第二单元相互作用§6相互作用专题2——自招一．知识点1．重心2．摩擦角、自锁区3．力矩4．平衡的种类与条件（共点力平衡、定轴平衡、刚体平衡）5．虚功原理二．典例解析1．重心【例1】（2009•同济）如图（a）所示，一根细长的硬棒上有3个小球，每个小球之间相距a，小球质量为m、2m和3m，棒的质量分布均匀，总长为4a，质量为4m，求整个体系的重心位置。OarO1R变式1：均匀圆板的半径为R，在板内挖去一个半径为r的小圆，两个圆心相距为a，求剩余部分的重心与原圆板圆心的距离变式2：求三角板与三角框的重心匀质三角板的重心在哪？匀质三角框的重心在哪？12\n12\n2．摩擦力、摩擦角、自锁区【例2】一个质量m=20kg的钢件，架在两根完全相同的、平行的长直圆柱上，如图所示，钢件的重心与两柱等距，两柱的轴线在同一水平面内，圆柱的半径r=0.025m，钢件与圆柱间的滑动摩擦系数μ=0.20，两圆柱各绕自己的轴线做转向相反的转动，角速度ω=40rad/s，若沿平行于柱轴方向施加力推着钢件做速度为v0=0.05m/s的匀速运动，推力是多大？设钢件左右受光滑槽限制（图中未画出），不发生横向运动．g取10m/s2．【例3】（2013年华约）明理同学平时注意锻炼身体，力量较大，最多能提起m=50kg的物体。一重物放置在倾角θ=15°的粗糙斜坡上，重物与斜坡间的摩擦因数为μ= ≈0.58。试求该同学向上拉动的重物质量M的最大值? 【变式】如图所示，AOB是一把等臂夹子，轴O处的摩擦不计，若想在A、B处用力去夹一个圆形物体C，则能否夹住与那些因素有关？这些因素应该满足什么条件？（不考虑圆柱形物体受到的重力）12\n3．力矩【例4】（2009清华大学）如图，一根光滑均匀细棒质量为m，一端通过光滑铰链固定在地上，另一端搁在方形木块上，初始时细棒和地面夹角为，现使方形木块很缓慢地向正左方运动，则细棒在竖直面内转动的过程中，受到木块的作用力：A．一直增大B．一直减小C．先增大后减小D．先减小后增大【变式1】（复旦）一根轻杆下端与一个半径为R，重力为G的光滑球相连，杆上段可绕轴O自由转动，杆长L，杆与球始终在同一直线上，O点还挂有一根系有重物的细绳，如图所示，重物的重力为G′，则平衡后杆与竖直方向的夹角α【变式2】（2008•西安交大）重为80kg的人沿如图所示的梯子从底部向上攀登，梯子质量为25kg，顶角为30°。已知AC和CE都为5m长且用铰链在C点处相连。BD为一段轻绳，两端固定在梯子高度一半处。设梯子与地面的摩擦可以忽略，求在人向上攀登过程中轻绳中张力的变化规律（g取10m/s2）。4．平衡的种类与条件（共点力平衡、定轴平衡、刚体平衡）略12\n5．虚功原理【例5】一质量为M、均匀分布的圆环，其半径为r，几何轴与水平面垂直，若它能经受的最大张力为T，求此圆环可以绕几何轴旋转的最大角速度.【变式1】如图所示，一个半径为R的光滑球面置于水平桌面上．球面上有一条光滑匀质软绳，一端固定于球面顶点A，另一端恰好与桌面不接触，且单位长度软绳的质量为ρ．求软绳A端所受的水平拉力及软绳所受球面的支持力．【变式2】如图所示，将质量为M的匀质链条套在一表面光滑、顶角为α的圆锥上，设圆锥底面水平，链条静止时也处于水平，求链条中的张力的大小。12\n典例解析答案例1【答案】【解析1】以棒的左端为原点，沿棒向右建立坐标轴，由公式：，解得：，即重心在距棒的左端2.2a处。【解析2】由力矩平衡求解，设重心在距棒的左端xc处，如图（b）所示。在重心处加一竖起向上的力F使棒平衡，由。取左侧为转动轴，物体平衡，由，，解得：。变式1【答案】变式2【答案】匀质三角板的重心在中线的交点上；匀质三角框的重心在三边中点构成的新三角形的角平分线的交点上（内心）例2【答案】2N（关键是相对运动的方向）例3【答案】（利用摩擦角求F的极小值对应的方向，进而得M的范围）变式：（或）（列临界方程或不等式，或利用摩擦角）例4【答案】C（列力矩平衡方程）【解析】方形木块很缓慢地向正左方运动的过程中，细棒处于转动平衡。