专题升级训练8 三角恒等变换及解三角形(时间：60分钟 满分：100分)一、选择题(本大题共6小题，每小题6分，共36分)1．在△ABC中，若sinA∶sinB∶sinC＝∶4∶，则△ABC是( )．A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．不能确定2．在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝3，c＝8，B＝60°，则sinA的值是( )．A.B.C.D.3．若满足条件C＝60°，AB＝，BC＝a的△ABC有两个，那么a的取值范围是( )．A．(1，)B．(，)C．(，2)D．(1,2)4．在△ABC中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若b2＋c2－a2＝bc，则sin(B＋C)＝( )．A.－B.C．－D.5．已知sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝，则log2等于( )．A．2B．3C．4D．66．若0＜α＜，－＜β＜0，cos＝，cos＝，则cos＝( )．A.B．－C.D．－二、填空题(本大题共3小题，每小题6分，共18分)7．在△ABC中，C为钝角，＝，sinA＝，则角C＝__________，sinB＝__________.8．已知tan＝2，则的值为________．9．已知sinα＝＋cosα，且α∈，则的值为__________．三、解答题(本大题共3小题，共46分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)10．(本小题满分15分)(2012·湖南浏阳一中模拟，17)在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若·＝·＝k(k∈R)．(1)判断△ABC的形状；(2)若c＝，求k的值．11．(本小题满分15分)如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上．-5-\n(1)求渔船甲的速度；(2)求sinα的值．12．(本小题满分16分)在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知m＝(2sin(A＋C)，)，n＝，且m∥n.(1)求角B的大小；(2)若b＝1，求△ABC面积的最大值．-5-\n参考答案一、选择题1．C 解析：依题意，由正弦定理得a∶b∶c＝∶4∶，令a＝，则最大角为C，cosC＝＜0，所以△ABC是钝角三角形，选择C.2．D 解析：根据余弦定理得b＝＝7，根据正弦定理＝，解得sinA＝.3．C 解析：由三角形有两解的充要条件得asin60°＜＜a，解得＜a＜2.故选C.4．B 解析：b2＋c2－a2＝bccosA＝＝，sin(B＋C)＝sinA＝.5．C 解析：∵sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝，sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ＝，∴sinαcosβ＝，cosαsinβ＝，∴＝＝×12＝5，∴原式＝log52＝4.6．C 解析：根据条件可得α＋∈，－∈，所以sin＝，sin＝，所以cos＝cos＝coscos＋sinsin＝×＋×＝.二、填空题7．150° 解析：由正弦定理知＝＝，故sinC＝.又C为钝角，所以C＝150°.sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC＝×＋×＝.8. 解析：∵tan＝2，∴＝2，-5-\n∴tanx＝.∴＝＝＝＝.9．－ 解析：∵sinα－cosα＝，∴(sinα－cosα)2＝，即2sinαcosα＝.∴(sinα＋cosα)2＝1＋＝.∵α∈，∴sinα＋cosα＞0，∴sinα＋cosα＝.则＝＝＝＝－.三、解答题10．解：(1)∵·＝cbcosA，·＝cacosB，又·＝·，∴bccosA＝accosB.∴sinBcosA＝sinAcosB.即sinAcosB－sinBcosA＝0.∴sin(A－B)＝0.∵－π＜A－B＜π，∴A＝B.∴△ABC为等腰三角形．(2)由(1)知a＝b，∴·＝bccosA＝bc·＝，∵c＝，∴k＝1.11．解：(1)依题意，∠BAC＝120°，AB＝12，AC＝10×2＝20，∠BCA＝α.在△ABC中，由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝122＋202－2×12×20×cos120°＝784，解得BC＝28.＝14(海里/小时)，所以渔船甲的速度为14海里/时．(2)方法1：在△ABC中，因为AB＝12，∠BAC＝120°，BC＝28，∠BCA＝α，由正弦定理，得＝，即sinα＝＝＝.-5-\n方法2：在△ABC中，AB＝12，∠BAC＝120°，BC＝28，∠BCA＝α，由余弦定理，得cosα＝，即cosα＝＝.因为α为锐角，所以sinα＝＝＝.12．解：(1)∵m∥n，∴2sin(A＋C)＝cos2B，2sinBcosB＝cos2B，sin2B＝cos2B，易知cos2B≠0，∴tan2B＝.∵0＜B＜，则0＜2B＜π，∴2B＝.∴B＝.(2)∵b2＝a2＋c2－ac，∴a2＋c2＝1＋ac.∵a2＋c2≥2ac，∴1＋ac≥2ac.∴ac≤＝2＋，当且仅当a＝c取等号．∴S＝acsinB＝ac≤，即△ABC面积的最大值为.-5-
