第一部分 第六章 第24讲命题点1 切线的判定及相关计算1．(2022·云南20题8分)如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点C的直线交AB的延长线于点D，AE⊥DC，垂足为E，F是AE与⊙O的交点，AC平分∠BAE.(1)求证：DE是⊙O的切线；(2)若AE＝6，∠D＝30°，求图中阴影部分的面积.(1)证明：如答图，连接OC，答图∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA．∵AC平分∠BAE，∴∠OAC＝∠CAE，∴∠OCA＝∠CAE，∴OC∥AE，∴∠OCD＝∠E.∵AE⊥DE，∴∠E＝90°，∴∠OCD＝90°，∴OC⊥CD．∵点C在⊙O上，OC为⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线．(2)解：在Rt△AED中，∵∠D＝30°，AE＝6，∴AD＝2AE＝12，在Rt△OCD中，∠D＝30°，∴DO＝2OC＝DB＋OB＝DB＋OC，∴DB＝OB＝OC＝AD＝4，DO＝8，∴CD＝＝＝4，∴S△OCD＝CD·OC＝＝8.8\n∵∠D＝30°，∠OCD＝90°，∴∠DOC＝60°，∴S扇形BOC＝·π·OC2＝π，∴S阴影＝S△COD－S扇形OBC＝8－，∴阴影部分面积为8－.2．(2022·昆明22题8分)如图，AH是⊙O的直径，AE平分∠FAH，交⊙O于点E，过点E的直线FG⊥AF，垂足为点F，B为半径OH上一点，点E，F分别在矩形ABCD的边BC和CD上．(1)求证：直线FG是⊙O的切线；(2)若CD＝10，EB＝5，求⊙O的直径．(1)证明：连接OE，∵OA＝OE，∴∠EAO＝∠AEO.∵AE平分∠FAH，∴∠EAO＝∠FAE，∴∠FAE＝∠AEO，∴AF∥OE，∴∠AFE＋∠OEF＝180°.∵AF⊥GF，∴∠AFE＝∠OEF＝90°，∴OE⊥GF.∵点E在圆上，OE是半径，∴直线FG是⊙O的切线．(2)解：∵四边形ABCD是矩形，CD＝10，∴AB＝CD＝10，∠ABE＝90°，设OA＝OE＝x，则OB＝10－x，在Rt△OBE中，∠OBE＝90°，BE＝5，由勾股定理得OB2＋BE2＝OE2，∴(10－x)2＋52＝x2，∴x＝，∴AH＝2×＝，∴⊙O的直径为.3．(2022·云南23题12分)已知AB是⊙O的直径，PB是⊙O的切线，C是⊙O上的点，8\nAC∥OP，M是直径AB上的动点，A与直线CM上的点连线距离的最小值为d，B与直线CM上的点连线距离的最小值为f.(1)求证：PC是⊙O的切线；(2)设OP＝AC，求∠CPO的正弦值；(3)设AC＝9，AB＝15，求d＋f的取值范围．(1)证明：连接OC，如答图1.答图1∵AC∥OP，∴∠CAO＝∠POB，∠ACO＝∠COP.∵OA＝OC，∴∠CAO＝∠ACO，∴∠POB＝∠POC．在△POB和△POC中，∴△POB≌△POC(SAS)，∴∠PBO＝∠PCO.∵PB是⊙O的切线，∴∠PBO＝90°，∴∠OCP＝90°，即OC⊥PC，∴PC是⊙O的切线．(2)解：如答图1，作ON⊥AC于点N，∵OP＝AC，∴＝.设OP＝3x，则AC＝2x，∵ON⊥AC，∴AN＝CN＝x.∵∠NAO＝∠POB，∠ONA＝∠OBP，∴△NAO∽△BOP，∴＝.∵OA＝OB，∴OA＝OB＝x.在Rt△OBP中，∴sin∠BPO＝sin∠CPO＝＝.8\n∴∠CPO的正弦值等于.(3)解：如答图2，连接BC，作AF⊥CM，BE⊥CM，垂足分别为点F，E，作CQ⊥AB，垂足为点Q.答图2∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.∵AC＝9，AB＝15，∴BC＝12.①当点M与点B重合时，d＝AC＝9,f＝0，d＋f＝9；②当点M在线段BQ(不包括端点)上时，设∠AMF＝∠BME＝α.∵sinα＝AF∶AM，∴AF＝AMsinα.∵sinα＝BE∶BM，∴BE＝BMsinα.∴AF＋BE＝(AM＋BM)sinα＝ABsinα.∴d＋f＝15sinα.∵<sinα<1，∴9<d＋f<15；③当点M与点Q重合时，d＋f＝AB＝15；④当点M在线段QA(不包括端点)上时，设∠AMF＝∠BME＝α.∵d＋f＝15sinα，且<sinα<1，∴12<d＋f<15；⑤当点M与点A重合时，d＝0,f＝BC＝12，d＋f＝12.综上所述，9≤d＋f≤15.命题点2 切线的性质及其相关计算4．(2022·昆明21题8分)如图，AB是⊙O的直径，ED切⊙O于点C，AD交⊙O于点F，AC平分∠BAD，连接BF.(1)求证：AD⊥ED；(2)若CD＝4，AF＝2，求⊙O的半径．