专题检测（七）三角恒等变换与解三角形A组——“6＋3＋3”考点落实练一、选择题1.(2019·开封市定位考试)已知cos＝－，则cos2α的值为( )A.－ B.C.－D.解析：选B 因为cos＝－，所以sinα＝，所以cos2α＝1－2×＝，故选B.2.(2019·长春市质量监测一)函数f(x)＝sin＋sinx的最大值为( )A.B.2C.2D.4解析：选A 法一：由已知得f(x)＝sinx＋cosx＋sinx＝sinx＋cosx＝sin，所以函数的最大值为，故选A.法二：由已知得f(x)＝sinx＋cosx＋sinx＝sinx＋cosx，故函数的最大值为＝，故选A.3.(2019·长春市质量监测一)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b＝acosC＋c，则角A等于( )A.60°B.120°C.45°D.135°解析：选A 由b＝acosC＋c及余弦定理，可得b＝a·＋c，即2b2＝b2＋a2－c2＋bc，整理得b2＋c2－a2＝bc，于是cosA＝＝，又0＜A＜π，所以A＝60°，故选A.4.(2019·江西七校第一次联考)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝a，a＝2，c＝，则角C＝( )\nA.B.C.D.解析：选D 由b＝a，得sinB＝sinA·.因为sinB＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)，所以sinAcosC＋cosAsinC＝sinAcosC＋sinAsinC(sinC≠0)，cosA＝sinA，所以tanA＝.因为0＜A＜π，所以A＝.由正弦定理＝，得sinC＝.因为0＜C＜，所以C＝.故选D.5.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若<cosA，则△ABC为( )A.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.等边三角形解析：选A 根据正弦定理得＝<cosA，即sinC<sinBcosA.∵A＋B＋C＝π，∴sinC＝sin(A＋B)<sinBcosA，整理得sinAcosB<0.又三角形中sinA>0，∴cosB<0，<B<π，∴△ABC为钝角三角形.6.(2018·南昌一模)已知台风中心位于城市A东偏北α(α为锐角)的150千米处，以v千米/时沿正西方向快速移动，2.5小时后到达距城市A西偏北β(β为锐角)的200千米处，若cosα＝cosβ，则v＝( )A.60B.80C.100D.125解析：选C 如图，台风中心为B，2.5小时后到达点C，则在△ABC中，ABsinα＝ACsinβ，即sinα＝sinβ，又cosα＝cosβ，∴sin2α＋cos2α＝sin2β＋cos2β＝1＝sin2β＋cos2β，∴sinβ＝cosβ，∴sinβ＝，cosβ＝，∴sinα＝，cosα＝，∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sin\nαsinβ＝×－×＝0，∴α＋β＝，∴BC2＝AB2＋AC2，∴(2.5v)2＝1502＋2002，解得v＝100，故选C.二、填空题7.(2019·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b＝6，a＝2c，B＝，则△ABC的面积为________.解析：由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB.又∵b＝6，a＝2c，B＝，∴36＝4c2＋c2－2×2c2×，∴c＝2，a＝4，∴S△ABC＝acsinB＝×4×2×＝6.答案：68.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A＝，＝2sinAsinB，且b＝6，则c＝________.解析：由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc×＝b2＋c2－bc，又＝2sinAsinB，由正弦定理可得＝，即a2＋b2－4c2＝0，则b2＋c2－bc＋b2－4c2＝0.又b＝6，∴c2＋2c－24＝0，解得c＝4(负值舍去).答案：49.(2019·洛阳市统考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a，b，c成等比数列，且tanB＝，则＋的值是________.解析：∵a，b，c成等比数列，∴b2＝ac，由正弦定理得sin2B＝sinAsinC，∴＋＝＋＝＝＝＝，∵tanB＝，∴sinB＝，∴＋＝.答案：三、解答题\n10.(2018·全国卷Ⅰ)在平面四边形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5.(1)求cos∠ADB；(2)若DC＝2，求BC.解：(1)在△ABD中，由正弦定理得＝，即＝，所以sin∠ADB＝.由题设知，∠ADB<90°，所以cos∠ADB＝＝.(2)由题设及(1)知，cos∠BDC＝sin∠ADB＝.