专题检测（十七）圆锥曲线中的最值、范围、证明问题大题专攻强化练1．(2019·湖南省五市十校联考)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，右焦点为F，以原点O为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线x－y＋＝0相切．(1)求椭圆C的方程；(2)如图，过定点P(2，0)的直线l交椭圆C于A，B两点，连接AF并延长交C于M，求证：∠PFM＝∠PFB.解：(1)依题意可设圆O的方程为x2＋y2＝b2，∵圆O与直线x－y＋＝0相切，∴b＝＝1，∴a2－c2＝1，又＝，∴a＝，∴椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)证明：依题意可知直线l的斜率存在，设l的方程为y＝k(x－2)．由得(1＋2k2)x2－8k2x＋8k2－2＝0，∵l与椭圆有两个交点，∴Δ>0，即2k2－1<0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AF，BF的斜率分别为k1，k2，则x1＋x2＝，x1x2＝.∵F(1，0)，∴k1＋k2＝＋＝＋＝2k－k＝2k－k×＝2k－k×＝2k－k×＝0，即∠PFM＝∠PFB.2．(2019·广东六校第一次联考)已知椭圆D：＋＝1(a>b>0)的离心率为e＝，点(－，1)在椭圆D上．(1)求椭圆D的方程；(2)过椭圆D内一点P(0，t)的直线l的斜率为k，且与椭圆D交于M，N两点，设直线\nOM，ON(O为坐标原点)的斜率分别为k1，k2，若对任意k，存在实数λ，使得k1＋k2＝λk，求实数λ的取值范围．解：(1)椭圆D的离心率e＝＝，∴a＝b，又点(－，1)在椭圆D上，∴＋＝1，得a＝2，b＝，∴椭圆D的方程为＋＝1.(2)由题意得，直线l的方程为y＝kx＋t.由消元可得(2k2＋1)x2＋4ktx＋2t2－4＝0.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝，k1＋k2＝＋＝＋＝2k＋＝2k＋t··＝.由k1＋k2＝λk，得＝λk，∵此等式对任意的k都成立，∴＝λ，即t2＝2－.∵点P(0，t)在椭圆内，∴0≤t2<2，即0≤2－<2，解得λ≥2.∴实数λ的取值范围是[2，＋∞)．3．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的准线l1与x轴交于点M，直线l2：4x－3y＋6＝0与抛物线C没有公共点，动点P在抛物线C上，点P到l1，l2的距离之和的最小值等于2.(1)求抛物线C的方程；(2)过点M的直线与抛物线C交于两个不同的点A，B，设＝λ，求|AB|的取值范围．解：(1)作PG，PH分别垂直于l1，l2，垂足为G，H，设抛物线C的焦点为F，则F.由抛物线定义知|PG|＝|PF|，所以点P到直线l1，l2的距离之和的最小值即为点F到直线l2\n的距离，故＝2，又p>0，所以p＝2.所以抛物线C的方程为y2＝4x.(2)由(1)可得点M的坐标为(－1，0)，由题意知直线AB的斜率存在且不为0，设直线AB的方程为y＝k(x＋1)．由消去x，整理得ky2－4y＋4k＝0，因为直线AB与抛物线交于两个不同的点，所以Δ＝16－16k2>0，所以0<k2<1.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y2＝4，①y1＋y2＝，②因为＝λ，M(－1，0)，所以(x1＋1，y1)＝λ(x2＋1，y2)，所以y1＝λy2，③由①②③可得k2＝.所以|AB|＝|y1－y2|＝＝＝＝，则|AB|2＝＝－16＝－16＝－16＝－16，令f(λ)＝λ＋，≤λ<1，则f(λ)在上单调递减，因此可得2<λ＋≤，所以0<－16≤，所以0<|AB|≤，即|AB|的取值范围为.4．(2019·重庆七校联考)椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，其左焦点到点P(2，1)的距离为.不经过原点O的直线l与椭圆C相交于A，B两点，且线段AB被直线OP平分．(1)求椭圆C的方程；\n(2)求△ABP的面积取最大值时，直线l的方程．解：(1)依题意知，e＝＝，左焦点(－c，0)到点P(2，1)的距离d0＝＝，得a2＝4，c2＝1，所以b2＝3，故椭圆C的方程为＋＝1.(2)易得直线OP的方程为y＝x，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点R(x0，y0)(y0≠0)，其中y0＝x0.因为A，B在椭圆C上，所以＋＝1，＋＝1，两式相减得－＋－＝0，即＋＝0，故kAB＝＝－·＝－.由题意可设直线l的方程为y＝－x＋m(m≠0)，代入＋＝1中，消去y并整理得3x2－3mx＋m2－3＝0，由Δ＝(3m)2－4×3(m2－3)＝3(12－m2)>0，得－2<m<2且m≠0.由根与系数的关系，得x1＋x2＝m，x1x2＝，所以|AB|＝|x1－x2|＝·＝.又点P(2，1)到直线l的距离d＝＝，所以△ABP的面积S△ABP＝·|AB|·d＝·，其中－2<m<2且m≠0.令f(m)＝(4－m)2(12－m2)(－2<m<2且m≠0)，则f′(m)＝－4(m－4)(m2－2m－6)＝－4(m－4)(m－1－)(m－1＋)，令f′(m)＝0，得m＝1－(4和1＋不满足－2<m<2且m≠0，舍去)，当m∈(－2，1－)时，f′(m)>0，当m∈(1－，2)且m≠0时，f′(m)<0，所以当m＝1－时，S△ABP取得最大值，此时直线l的方程为3x＋2y＋2－2＝0.
