选修4—4 坐标系与参数方程真题试做1．(2012·上海高考，理10)如图，在极坐标系中，过点M(2,0)的直线l与极轴的夹角α＝.若将l的极坐标方程写成ρ＝f(θ)的形式，则f(θ)＝__________.2．(2012·广东高考，理14)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1和C2的参数方程分别为(t为参数)和(θ为参数)，则曲线C1与C2的交点坐标为__________．3．(2012·江西高考，理15)曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为__________．4．(2012·湖南高考，理9)在直角坐标系xOy中，已知曲线C1：(t为参数)与曲线C2：(θ为参数，a＞0)有一个公共点在x轴上，则a＝__________.5．(2012·辽宁高考，文23)在直角坐标系xOy中，圆C1：x2＋y2＝4，圆C2：(x－2)2＋y2＝4.(1)在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C1，C2的极坐标方程，并求出圆C1，C2的交点坐标(用极坐标表示)；(2)求圆C1与C2的公共弦的参数方程．考向分析从近几年的高考情况看，该部分主要有三个考点：一是平面坐标系的伸缩变换；二是极坐标方程与直角坐标方程的互化；三是极坐标方程与参数方程的综合应用．对于平面坐标系的伸缩变换，主要是以平面直角坐标系和极坐标系为平台，考查伸缩变换公式的应用，试题设计大都是运用坐标法研究点的位置或研究几何图形的形状．对于极坐标方程与直角坐标方程的互化，是高考的重点和热点，涉及到直线与圆的极坐标方程，从点与直线、直线与圆的位置关系等不同角度考查，研究求距离、最值、轨迹等常规问题．极坐标方程与参数方程的综合应用，主要是以直线、圆和圆锥曲线的参数方程为背景，转化为普通方程，从而进一步判断位置关系或进行有关距离、最值的运算．预计2013年高考中，本部分内容主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化、参数方程与普通方程的互化，考查简单曲线的极坐标方程和参数方程，试题多以填空题、解答题的形式呈现，属于中档题．热点例析热点一 平面坐标系的伸缩变换【例1】在同一平面直角坐标系中，将直线x－2y＝2变成直线2x′－y′＝4，求满足图象变换的伸缩变换．规律方法1.平面坐标系的伸缩变换对图形的变化起到了一个压缩或拉伸的作用，如三角函数图象周期的变化．2．设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．变式训练1在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换后，曲线C变为曲线2x′2＋8y′2＝1，则曲线C的方程为( )．A．50x2＋72y2＝1B．9x2＋100y2＝1C．25x2＋36y2＝1D.x2＋y2＝1热点二 极坐标方程与直角坐标方程的互化-5-\n【例2】在极坐标系中，已知圆ρ＝2cosθ与直线3ρcosθ＋4ρsinθ＋a＝0相切，求实数a的值．规律方法1.直角坐标和极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，并在两坐标系中取相同的长度单位，设M是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(ρ，θ)，则x＝ρcosθ，y＝ρsinθ且ρ2＝x2＋y2，tanθ＝(x≠0)．这就是直角坐标和极坐标的互化公式．2．曲线的极坐标方程的概念：在极坐标系中，如果平面曲线C上任意一点的极坐标至少有一个满足方程f(ρ，θ)＝0，并且坐标适合f(ρ，θ)＝0的点都在曲线C上，那么方程f(ρ，θ)＝0就叫做曲线C的极坐标方程．变式训练2圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ＝4cosθ，ρ＝－sinθ.(1)把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)求经过圆O1，圆O2两个交点的直线的直角坐标方程．热点三 参数方程与普通方程的互化【例3】把下列参数方程化为普通方程：(1)(2)规律方法1.参数方程部分，重点还是参数方程与普通方程的互化，主要是将参数方程消去参数化为普通方程．2．参数方程与普通方程的互化：参数方程化为普通方程的过程就是消参过程，常见方法有三种：①代入法：利用解方程的技巧求出参数t，然后代入消去参数；②三角法：利用三角恒等式消去参数；③整体消元法：根据参数方程本身的结构特征，从整体上消去参数．化参数方程为普通方程F(x，y)＝0：在消参过程中注意变量x，y取值范围的一致性，必须根据参数的取值范围，确定f(t)和g(t)的值域即x，y的取值范围．变式训练3把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线：(1)(t为参数)；(2)(θ为参数)．热点四 极坐标方程与参数方程的综合应用【例4】在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程为(α为参数)．以直角坐标系原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos＝2.点P为曲线C上的动点，求点P到直线l距离的最大值．规律方法如果直接由曲线的极坐标方程看不出曲线是什么图形，往往先将曲线的极坐标方程化为相应的直角坐标方程，再通过直角坐标方程判断出曲线是什么图形．