第3讲 圆锥曲线中的定点与定值、最值与范围问题一、选择题1.(2022·衡水中学模拟)已知椭圆＋＝1内有两点A(1，3)，B(3，0)，P为椭圆上一点，则|PA|＋|PB|的最大值为( )A.3B.4C.5D.15解析 在椭圆中，由a＝5，b＝4，得c＝3，故焦点为(－3，0)和(3，0)，点B是右焦点，记左焦点为C(－3，0)，由椭圆的定义得|PB|＋|PC|＝10，所以|PA|＋|PB|＝10＋|PA|－|PC|，因为||PA|－|PC||≤|AC|＝5，所以当点P，A，C三点共线时，|PA|＋|PB|取得最大值15.答案 D2.在平面直角坐标系xOy中，经过点(0，)且斜率为k的直线l与椭圆＋y2＝1有两个不同的交点，则k的取值范围为( )A.B.C.D.∪解析 由已知可得直线l的方程为y＝kx＋，与椭圆的方程联立，整理得x2＋2kx＋1＝0，因为直线l与椭圆有两个不同的交点，所以Δ＝8k2－4＝4k2－2＞0，解得k＜－或k＞，即k的取值范围为∪答案 D3.(2022·榆林模拟)若双曲线－＝1(a＞0，b＞0)与直线y＝x无交点，则离心率e6\n的取值范围是( )A.(1，2)B.(1，2]C.(1，)D.(1，]解析 因为双曲线的渐近线为y＝±x，要使直线y＝x与双曲线无交点，则直线y＝x应在两渐近线之间，所以有≤，即b≤a，所以b2≤3a2，c2－a2≤3a2，即c2≤4a2，e2≤4，所以1＜e≤2.答案 B4.已知椭圆＋＝1(0＜b＜2)与y轴交于A，B两点，点F为该椭圆的一个焦点，则△ABF的面积的最大值为( )A.1B.2C.4D.8解析 不妨设点F的坐标为(，0)，而|AB|＝2b，∴S△ABF＝×2b×＝b＝≤＝2(当且仅当b2＝4－b2，即b2＝2时取等号)，故△ABF面积的最大值为2.答案 B5.在直线y＝－2上任取一点Q，过Q作抛物线x2＝4y的切线，切点分别为A，B，则直线AB恒过的点是( )A.(0，1)B.(0，2)C.(2，0)D.(1，0)解析 设Q(t，－2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，抛物线方程变为y＝x2，则y′＝x，则在点A处的切线方程为y－y1＝x1(x－x1)，化简得y＝x1x－y1；同理，在点B处的切线方程为y＝x2x－y2.又点Q(t，－2)的坐标满足这两个方程，代入得－2＝x1t－y1，－2＝x2t－y2，则说明A(x1，y1)，B(x2，y2)都满足方程－2＝xt－y，即直线AB的方程为y－2＝tx，因此直线AB恒过点(0，2).答案 B二、填空题6\n6.(2022·平顶山模拟)若双曲线x2－＝1(b＞0)的一条渐近线与圆x2＋(y－2)2＝1至多有一个公共点，则双曲线离心率的取值范围是________.解析 双曲线的渐近线方程为y＝±bx，则有≥1，解得b2≤3，则e2＝1＋b2≤4，得1＜e≤2.答案 (1，2]7.若椭圆＋＝1(a＞b＞0)与双曲线－＝1的离心率分别为e1，e2，则e1e2的取值范围为________.解析 可知e＝＝1－，e＝＝1＋，所以e＋e＝2＞2e1e2⇒0＜e1e2＜1.答案 (0，1)8.(2022·合肥模拟)已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，过椭圆上一点M作直线MA，MB分别交椭圆于A，B两点，且斜率分别为k1，k2，若点A，B关于原点对称，则k1·k2的值为________.解析 由e2＝1－＝，得＝，设M(x，y)，A(m，n)，B(－m，－n)，则k1·k2＝·＝，①把y2＝b2，n2＝b2代入①式并化简，可得k1·k2＝－.答案 －三、解答题9.(2022·浙江卷)如图，已知抛物线C1：y＝x2，圆C2：x2＋(y－1)2＝1，过点P(t，0)(t＞0)作不过原点O的直线PA，PB分别与抛物线C1和圆C2相切，A，B为切点.(1)求点A，B的坐标；(2)求△PAB的面积.注：直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行，则称该直线与抛物线相切，称该公共点为切点.解 (1)由题意知直线PA的斜率存在，故可设直线PA的方程为y＝k(x－t).6\n由消去y，整理得：x2－4kx＋4kt＝0，由于直线PA与抛物线相切，得k＝t，因此，点A的坐标为(2t，t2).设圆C2的圆心为D(0，1)，点B的坐标为(x0，y0)，由题意知：点B，O关于直线PD对称，故解得因此，点B的坐标为.(2)由(1)知，|AP|＝t·和直线PA的方程tx－y－t2＝0，点B到直线PA的距离是d＝，设△PAB的面积为S(t)，所以S(t)＝|AP|·d＝.10.已知椭圆M的对称轴为坐标轴，焦点是(0，)，(0，－)，又点A(1，)在椭圆M上.(1)求椭圆M的方程；(2)已知直线l的斜率为，若直线l与椭圆M交于B、C两点，求△ABC面积的最大值.解 (1)由已知椭圆的焦点为(0，－)，故设椭圆方程为＋＝1，将点A(1，)代入方程得＋＝1，整理得a4－5a2＋4＝0，解得a2＝4或a2＝1(舍)，故所求椭圆方程为＋＝1.(2)设直线BC的方程为y＝x＋m，设B(x1，y1)，C(x2，y2)，代入椭圆方程并化简得4x2＋2mx＋m2－4＝0，由Δ＝8m2－16(m2－4)＝8(8－m2)＞0，可得m2＜8，①6\n由x1＋x2＝－m，x1x2＝，故|BC|＝|x1－x2|＝又点A到BC的距离为d＝.故S△ABC＝|BC|·d＝≤·＝.当且仅当2m2＝16－2m2，即m＝±2时取等号(满足①式)，所以△ABC面积的最大值为.11.(2022·南阳模拟)已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若直线l：y＝kx＋m与椭圆C相交于A、B两点(A、B不是左、右顶点)，且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点D，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标.(1)解 由题意设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0).易知a＋c＝3，a－c＝1，则a＝2，c＝1，故b2＝3.所以椭圆C的标准方程为＋＝1.(2)证明 设A(x1，y1)，B(x2，y2).由得(3＋4k2)x2＋8mkx＋4(m2－3)＝0.依题意，Δ＝64m2k2－16(3＋4k2)(m2－3)＞0，即3＋4k2－m2＞0.又x1＋x2＝－，x1·x2＝，所以y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋mk(x1＋x2)＋m2＝.因为以AB为直径的圆过椭圆的右顶点D(2，0)，所以·＝0.6\n又＝(x1－2，y1)，＝(x2－2，y2)，故·＝(x1－2)(x2－2)＋y1y2＝0，即y1y2＋x1x2－2(x1＋x2)＋4＝0，即＋＋＋4＝0，化简得7m2＋16mk＋4k2＝0，解得m1＝－2k，m2＝－，且满足3＋4k2－m2＞0.当m＝－2k时，l：y＝k(x－2)，直线过定点(2，0)，与已知矛盾；当m＝－时，l：y＝k，直线过定点.综上可知，直线l过定点，该定点的坐标为.6
