第一章第3课时简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词课时闯关（含答案解析）一、选择题1．已知命题p：∀x∈R，x>sinx，则p的否定形式为( )A．∃x0∈R，x0<sinx0B．∀x∈R，x≤sinxC．∃x0∈R，x0≤sinx0D．∀x∈R，x<sinx解析：选C.命题中“∀”与“∃”相对，则綈p：∃x0∈R，x0≤sinx0，故选C.2．命题p：x＝π是函数y＝sinx图象的一条对称轴；q：2π是y＝sinx的最小正周期，下列复合命题：①p∨q；②p∧q；③綈p；④綈q，其中真命题有( )A．0个 B．1个C．2个D．3个解析：选C.由于命题p是假命题，命题q是真命题，所以p∧q为假命题，p∨q为真命题，綈p是真命题，綈q是假命题，因此①②③④中只有①③为真，故选C.3．将a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2改写成全称命题是( )A．∃a，b∈R，a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2B．∃a＜0，b＞0，a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2C．∀a＞0，b＞0，a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2D．∀a，b∈R，a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2解析：选D.全称命题含有量词“∀”，故排除A、B，又等式a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2对于全体实数都成立，故选D.4．(2010·高考天津卷)下列命题中，真命题是( )A．∃m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)是偶函数B．∃m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)是奇函数C．∀m∈R，函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)都是偶函数D．∀m∈R，函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)都是奇函数解析：选A.当m＝0时，f(x)＝x2是偶函数，故A正确．因为y＝x2是偶函数，所以f(x)＝x2＋mx不可能是奇函数，故B错．当m＝1时，f(x)＝x2＋x是非奇非偶函数，故C、D错．5．(2012·大同调研)已知命题p：∀x∈[1,2]，x2－a≥0，命题q：∃x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0.若命题p∧q是真命题，则实数a的取值范围是( )A．{a|a≤－2或a＝1}B．{a|a≥1}C．{a|a≤－2或1≤a≤2}D．{a|－2≤a≤1}解析：选A.对于命题p，当x∈[1,2]时，x2－a≥0恒成立，所以a≤1；对于命题q，方程x2＋2ax＋2－a＝0有实数解，所以4a2＋4a－8≥0，解得a≥1或a≤－2.由于p∧q是真命题，所以a≤－2或a＝1，故选A.二、填空题6．在“綈p”，“p∧q”，“p∨q”形式的命题中，“p∨q”为真，“p∧q”为假，“綈p”为真，那么p，q的真假为p________，q________.解析：∵“p∨q”为真，∴p，q至少有一个为真．又“p∧q”为假，∴p，q一个为假，一个为真．而“綈p”为真，∴p为假，q为真．答案：假 真7．下列四个命题：①∀x∈R，x2＋x＋1≥0；②∀x∈Q，x2＋x－是有理数；③∃α，β∈R，使sin(α＋β)＝sinα＋sinβ；④∃x，y∈Z，使3x－2y＝10.所有真命题的序号是________．2\n解析：①②显然正确；③中，若α＝，β＝0，则sin(α＋β)＝1，sinα＋sinβ＝1＋0＝1，等式成立，∴③正确；④中，x＝4，y＝1时，3x－2y＝10成立，∴④正确．故填①②③④.答案：①②③④8．命题“∀x∈R，∃m∈Z，m2－m＜x2＋x＋1”是________命题．(填“真”或“假”)解析：由于∀x∈R，x2＋x＋1＝(x＋)2＋≥，因此只需m2－m<，即－<m<，所以当m＝0或m＝1时，∀x∈R，m2－m＜x2＋x＋1成立，因此命题是真命题．答案：真三、解答题9．写出下列命题的否定，并判断真假：(1)存在一个三角形是正三角形；(2)至少存在一个实数x0使x－2x0－3＝0成立；(3)正数的对数不全是正数．解：(1)任意的三角形都不是正三角形，假命题；(2)对任意实数x都有x2－2x－3≠0，假命题；(3)正数的对数都是正数，假命题．10．已知命题p：存在一个实数x，使ax2＋ax＋1＜0.当a∈A时，非p为真命题，求集合A.解：非p为真，即“∀x∈R，ax2＋ax＋1≥0”为真．若a＝0，则1≥0成立，即a＝0时非p为真；若a≠0，则非p为真⇔⇔0＜a≤4.综上知，所求集合A＝[0,4]．11．已知a＞0，设命题p：函数y＝ax在R上单调递减，q：设函数y＝，函数y＞1恒成立，若p∧q为假，p∨q为真，求a的取值范围．解：若p是真命题，则0＜a＜1，若q是真命题，则函数y＞1恒成立，即函数y的最小值大于1，而函数y的最小值大于1，最小值为2a，只需2a＞1，∴a＞，∴q为真命题时，a＞.又∵p∨q为真，p∧q为假，∴p与q一真一假，若p真q假，则0＜a≤；若p假q真，则a≥1，故a的取值范围为0＜a≤或a≥1.2
