8-3直线、圆与圆的位置关系及空间直角坐标系基础巩固强化1.(文)(2011·山东烟台调研)圆x2＋y2－2x＋4y－4＝0与直线2tx－y－2－2t＝0(t∈R)的位置关系为( )A．相离 B．相切C．相交D．以上都有可能[答案] C[解析] ∵直线2t(x－1)－(y＋2)＝0过圆心(1，－2)，∴直线与圆相交．[点评] 直线方程中含参数t，故可由直线方程过定点来讨论，∵2t(x－1)－(y＋2)＝0，∴直线过定点(1，－2)，代入圆方程中，12＋(－2)2－2×1＋4×(－2)－4＝－9<0，∴点(1，－2)在圆内，故直线与圆相交．(理)直线xsinθ＋ycosθ＝1＋cosθ与圆x2＋(y－1)2＝4的位置关系是( )A．相离 B．相切C．相交D．以上都有可能[答案] C[解析] 圆心到直线的距离d＝＝1<2，∴直线与圆相交．2．(2011·唐山二模)圆x2＋y2＝50与圆x2＋y2－12x－6y＋40＝0的公共弦长为( )A.B.C．2D．2[答案] C[解析] x2＋y2＝50与x2＋y2－12x－6y＋40＝0作差，得两圆公共弦所在的直线方程为2x＋y－15＝0，圆x2＋y2＝50的圆心(0,0)到2x＋y－15＝0的距离d＝3，因此，公共弦长为2＝2，选C.3．(2012·山东文，9)圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为( )A．内切B．相交C．外切D．相离[答案] B[解析] 本题考查圆与圆的位置关系．两圆圆心分别为A(－2,0)，B(2,1)，半径分别为r1＝2，r2＝3，|AB|＝，∵3－2<<2＋3，∴两圆相交．4．(2011·江南十校联考)若P(2，－1)为圆(x－1)2＋y2＝25的弦AB的中点，则直线AB12\n的方程为( )A．2x＋y－3＝0B．x＋y－1＝0C．x－y－3＝0D．2x－y－5＝0[答案] C[解析] 由题知圆心C的坐标为(1,0)，因为CP⊥AB，kCP＝－1，所以kAB＝1，所以直线AB的方程为y＋1＝x－2，即x－y－3＝0，故选C.5．(2012·哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学联考)已知圆C：x2＋y2＝12，直线l：4x＋3y＝25，则圆C上任意一点A到直线l的距离小于2的概率为( )A.B.C.D.[答案] B[解析] ⊙C上的点到直线l：4x＋3y＝25的距离等于2的点，在直线l1：4x＋3y＝15上，圆心到l1的距离d＝3，圆半径r＝2，∴⊙C截l1的弦长为|AB|＝2＝2，∴圆心角∠AOB＝，的长为⊙C周长的，故选B.6．(2012·福建文，7)直线x＋y－2＝0与圆x2＋y2＝4相交于A、B两点，则弦AB的长度等于( )A．2B．2C.D．1[答案] B[解析] 本题考查了圆的弦长问题．如图可知，圆心(0,0)到直线x＋y－2＝0的距离．d＝＝1，12\n∴|AB|＝2|BC|＝2＝2.[点评] 涉及到直线与圆相交的弦长问题，优先用Rt△OCB这一勾股关系，在椭圆中的弦长问题则选用弦长l＝|x2－x1|＝|y2－y1|.7．(2012·北京东城区示范校练习)已知圆x2＋y2＝9与圆x2＋y2－4x＋4y－1＝0关于直线l对称，则直线l的方程为________．[答案] x－y－2＝0[解析] 由题易知，直线l是两圆圆心连线构成线段的垂直平分线，两圆的圆心坐标分别是(0,0)，(2，－2)，于是其中点坐标是(1，－1)，又过两圆圆心的直线的斜率是－1，所以直线l的斜率是1，于是可得直线l的方程为：y＋1＝x－1，即x－y－2＝0.[点评] 两圆方程相减，即可得出对称直线方程．8．(2012·皖南八校第三次联考)已知点P(1，－2)，以Q为圆心的圆Q：(x－4)2＋(y－2)2＝9，以PQ为直径作圆与圆Q交于A、B两点，连接PA、PB，则∠APB的余弦值为________．[答案] [解析] 由题意可知QA⊥PA，QB⊥PB，故PA、PB是圆Q的两条切线，易知|PQ|＝5，PA＝4，∴cos∠APQ＝，∴cos∠APB＝2cos2∠APQ－1＝2×()2－1＝.9．