8\n(1)证明：连接OC，如答图，答图∵AC平分∠BAD，∴∠1＝∠2.∵OA＝OC，∴∠1＝∠3，∴∠2＝∠3，∴OC∥AD．∵ED切⊙O于点C，∴OC⊥DE，∴AD⊥ED．(2)解：设OC交BF于点H，如答图，∵AB为⊙O的直径，∴∠AFB＝90°，∴四边形CDFH为矩形，∴FH＝CD＝4，∠CHF＝90°，∴OH⊥BF，∴BH＝FH＝4，∴BF＝8.在Rt△ABF中，AB＝＝＝2，∴⊙O的半径为.5．(2022·云南22题9分)如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，点D在AB的延长线上，∠BCD＝∠BAC．(1)求证：CD是⊙O的切线；(2)若∠D＝30°，BD＝2，求图中阴影部分的面积．(1)证明：连接OC，∵OA＝OC，∴∠BAC＝∠OCA．∵∠BCD＝∠BAC，∴∠BCD＝∠OCA．∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠OCA＋∠OCB＝∠BCD＋∠OCB＝90°，∴∠OCD＝90°.∵OC是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线．8\n(2)解：设⊙O的半径为r，则AB＝2r.∵∠D＝30°，∠OCD＝90°，∴OD＝2r，∠COB＝60°，∴△BOC为等边三角形．∴BC＝r，r＋2＝2r，∴r＝2，∠AOC＝120°，∴BC＝2，∴由勾股定理可知AC＝2，∴S△AOC＝×2×1＝，S扇形OAC＝＝.∴S阴影＝S扇形OAC－S△OAC＝π－.6．(2022·曲靖22题9分)如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，将弧BC沿直线BC翻折，使弧BC的中点D恰好与圆心O重合，连接OC，CD，BD，过点C的切线与线段BA的延长线交于点P，连接AD，在PB的另一侧作∠MPB＝∠ADC．(1)判断PM与⊙O的位置关系，并说明理由；(2)若PC＝，求四边形OCDB的面积．解：(1)PM与⊙O相切．理由如下：连接DO并延长交PM于点E，如答图，答图∵弧BC沿直线BC翻折，弧BC的中点D恰好与圆心O重合，∴OC＝DC，BO＝BD，∴OC＝DC＝BO＝BD，∴四边形OBDC为菱形，∴OD⊥BC，∴△OCD和△OBD都是等边三角形，∴∠COD＝∠BOD＝60°，8\n∴∠COP＝∠EOP＝60°.∵∠MPB＝∠ADC，而∠ADC＝∠ABC，∴∠ABC＝∠MPB，∴PM∥BC，∴OE⊥PM，∴OE＝OP.∵PC为⊙O的切线，∴OC⊥PC，∴OC＝OP，∴OE＝OC，而OE⊥PC，∴PM是⊙O的切线．(2)在Rt△OPC中，OC＝PC＝×＝1，∴S四边形OCDB＝2S△OCD＝2××12＝.7．(2022·曲靖23题10分)如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，AC，PB的延长线相交于点D．(1)若∠1＝20°，求∠APB的度数；(2)当∠1为多少度时，OP＝OD，并说明理由．解：(1)∵PA是⊙O的切线，∴∠BAP＝90°－∠1＝70°.又∵PA，PB是⊙O的切线，∴PA＝PB．∴∠BAP＝∠ABP＝70°，∴∠APB＝180°－70°×2＝40°.(2)当∠1＝30°时，OP＝OD．理由如下：当∠1＝30°时，由(1)知∠BAP＝∠ABP＝60°，∴∠APB＝180°－60°×2＝60°.∵PA，PB是⊙O的切线，∴∠OPB＝∠APB＝30°.又∵∠D＝∠ABP－∠1＝60°－30°＝30°，∴∠OPB＝∠D，∴OP＝OD．8．(2022·曲靖22题9分)如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，O是AB8\n边上的一点，以OA为半径的⊙O与边BC相切于点E.(1)若AC＝5，BC＝13，求⊙O的半径；(2)过点E作弦EF⊥AB于M，连接AF.若∠F＝2∠B，求证：四边形ACEF是菱形．解：(1)连接OE，设⊙O的半径为r，在Rt△ABC中，AB＝＝12.∵BC与⊙O相切，∴OE⊥BC，∴∠OEB＝∠BAC＝90°.又∵∠EBO＝∠ABC，∴△BOE∽△BCA，∴＝，即＝，解得r＝，即⊙O的半径为.(2)证明：∵A＝A，∠F＝2∠B，∴∠AOE＝2∠F＝4∠B．∵∠AOE＝∠OEB＋∠B，∴∠B＝30°，∠F＝60°.∵EF⊥AD，∴∠EMB＝∠CAB＝90°，∴∠MEB＝∠F＝60°，∴CA∥EF，CB∥AF，∴四边形ACEF是平行四边形．∵∠CAB＝90°，OA是⊙O的半径，∴CA是⊙O的切线．又∵BC是⊙O的切线，∴CA＝CE，∴平行四边形ACEF是菱形．8
