第一章 集合与常用逻辑用语第三节 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词A级·基础过关|固根基|1.下列命题中的假命题是( )A．∃x0∈R，log2x0＝0B．∃x0∈R，cosx0＝1C．∀x∈R，x2>0D．∀x∈R，2x>0解析：选C 因为log21＝0，cos0＝1，所以选项A、B均为真命题．又02＝0，所以选项C为假命题，故选C．2．设非空集合P，Q满足P∩Q＝P，则( )A．∀x∈Q，有x∈PB．∀x∉Q，有x∉PC．∃x0∉Q，使得x0∈PD．∃x0∈P，使得x0∉Q解析：选B 因为P∩Q＝P，所以P⊆Q，所以∀x∉Q，有x∉P，故选B．3．命题“存在实数x0，使x0>1”的否定是( )A．对任意实数x，都有x>1B．不存在实数x，使x≤1C．对任意实数x，都有x≤1D．存在实数x0，使x0≤1解析：选C 由特称命题的否定为全称命题，可知原命题的否定为对任意实数x，都有x≤1.故选C．4．(2019届南宁模拟)已知命题p：∀x>0，ln(x＋1)>0；命题q：若a>b，则a2>b2，下列命题为真命题的是( )A．p∧qB．p∧(﹁q)C．(﹁p)∧qD．(﹁p)∧(﹁q)解析：选B 由x>0时，x＋1>1，知p是真命题，由－1>－2，(－1)2<(－2)2可知，q是假命题，即p，﹁q均是真命题．故选B．5．(2019届山西太原模拟)已知命题p：∃x0∈R，x－x0＋1>0；命题q：若a<b，则>，则下列命题中为真命题的是( )A．p∧qB．p∧(﹁q)C．(﹁p)∧qD．(﹁p)∧(﹁q)解析：选B 因为x2－x＋1＝＋≥>0，所以∃x0∈R，使x－x0＋1>0成立，故p为真命题，﹁p为假命题，又易知命题q为假命题，所以﹁q为真命题，由复合命题真假判断的真值表知，p∧(﹁q)为真命题，故选B．\n6．(2019届安阳模拟)已知命题p：∃x0∈R，x0－2>lgx0；命题q：∀x∈R，ex>1，则( )A．命题p∨q是假命题B．命题p∧q是真命题C．命题p∧(﹁q)是真命题D．命题p∨(﹁q)是假命题解析：选C 取x0＝10，得x0－2>lgx0，所以命题p是真命题；取x＝－1，得ex<1，所以命题q是假命题．则p∨q是真命题，p∧q是假命题，p∧(﹁q)是真命题，p∨(﹁q)是真命题．故选C．7．(2019届广州调研)设命题p：∀x<1，x2<1，命题q：∃x0>0，2x0>，则下列命题中是真命题的是( )A．p∧qB．(﹁p)∧qC．p∧(﹁q)D．(﹁p)∧(﹁q)解析：选B 根据题意可知，命题p是假命题，q是真命题，所以p∧q是假命题，(﹁p)∧q是真命题，p∧(﹁q)是假命题，(﹁p)∧(﹁q)是假命题，故选B．8．已知命题p：“x>3”是“x2>9”的充要条件，命题q：“a2>b2”是“a>b”的充要条件，则( )A．p∨q为真B．p∧q为真C．p真q假D．p∨q为假解析：选D 由x>3能够得出x2>9，反之不成立，故命题p是假命题；取a＝－2，b＝1，可知a2>b2a>b，取a＝1，b＝－2，可知a>ba2>b2，故命题q是假命题．故选D．9．设a，b，c是非零向量，已知命题p：若a·b＝0，b·c＝0，则a·c＝0；命题q：若a∥b，b∥c，则a∥c.则下列命题中真命题是( )A．p∨qB．p∧qC．(﹁p)∧(﹁q)D．p∨(﹁q)解析：选A 由题意知，命题p为假命题，命题q为真命题，所以p∨q为真命题．故选A．10．已知命题p：∀x≥4，log2x≥2；命题q：在△ABC中，若A>，则sinA>.则下列命题为真命题的是( )A．p∧qB．p∧(﹁q)C．(﹁p)∧(﹁q)D．(﹁p)∨q解析：选B ∀x≥4，log2x≥log24＝2，所以命题p为真命题；A＝>，sinA＝，所以命题q为假命题．故p∧(﹁q)为真命题．故选B．\n11．(2020届湖北部分重点中学联考)下列说法中，正确的是( )A．