(2011·苏州市调研)已知直线kx－y＋1＝0与圆C：x2＋y2＝4相交于A，B两点，若点M在圆C上，且有＝＋(O为坐标原点)，则实数k＝________.[答案] 0[解析] 画图分析可知(图略)，当A，B，M均在圆上，平行四边形OAMB的对角线OM＝2，此时四边形OAMB为菱形，故问题等价于圆心(0,0)到直线kx－y＋1＝0的距离为1.所以d＝＝1，解得k＝0.10．(文)已知圆C：x2＋y2＋x－6y＋m＝0与直线l：x＋2y－3＝0.(1)若直线l与圆C没有公共点，求m的取值范围；(2)若直线l与圆C相交于P、Q两点，O为原点，且OP⊥OQ，求实数m的值．[解析] (1)将圆的方程配方，得(x＋)2＋(y－3)2＝，12\n故有>0，解得m<.将直线l的方程与圆C的方程组成方程组，得消去y，得x2＋()2＋x－6×＋m＝0，整理，得5x2＋10x＋4m－27＝0，①∵直线l与圆C没有公共点，∴方程①无解，∴Δ＝102－4×5(4m－27)<0，解得m>8.∴m的取值范围是(8，)．(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由OP⊥OQ，得·＝0，由x1x2＋y1y2＝0，②由(1)及根与系数的关系得，x1＋x2＝－2，x1·x2＝③又∵P、Q在直线x＋2y－3＝0上，∴y1·y2＝·＝[9－3(x1＋x2)＋x1·x2]，将③代入上式，得y1·y2＝，④将③④代入②得x1·x2＋y1·y2＝＋＝0，解得m＝3，代入方程①检验得Δ>0成立，∴m＝3.[点评] 求直线l与⊙C没有公共点时，用圆心到直线距离d>半径R更简便．(理)已知圆C的一条直径的端点分别是M(－2,0)，N(0,2)．(1)求圆C的方程；(2)过点P(1，－1)作圆C的两条切线，切点分别是A、B，求·的值．[解析] (1)依题意可知圆心C的坐标为(－1,1)，圆C的半径为，12\n∴圆C的方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝2.(2)PC＝＝2＝2AC.∴在Rt△PAC中，∠APC＝30°，PA＝，可知∠APB＝2∠APC＝60°，PB＝，∴·＝·cos60°＝3.能力拓展提升11.(文)(2011·东北三校二模)与圆x2＋(y－2)2＝1相切，且在两坐标轴上截距相等的直线共有( )A．2条B．3条C．4条D．6条[答案] C[解析] 由题意可知，过原点且与圆相切的直线共有2条，此时在两坐标轴上的截距都是0；当圆的切线在两坐标轴上的截距相等且不为零时，易知满足题意的切线有2条；综上共计4条．(理)(2012·河南质量调研)直线ax＋by＋c＝0与圆x2＋y2＝9相交于两点M、N，若c2＝a2＋b2，则·(O为坐标原点)等于( )A．－7B．－14C．7D．14[答案] A[解析] 记、的夹角为2θ.依题意得，圆心(0,0)到直线ax＋by＋c＝0的距离等于＝1，∴cosθ＝，∴cos2θ＝2cos2θ－1＝2×()2－1＝－，∵·＝3×3cos2θ＝－7，选A.12．设A为圆C：(x＋1)2＋y2＝4上的动点，PA是圆的切线，且|PA|＝1，则P点的轨迹方程为( )A．(x＋1)2＋y2＝25B．(x＋1)2＋y2＝5C．x2＋(y＋1)2＝25D．(x－1)2＋y2＝5[答案] B[解析] 设P(x，y)，由题意可知|PC|2＝|PA|2＋|AC|2＝12＋22＝5，所以P12\n点轨迹为圆，圆心为C(－1,0)，半径为.∴方程为(x＋1)2＋y2＝5，故选B.13．(文)(2011·济南三模)双曲线－＝1的渐近线与圆(x－3)2＋y2＝r2(r>0)相切，则r＝________.[答案] [解析] 由双曲线的方程可知，其中的一条渐近线方程为y＝x，圆的圆心坐标为(3,0)，则圆心到渐近线的距离d＝＝，所以圆的半径为.(理)(2011·杭州二检)已知A、B是圆O：x2＋y2＝16上的两点，且|AB|＝6，若以AB为直径的圆M恰好经过点C(1，－1)，则圆心M的轨迹方程是________．[答案] (x－1)2＋(y＋1)2＝9[解析] 设圆心为M(x，y)，由|AB|＝6知，圆M的半径r＝3，则|MC|＝3，即＝3，所以(x－1)2＋(y＋1)2＝9.14．