在△BCD中，由余弦定理得BC2＝BD2＋DC2－2BD·DC·cos∠BDC＝25＋8－2×5×2×＝25，所以BC＝5.11.(2019·重庆市学业质量调研)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为accosB，且sinA＝3sinC.(1)求角B的大小；(2)若c＝2，AC的中点为D，求BD的长.解：(1)∵S△ABC＝acsinB＝accosB，∴tanB＝.又0＜B＜π，∴B＝60°.(2)sinA＝3sinC，由正弦定理得，a＝3c，∴a＝6.由余弦定理得b2＝62＋22－2×2×6×cos60°＝28，∴b＝2.∴cosA＝＝＝－.∵D是AC的中点，∴AD＝.∴BD2＝AB2＋AD2－2AB·ADcosA＝22＋()2－2×2××＝13.∴BD＝.12.(2019·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.设(sinB－sinC)2＝sin\n2A－sinBsinC.(1)求A；(2)若a＋b＝2c，求sinC.解：(1)由已知得sin2B＋sin2C－sin2A＝sinBsinC，故由正弦定理得b2＋c2－a2＝bc.由余弦定理得cosA＝＝.因为0°<A<180°，所以A＝60°.(2)由(1)知B＝120°－C，由题设及正弦定理得sinA＋sin(120°－C)＝2sinC，即＋cosC＋sinC＝2sinC，可得cos(C＋60°)＝－.因为0°<C<120°，所以sin(C＋60°)＝，故sinC＝sin(C＋60°－60°)＝sin(C＋60°)cos60°－cos(C＋60°)sin60°＝.B组——大题专攻强化练1.(2019·江西七校第一次联考)在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且a2－(b－c)2＝bc.(1)求角A的大小；(2)若f(x)＝sin(2x＋A)，将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后又向上平移了2个单位长度，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)的解析式及单调递减区间.解：(1)∵a2－(b－c)2＝bc，∴a2－b2－c2＝－bc，∴cosA＝＝，又0＜A＜π，∴A＝.(2)f(x)＝sin，∴g(x)＝sin＋2，令2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z，故函数g(x)的单调递减区间为，k∈Z.2.已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足asinAcosC＋csinAcos\nA－bcosA＝0.(1)求角A的大小；(2)若△ABC的面积为4，且b，a，c成等差数列，求△ABC的内切圆的半径.解：(1)由asinAcosC＋csinAcosA－bcosA＝0，可知sinA(sinAcosC＋cosAsinC)＝sinBcosA，∴sinAsin(A＋C)＝sinBcosA，∵sin(A＋C)＝sinB，∴sinAsinB＝sinBcosA，∵sinB≠0，∴sinA＝cosA，∴tanA＝，又∵A∈(0，π)，∴A＝.(2)由题意可知S△ABC＝bcsinA＝bc×＝4，∴bc＝16，又a2＝b2＋c2－2bccosA，∴a2＝(b＋c)2－3bc，又∵b，a，c成等差数列，∴a2＝4a2－48，∴a＝4，b＋c＝2a＝8，∴△ABC的周长为a＋b＋c＝12，设△ABC内切圆的半径为r，则r·(a＋b＋c)＝S△ABC，即r×12＝4，∴r＝.3.(2019·武汉部分学校调研)已知锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，sin2B＝sin2A＋sin2C－sinAsinC.(1)求B的大小；(2)求sinA＋cosC的取值范围.解：(1)锐角三角形ABC中，sin2B＝sin2A＋sin2C－sinAsinC，故b2＝a2＋c2－ac，cosB＝＝，又B∈，所以B＝.(2)由(1)知，C＝－A，故sinA＋cosC＝sinA＋cos＝sinA－cosA＝sin.又A∈，C＝－A∈，所以A∈，A－∈，sin∈，故sinA＋cosC的取值范围为.4.(2019·洛阳尖子生第二次联考)如图，在平面四边形ABCD中，∠\nABC为锐角，AD⊥BD，AC平分∠BAD，BC＝2，BD＝3＋，△BCD的面积S＝.(1)求CD；(2)求∠ABC.解：(1)在△BCD中，S＝BD·BC·sin∠CBD＝，∵BC＝2，BD＝3＋，∴sin∠CBD＝.∵∠ABC为锐角，∴∠CBD＝30°.在△BCD中，由余弦定理得CD2＝BC2＋BD2－2BC·BD·cos∠CBD＝(2)2＋(3＋)2－2×2×(3＋)×＝9，∴CD＝3.(2)在△BCD中，由正弦定理得＝，即＝，解得sin∠BDC＝.∵BC＜BD，∴∠BDC为锐角，∴cos∠BDC＝.在△ACD中，由正弦定理得＝，∴＝即＝.①在△ABC中，由正弦定理得＝，即＝.②∵AC平分∠BAD，∴∠CAD＝∠BAC.由①②得＝，解得sin∠ABC＝.∴∠ABC为锐角，∴∠ABC＝45°.
