专题检测（十七）圆锥曲线中的最值、范围、探索性问题大题专攻强化练1．(2019·全国卷Ⅰ)已知点A，B关于坐标原点O对称，|AB|＝4，⊙M过点A，B且与直线x＋2＝0相切．(1)若A在直线x＋y＝0上，求⊙M的半径．(2)是否存在定点P，使得当A运动时，|MA|－|MP|为定值？并说明理由．解：(1)因为⊙M过点A，B，所以圆心M在AB的垂直平分线上．由已知A在直线x＋y＝0上，且A，B关于坐标原点O对称，所以M在直线y＝x上，故可设M(a，a)．因为⊙M与直线x＋2＝0相切，所以⊙M的半径为r＝|a＋2|.连接MA，由已知得|AO|＝2.又⊥，故可得2a2＋4＝(a＋2)2，解得a＝0或a＝4.故⊙M的半径r＝2或r＝6.(2)存在定点P(1，0)，使得|MA|－|MP|为定值．理由如下：设M(x，y)，由已知得⊙M的半径为r＝|x＋2|，|AO|＝2.由于MO⊥AO，故可得x2＋y2＋4＝(x＋2)2，化简得M的轨迹方程为y2＝4x.因为曲线C：y2＝4x是以点P(1，0)为焦点，以直线x＝－1为准线的抛物线，所以|MP|＝x＋1.因为|MA|－|MP|＝r－|MP|＝x＋2－(x＋1)＝1，所以存在满足条件的定点P.2．(2019·武汉部分学校调研)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右顶点分别为A，B，且长轴长为8，T为椭圆C上异于A，B的点，直线TA，TB的斜率之积为－.(1)求椭圆C的方程；(2)设O为坐标原点，过点M(8，0)的动直线与椭圆C交于P，Q两点，求△OPQ面积的最大值．解：(1)设T(x，y)(x≠±4)，则直线TA的斜率为k1＝，直线TB的斜率为k2＝.于是由k1k2＝－，得·＝－，整理得＋＝1(x≠±4)，故椭圆C的方程为＋\n＝1.(2)由题意设直线PQ的方程为x＝my＋8，由得(3m2＋4)y2＋48my＋144＝0，Δ＝(48m)2－4×144×(3m2＋4)＝12×48(m2－4)＞0，即m2＞4，yP＋yQ＝－，yPyQ＝.|PQ|＝·＝，点O到直线PQ的距离d＝.故S△OPQ＝×|PQ|×d＝＝≤4，故△OPQ面积的最大值为4.3．(2019·湖南省湘东六校联考)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率e＝，点A(b，0)，B，F分别为椭圆的上顶点和左焦点，且|BF|·|BA|＝2.(1)求椭圆C的方程．(2)若过定点M(0，2)的直线l与椭圆C交于G，H两点(G在M，H之间)，设直线l的斜率k＞0，在x轴上是否存在点P(m，0)，使得以PG，PH为邻边的平行四边形为菱形？如果存在，求出m的取值范围；如果不存在，请说明理由．解：(1)设椭圆的焦距为2c，由离心率e＝得a＝2c.①由|BF|·|BA|＝2，得a·＝2，∴ab＝2.②a2－b2＝c2，③由①②③可得a2＝4，b2＝3，∴椭圆C的方程为＋＝1.(2)设直线l的方程为y＝kx＋2(k＞0)，由得(3＋4k2)x2＋16kx＋4＝0，可知Δ＞0，∴k＞.\n设G(x1，y1)，H(x2，y2)，则x1＋x2＝，＋＝(x1＋x2－2m，k(x1＋x2)＋4)，＝(x2－x1，y2－y1)＝(x2－x1，k(x2－x1))．∵菱形的对角线互相垂直，∴(＋)·＝0，∴(1＋k2)(x1＋x2)＋4k－2m＝0，得m＝－，即m＝－，∵k＞，∴－≤m＜0.∴存在满足条件的实数m，m的取值范围为.4．(2019·郑州市第二次质量预测)椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，A为椭圆上一动点(异于左、右顶点)，△AF1F2的周长为4＋2，且面积的最大值为.(1)求椭圆C的方程；(2)设B是椭圆上一动点，线段AB的中点为P，OA，OB(O为坐标原点)的斜率分别为k1，k2，且k1k2＝－，求|OP|的取值范围．解：(1)由椭圆的定义及△AF1F2的周长为4＋2，可得2(a＋c)＝4＋2，∴a＋c＝2＋.①当A在上(或下)顶点时，△AF1F2的面积取得最大值，即bc＝，②由①②及a2＝c2＋b2，得a＝2，b＝1，c＝，∴椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)当直线AB的斜率不存在时，k1＝－k2，∵k1k2＝－，∴k1＝±，不妨取k1＝，则直线OA的方程为y＝x，不妨取点A，则B，P(，0)，∴|OP|＝.当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝kx＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由可得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0，Δ＝64k2m2－4(4k2＋1)(4m2－4)＝16(4k2＋1－m2)＞0，③∴x1＋x2＝，x1x2＝.∵k1k2＝－，∴4y1y2＋x1x2＝0，\n∴4(kx1＋m)(kx2＋m)＋x1x2＝(4k2＋1)x1x2＋4km(x1＋x2)＋4m2＝4m2－4－＋4m2＝0，化简得2m2＝1＋4k2(满足③式)，∴m2≥.设P(x0，y0)，则x0＝＝＝，y0＝kx0＋m＝.∴|OP|2＝x＋y＝＋＝2－∈，∴|OP|∈.综上，|OP|的取值范围为.
