（福建专用）2013年高考数学总复习第二章第13课时导数的应用随堂检测（含解析）1．(2012·三明质检)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的导函数f′(x)在一个周期内的图象如图所示，则函数f(x)的解析式可以是( )A．y＝sin B．y＝sinC．y＝2sinD．y＝2sin解析：选A.f′(x)＝Aωcos(ωx＋φ)，由图象知，Aω＝2，＝π，所以ω＝2，A＝1.又f′＝－2，所以2cos＝－2，φ＝.2．函数f(x)＝x3－3ax－a在(0,1)内有最小值，则a的取值范围为( )A．0≤a<1B．0<a<1C．－1<a<1D．0<a<解析：选B.∵y′＝3x2－3a，令y′＝0，可得：a＝x2.又∵x∈(0,1)，∴0<a<1.故选B.3．(2012·南平调研)已知函数f(x)＝alnx＋x在区间[2,3]上单调递增，则实数a的取值范围是________．解析：由已知f′(x)＝＋1＝，当a＞0时，在x∈[2,3]时，f′(x)＞0恒成立，f(x)在区间[2,3]上单调递增．当a＜0时，f′(x)＞0的解集为(－a，＋∞)，因为函数在[2,3]上单调递增，所以有－a≤2，即a≥－2，此时，－2≤a＜0.当a＝0时，f(x)＝x在区间[2,3]上单调递增．综上知，a≥－2.答案：[－2，＋∞)4．给出定义在(0，＋∞)上的三个函数：f(x)＝lnx，g(x)＝x2－af(x)，h(x)＝x－a，已知g(x)在x＝1处取极值．(1)确定函数h(x)的单调性；(2)求证：当1＜x＜e2时，恒有x＜成立；(3)把函数h(x)的图象向上平移6个单位得到函数h1(x)的图象，试确定函数y＝g(x)－h1(x)的零点个数，并说明理由．解：(1)由题设，g(x)＝x2－alnx，则g′(x)＝2x－.由已知，g′(1)＝0，即2－a＝0⇒a＝2.于是h(x)＝x－2，则h′(x)＝1－.由h′(x)＝1－＞0⇒x＞1，所以h(x)在(1，＋∞)上是增函数，在(0,1)上是减函数．(2)证明：当1＜x＜e2时，0＜lnx＜2，即0＜f(x)＜2.2\n欲证x＜，只需证x[2－f(x)]＜2＋f(x)，即证f(x)＞.设φ(x)＝f(x)－＝lnx－，则φ′(x)＝－＝.当1＜x＜e2时，φ′(x)＞0，所以φ(x)在区间(1，e2)上为增函数．从而当1＜x＜e2时，φ(x)＞φ(1)＝0，即lnx＞，故x＜.(3)由题设，h1(x)＝x－2＋6.令g(x)－h1(x)＝0，则x2－2lnx－(x－2＋6)＝0，即2－2lnx＝－x2＋x＋6.设h2(x)＝2－2lnx，h3(x)＝－x2＋x＋6(x＞0)，则h′2(x)＝－＝，由－2＞0，得x＞4.所以h2(x)在(4，＋∞)上是增函数，在(0,4)上是减函数．又h3(x)在上是增函数，在上是减函数．因为当x→0时，h2(x)→＋∞，h3(x)→6.又h2(1)＝2，h3(1)＝6，h2(4)＝4－2ln4＞0，h3(4)＝－6，则函数h2(x)与h3(x)的大致图象如图所示：由图可知，当x＞0时，两个函数图象有2个交点，故函数y＝g(x)－h1(x)有2个零点．2