变式训练4在直角坐标系xOy中，直线l的方程为x－y＋4＝0，曲线C的参数方程为(α为参数)．(1)已知在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，点P的极坐标为，判断点P与直线l的位置关系；(2)设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．1．(2012·广东江门调研，理15)已知在极坐标系下，点A，B，O是极点，则△AOB的面积等于__________．2．设直线的参数方程为(t为参数)，则其斜截式方程为__________．3．(2012·广东梅州中学三模，15)在极坐标系中，若过点A(3,0)且与极轴垂直的直线交曲线ρ＝4cosθ于A，B两点，则|AB|＝__________.-5-\n4．(2012·北京丰台三月模拟，11)在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是(t为参数)．以O为极点，x轴正方向为极轴的极坐标系中，圆C的极坐标方程是ρ2－4ρcosθ＋3＝0.则圆心到直线的距离是__________．5．(2012·广东肇庆二模，理14)在极坐标系中，曲线ρ＝2与cosθ＋sinθ＝0(0≤θ≤π)的交点的极坐标为__________．6．(2012·广东深圳第二次调研，理15)在极坐标系中，已知直线l：ρ(sinθ－cosθ)＝a把曲线C：ρ＝2cosθ所围成的区域分成面积相等的两部分，则常数a的值是__________．7．(2012·广东茂名二模，理14)已知曲线C的参数方程为(θ为参数)，则曲线C上的点到直线x＋y＋2＝0的距离的最大值为__________．参考答案命题调研·明晰考向真题试做1. 解析：如图所示，根据正弦定理，有＝，∴ρ＝.2．(1,1) 解析：由C1得y＝，即y2＝x(y≥0)．①由C2得x2＋y2＝2.②由①②联立得3．ρ＝2cosθ4. 解析：∵C1：∴C1的方程为2x＋y－3＝0.∵C2：∴C2的方程为＋＝1.∵C1与C2有一个公共点在x轴上，且a＞0，∴C1与x轴的交点在C2上，代入解得a＝.5．解：(1)圆C1的极坐标方程为ρ＝2，圆C2的极坐标方程为ρ＝4cosθ.解得ρ＝2，θ＝±，故圆C1与圆C2交点的坐标为，.注：极坐标系下点的表示不唯一．(2)解法一：由得圆C1与C2交点的直角坐标分别为(1，)，(1，－)．故圆C1与C2的公共弦的参数方程为－≤t≤.(或参数方程写成－≤y≤)解法二：将x＝1代入得ρcosθ＝1，从而ρ＝.-5-\n于是圆C1与C2的公共弦的参数方程为－≤θ≤.精要例析·聚焦热点热点例析【例1】解：设变换为代入第二个方程，得2λx－μy＝4与x－2y＝2比较，将其变成2x－4y＝4，比较系数得λ＝1，μ＝4.∴伸缩变换公式为即直线x－2y＝2图象上所有点的横坐标不变，纵坐标扩大到原来的4倍可得到直线2x′－y′＝4.【变式训练1】A 解析：将代入曲线方程2x′2＋8y′2＝1，得：2·(5x)2＋8·(3y)2＝1，即50x2＋72y2＝1.【例2】解：将极坐标方程化为直角坐标方程，得圆的方程x2＋y2＝2x，即(x－1)2＋y2＝1，直线的方程为3x＋4y＋a＝0.由题设知，圆心(1,0)到直线的距离为1，即有＝1，解得a＝－8，或a＝2.故a的值为－8或2.【变式训练2】解：(1)因为圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ＝4cosθ，ρ＝－sinθ，又因为ρ2＝x2＋y2，ρcosθ＝x，ρsinθ＝y，所以由ρ＝4cosθ，ρ＝－sinθ得，ρ2＝4ρcosθ，ρ2＝－ρsinθ.即x2＋y2－4x＝0，x2＋y2＋y＝0.所以圆O1和圆O2的直角坐标方程分别为x2＋y2－4x＝0，x2＋y2＋y＝0.(2)由(1)易得，经过圆O1和圆O2两个交点的直线的直角坐标方程为4x＋y＝0.【例3】解：(1)由已知由三角恒等式cos2θ＋sin2θ＝1，可知(x－3)2＋(y－2)2＝1，这就是它的普通方程．(2)由已知，得t＝2x－2，代入y＝5＋t中，得y＝5＋(2x－2)，即x－y＋5－＝0就是它的普通方程．【变式训练3】解：(1)由x＝1＋t，得t＝2x－2.∴y＝2＋(2x－2)．∴x－y＋2－＝0，此方程表示直线．(2)由得两式平方相加得＋＝1，此方程表示椭圆．【例4】解：ρcos＝2化简为ρcosθ＋ρsinθ＝4，则直线l的直角坐标方程为x＋y＝4.设点P的坐标为(2cosα，sinα)，得P到直线l的距离d＝，即d＝，其中cosφ＝，sinφ＝.当sin(α＋φ)＝－1时，dmax＝2＋.-5-\n【变式训练4】解：(1)把极坐标系中的点P化为直角坐标，得P(0,4)．因为点P的直角坐标(0,4)满足直线l的方程x－y＋4＝0，所以点P在直线l上．(2)因为点Q在曲线C上，故可设点Q的坐标为(cosα，sinα)，从而点Q到直线l的距离是d＝＝＝cos＋2，由此得，当cos＝－1时，d取得最小值，且最小值为.创新模拟·预测演练1. 解析：由题意，得∠AOB＝－＝，∴S△AOB＝OA·OB·sin∠AOB＝×1×3×＝.2．y＝x＋3－23．2 4.5. 解析：方法一：由或(舍去)，得.方法二：由cosθ＋sinθ＝0tanθ＝－1，因为0≤θ≤π，所以θ＝，故交点的极坐标为.6．－1 解析：由题意，得直线l和曲线C的直角坐标方程分别为：y－x－a＝0，(x－1)2＋y2＝1.又因为(1,0)在直线l上，所以，0－1－a＝0，即a＝－1.7.＋1 解析：把曲线C的参数方程化为普通方程为(x－1)2＋y2＝1.曲线C上的点到直线x＋y＋2＝0的最大距离是圆心(1,0)到直线的距离加上半径，∵d＝＝，∴最大距离为＋1.-5-