(2012·天津，12)设m、n∈R，若直线l：mx＋ny－1＝0与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，且l与圆x2＋y2＝4相交所得弦的长为2，O为坐标原点，则△AOB面积的最小值为________．[答案] 3[解析] ∵l与圆相交弦长为2，∴＝，∴m2＋n2＝≥2|mn|，∴|mn|≤，l与x轴交点A(，0)，与y轴交点B(0，)，∴S△AOB＝||||＝≥×6＝3.15．(文)(2011·新课标全国文，20)在平面直角坐标系xOy中，曲线y＝x2－6x＋1与坐标轴的交点都在圆C上．12\n(1)求圆C的方程；(2)若圆C与直线x－y＋a＝0交于A、B两点，且OA⊥OB，求a的值．[解析] (1)曲线y＝x2－6x＋1与y轴的交点为(0,1)，与x轴的交点为(3＋2，0)，(3－2，0)．故可设C的圆心为(3，t)，则有32＋(t－1)2＝(2)2＋t2，解得t＝1.则圆C的半径为r＝＝3.所以圆C的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，其坐标满足方程组：消去y，得到方程2x2＋(2a－8)x＋a2－2a＋1＝0.由已知可得，判别式△＝56－16a－4a2＞0.因此，x1,2＝，从而x1＋x2＝4－a，x1x2＝. ①由于OA⊥OB，可得x1x2＋y1y2＝0.又y1＝x1＋a，y2＝x2＋a，所以2x1x2＋a(x2＋x2)＋a2＝0.②由①，②得a＝－1，满足Δ>0，故a＝－1.(理)在直角坐标系xOy中，以O为圆心的圆与直线x－y＝4相切．(1)求圆O的方程；(2)圆O与x轴相交于A、B两点，圆内的动点P使|PA|、|PO|、|PB|成等比数列，求·的取值范围．[解析] (1)依题设，圆O的半径r等于原点O到直线x－y＝4的距离，即r＝＝2，∴圆O的方程为x2＋y2＝4.(2)由(1)知A(－2,0)，B(2,0)．设P(x，y)，由|PA|、|PO|、|PB|成等比数列得，·＝x2＋y2，即x2－y2＝2.·＝(－2－x，－y)·(2－x，－y)＝x2－4＋y2＝2(y2－1)．12\n由于点P在圆O内，故由此得y2<1.所以·的取值范围为[－2,0)．16．(文)已知定直线l：x＝－1，定点F(1,0)，⊙P经过F且与l相切.(1)求P点的轨迹C的方程.(2)是否存在定点M，使经过该点的直线与曲线C交于A、B两点，并且以AB为直径的圆都经过原点；若有，请求出M点的坐标；若没有，请说明理由.[解析] (1)由题设知点P到点F的距离与点P到直线l的距离相等，∴点P的轨迹C是以F为焦点，l为准线的抛物线，∴点P的轨迹C的方程为：y2＝4x.(2)设AB的方程为x＝my＋n，代入抛物线方程整理得：y2－4my－4n＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则∵以AB为直径的圆过原点，∴OA⊥OB，∴y1y2＋x1x2＝0.即y1y2＋·＝0.∴y1y2＝－16，∴－4n＝－16，n＝4.∴直线AB：x＝my＋4恒过M(4,0)点．(理)(2012·河南豫北六校精英联考)在平面直角坐标系xOy中，动点P到两点(0，－)，(0，)的距离之和等于4，设点P的轨迹为C，已知直线y＝kx＋1与C交于A、B两点．(1)写出C的方程；(2)若以AB为直径的圆过原点O，求k的值；(3)若点A在第一象限，证明：当k>0时，恒有|OA|>|OB|.[解析] (1)设P(x，y)，由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以(0，－)，(0，)为焦点，长半轴长为2的椭圆，它的短半轴b＝＝1，故椭圆方程为＋x2＝1.(2)由题意可知，以AB为直径的圆过原点O，即OA⊥OB，联立方程消去y得(4＋k2)x2＋2kx－3＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由韦达定理可知：x1＋x2＝－，x1·x2＝－，y1·y2＝(kx1＋1)(kx2＋1)＝k2x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝，12\n所以，·＝x1x2＋y1y2＝－＋＝0，得k2＝，即k＝±.