF，∴∠DCE＝∠FBE.在△DCE和△FBE中，∴△DCE≌△FBE(ASA),∴DE＝FE，∴四边形BDCF为平行四边形，∴CF＝DB.(2)解：如答图，作EH⊥CF于H，∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC＝60°，∴∠DAC＝30°.在Rt△ADC中，AD＝，∴DC＝AD＝1，AC＝2CD＝2，∴AB＝AC＝2，BF＝CD＝1，∴AF＝3.4\n在Rt△ABD中，BD＝＝，在Rt△ADF中，DF＝＝2，∴CF＝BD＝，EF＝DE＝DF＝.∵AE⊥BC，∴∠CAE＝∠BAE＝30°，∴∠EDC＝∠CAE＝30°.而∠DCA＝∠BAC＝60°，∴∠DPC＝90°.在Rt△DPC中，DC＝1，∠CDP＝30°，∴PC＝DC＝.∵∠HFE＝∠PFC，∴Rt△FHE∽Rt△FPC，∴＝，即＝，∴EH＝，即E点到CF的距离为.4