设木块高为a，细棒长为L，重为G，则有：，解得：变式1【答案】（力矩平衡）变式2【答案】T=（125+160x）tan150(N)（x为人离A点的距离，力矩平衡）【解析】设梯、人的质量分别为M、m，人离A点的距离为x，A、E两点的支持力为N1、N2，则N1＋N2=（M＋m）g整个梯子处于转动平衡，以A为转动轴有：12\nAC处于转动平衡，以C为转动轴有：解得：T=（125+160x）tan150(N)例5【解析】因为向心力F=mrω2，当ω一定时，r越大，向心力越大，所以要想求最大张力T所对应的角速度ω，r应取最大值，如图3—6所示。在圆环上取一小段△L，对应的圆心角为△θ，其质量可表示为，受圆环对它的张力为T，则同上例分析可得因为△θ很小，所以，即解得最大角速度变式1【答案】；。（本题可用微元法，也可用虚功原理——更简捷）【解析】（1）取软绳中一微段（所对圆心角为∆θ）研究，受力情况如图所示．沿圆弧切线方向有，即，其中，即该弧段在竖直方向上的投影，将上式累加后易得最上端A处所受的拉力（最下端处所受的拉力为0）另由，得：．（2）设想在A处将软绳缓慢拉过，由于球面对软绳各处的支持力都沿半径向外，故拉动过程中只有A端拉力T和软绳重力做功．同时软绳重力势能的变化情况等同于软绳最下端一段x段移至柱面的最高处，而其余部分重力势能当成不变，故，其中得：．变式2【答案】（本题可用微元法或虚功原理）12\n三．对应练习1．（2005•上海交大）如图（a）所示，一均匀细杆长1m，重量为W，在距其上端25cm处用一钉子将其钉在铅直墙面上，使细杆可绕此钉子无摩擦地旋转。今施一水平力于其上端，使细杆偏离铅垂线角（<90°）而平衡，则钉子作用在细杆上的力的量值为。2、（北大保送生考试）如图所示，P为一个水闸的剖面图，闸门质量为m，宽度为b，水闸两侧水面高分别为h1、h2，水与闸门间、闸门与轨道间的动摩擦因数分别为，求拉起闸门至少需要多大的力？3．（2004上海交大）半径为R的匀质半球体置于水平面上，其重心在球心O正下方C点处。OC=3R/8。半球质量为m。在半球的平面上放一质量为m/8的物体，它与半球平面间的动摩擦系数为0.2，如图（a）所示，则物体刚要开始滑动时离球心的最大距离为____________。。12\n12\n4、（上海交大自主）如图所示，一试管倒插在一水银槽内，封闭一部分气体，使试管在水面保持静止，此时试管露出水面部分长度b=1cm，玻璃管质量m=40g，横截面积S=2cm2，大气压强p0=105Pa，玻璃管壁厚度不计，管内空气质量不计，g取10m/s2。（1）求玻璃管内外水面的高度差。（2）用手拿住玻璃管并缓慢把它压入水中，当管的A端在水面下超过某一深度时，放手后玻璃管不浮起，求这个深度。（3）上一问中放手后玻璃管的位置是否变化？如何变动？5、（2010•北大）如图，质量为m的正方体放在水平面上，现在图示顶角A处加一个力F，要求物体能被推倒但不滑动，动摩擦因数μ至少多大？此种情况下F的大小又如何？12\n对应练习答案1．【解析】由三力共点知识可知N的方向如图（b）所示。以钉为轴，有，其中l=0.25m。得水平力F=Wtanθ。因而，2、【解析】左侧和右侧水对闸门向右和向左的压力分别为：由水平方向合力为零可知，轨道与闸门之间的弹力N满足：，即。提起闸门时在一开始所需的拉力最大，其值为：3．【答案】0.6R【解析】设临界情况下直径与水平面夹θ角，如图（b）所示。对整体有：解得：。而对物体有：解得：，所以，4、【解析】（1）由。（2）玻璃管不浮起时，即处于悬浮状态，故封闭气体长仍为0.2m。由：得：y=0.51m。（3）设想玻璃管下沉一点，水进入后会进一步下沉，直到沉入水底为止，故这个位置是不稳定平衡状态。12\n5、【解析】正方体翻转至AC连线与水平方向成θ角时，设此时A处拉力F与竖直方向成角，并设AC=L，则由转动平衡条件可得：正方体不动须满足：即：显然，θ增大时，也增大，α减小时，（）也减小。θα故极端情况取θ为最小值，α取最大值，即取，故得，此种情况下，Fm=mg/2。12