(3)|OA|2－|OB|2＝x＋y－(x＋y)＝x－x＋y－y＝(x1－x2)(x1＋x2)＋k(x1－x2)[k(x1＋x2)＋2]＝[2k＋(1＋k2)(x1＋x2)](x1－x2)＝.因为A在第一象限，所以x1>0，又因为x1·x2＝－，所以x2<0，故x1－x2>0，又因为k>0，所以|OA|>|OB|.1．若关于x、y的方程组有解，且所有的解都是整数，则有序数对(a，b)所对应的点的个数为( )A．24 B．28 C．32 D．36[答案] C[解析] x2＋y2＝10的整数解为：(1,3)，(3,1)，(1，－3)，(－3,1)，(－1,3)，(3，－1)，(－1，－3)，(－3，－1)，所以这八个点两两所连的不过原点的直线有24条，过这八个点的切线有8条，每条直线确定了唯一的有序数对(a，b)，所以有序数对(a，b)所对应的点的个数为32.2．设直线x＋ky－1＝0被圆O：x2＋y2＝2所截弦的中点的轨迹为M，则曲线M与直线x－y－1＝0的位置关系是( )A．相离 B．相切C．相交D．不确定[答案] C[解析] ∵直线x＋ky－1＝0过定点N(1,0)，且点N(1,0)在圆x2＋y2＝2的内部，∴直线被圆所截弦的中点的轨迹M是以ON为直径的圆，圆心为P，半径为，∵点P到直线x－y－1＝0的距离为<，∴曲线M与直线x－y－1＝0相交，故选C.3．已知直线ax＋by－1＝0(a，b不全为0)与圆x2＋y2＝50有公共点，且公共点的横、纵坐标均为整数，那么这样的直线共有( )A．66条B．72条12\nC．74条D．78条[答案] B[解析] 因为在圆x2＋y2＝50上，横坐标、纵坐标都为整数的点一共有12个，即：(1，±7)，(5，±5)，(7，±1)，(－1，±7)，(－5，±5)，(－7，±1)，经过其中任意两点的割线有×(12×11)＝66条，过每一点的切线共有12条，可知与该圆有公共点且公共点的横坐标、纵坐标都为整数的直线共有66＋12＝78条，而方程ax＋by－1＝0表示的直线不过原点，上述78条直线中过原点的直线有6条，故符合条件的直线共有78－6＝72条．故选B.4．已知直线l：2xsinα＋2ycosα＋1＝0，圆C：x2＋y2＋2xsinα＋2ycosα＝0，l与C的位置关系是( )A．相交B．相切C．相离D．不能确定[答案] A[解析] 圆心C(－sinα，－cosα)到直线l的距离为d＝＝，圆半径r＝1，∵d<r，∴直线l与⊙C相交．5．(2012·沈阳六校联考)已知两点A(0，－3)，B(4,0)，若点P是圆x2＋y2－2y＝0上的动点，则△ABP面积的最小值为( )A．6B.C．8D.[答案] B[解析] 记圆心为C，则由题意得|AB|＝5，直线AB：＋＝1，即3x－4y－12＝0，圆心C(0,1)到直线AB的距离为，点P到直线AB的距离h的最小值是－1＝，△ABP的面积等于|AB|h＝h≥×＝，即△ABP的面积的最小值是，选B.6．圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0关于直线2ax－by＋2＝0(a，b∈R)对称，则ab的取值范围是( )A.B.12\nC.D.[答案] A[解析] 由题可知直线2ax－by＋2＝0过圆心(－1,2)，故可得a＋b＝1，又因ab≤2＝，故选A.7．若动圆C与圆C1：(x＋2)2＋y2＝1外切，与圆C2：(x－2)2＋y2＝4内切，则动圆C的圆心的轨迹是( )A．两个椭圆B．一个椭圆及双曲线的一支C．两双曲线的各一支D．双曲线的一支[答案] D[解析] 设动圆C的半径为r，圆心为C，依题意得|C1C|＝r＋1，|C2C|＝r－2，∴|C1C|－|C2C|＝3，故C点的轨迹为双曲线的一支．8．若在区间(－1,1)内任取实数a，在区间(0,1)内任取实数b，则直线ax－by＝0与圆(x－1)2＋(y－2)2＝1相交的概率为( )A. B. C. D.[答案] B[解析] 由题意知，圆心C(1,2)到直线ax－by＝0距离d<1，∴<1，化简得3b－4a<0，如图，满足直线与圆相交的点(a，b)落在图中阴影部分，E，∵S矩形ABCD＝2，S梯形OABE＝＝，12\n由几何概型知，所求概率P＝＝.12