命题“若am2<bm2，则a<b”的逆命题为真命题B．命题“存在x0∈R，x－x0>0”的否定是“对任意的x∈R，x2－x≤0”C．若命题“p或q”为真命题，则命题p和命题q均为真命题D．已知x∈R，则“x>1”是“x>2”的充分不必要条件解析：选B 对于选项A，“若am2<bm2，则a<b”的逆命题为“若a<b，则am2<bm2”，当m＝0时，若a<b，am2<bm2不成立，故A错误；对于选项B，命题“存在x0∈R，x－x0>0”的否定是“对任意的x∈R，x2－x≤0”，故B正确；对于选项C，若命题“p或q”为真命题，则命题p，q可以都为真，也可以一真一假，故C错误；对于选项D，已知x∈R，则“x>1”是“x>2”的必要不充分条件，故D错误．故选B．12．(2019届山西太原重点中学联考)若“∃x0∈，m>tanx0＋2”为假命题，则实数m的取值范围为________．解析：由题意可知“∀x∈，m≤tanx＋2”为真命题，所以m≤(tanx＋2)min.又知x∈，所以tanx∈[－1，]，因此可得(tanx＋2)min＝1，所以实数m的取值范围为m≤1，即m∈(－∞，1]．答案：(－∞，1]B级·素养提升|练能力|13.短道速滑队进行冬奥会选拔赛(6人决出第一～六名)，记“甲得第一名”为p，“乙得第二名”为q，“丙得第三名”为r，若p∨q是真命题，p∧q是假命题，(﹁q)∧r是真命题，则选拔赛的结果为( )A．甲第一、乙第二、丙第三B．甲第二、乙第一、丙第三C．甲第一、乙第三、丙第二D．甲第一、乙没得第二名、丙第三解析：选D (﹁q)∧r是真命题意味着﹁q为真，q为假(乙没得第二名)且r为真(丙得第三名)；p∨q是真命题，由于q为假，只能p为真(甲得第一名)，这与p∧q是假命题相吻合；由于还有其他三名队员参赛，只能肯定其他队员得第二名，乙没得第二名，故选D．14．(2019届河北衡水中学大联考)已知命题p：若函数f(x)＝(x－[x])－(x∉Z)，则必有f(x)>1(对于任意实数x，符号[x]表示不超过x的最大整数，如：[1.3]＝1)；命题q：“m≤1”\n是“函数f(x)＝x2－(m＋1)x－m2在区间(1，＋∞)内单调递增”的充分不必要条件，则下列命题中是真命题的为( )A．p∧qB．(﹁p)∧qC．(﹁p)∨qD．p∧(﹁q)解析：选D 因为(x－[x])∈(0，1)，x∉Z，所以>1，x∉Z，即f(x)>1，故p为真命题；因为函数f(x)＝x2－(m＋1)x－m2在区间(1，＋∞)内单调递增，所以≤1，即m≤1，故应为充要条件，故q为假命题，所以p∧q，(﹁p)∧q，(﹁p)∨q均为假命题，p∧(﹁q)为真命题，故选D．15.(2019届洛阳模拟)已知p：∃x0∈R，mx＋1≤0；q：∀x∈R，x2＋mx＋1>0.若“p∨q”为假命题，则实数m的取值范围是( )A．[2，＋∞)B．(－∞，－2]C．(－∞，－2]∪[2，＋∞)D．[－2，2]解析：选A 依题意知，p，q均为假命题．当p是假命题时，则有∀x∈R，mx2＋1>0恒成立，则有m≥0；当q是假命题时，则有Δ＝m2－4≥0，m≤－2或m≥2.因此由p，q均为假命题，得即m≥2.故选A．16．不等式组的解集记为D，有下面四个命题：p1：∀(x，y)∈D，2x＋3y≥－1；p2：∃(x0，y0)∈D，2x0－5y0≥－3；p3：∀(x，y)∈D，≤；p4：∃(x0，y0)∈D，x＋y＋2y0≤1.其中的真命题是( )A．p1，p2B．p2，p3C．p2，p4D．p3，p4解析：选C 作出不等式组表示的区域，如图中阴影部分所示，其中A(0，3)，B(－1，0)，由得即C(1，1)．对于p1\n，当取(－1，0)时，因为2×(－1)＋0<－1，故p1是假命题，排除A；对于p2，将C(1，1)代入，2x－5y＝－3≥－3成立，故p2是真命题，排除D；对于p3，当取(0，3)时，因为＝1>，故p3是假命题，排除B，故选C．
