第3讲 圆锥曲线中的定点、定值、最值与范围问题一、选择题1.(2022·广州模拟)已知椭圆＋＝1内有两点A(1，3)，B(3，0)，P为椭圆上一点，则|PA|＋|PB|的最大值为( )A.3B.4C.5D.15解析 在椭圆中，由a＝5，b＝4，得c＝3，故焦点为(－3，0)和(3，0)，点B是右焦点，记左焦点为C(－3，0)，由椭圆的定义得|PB|＋|PC|＝10，所以|PA|＋|PB|＝10＋|PA|－|PC|，因为||PA|－|PC||≤|AC|＝5，所以当点P，A，C三点共线时，|PA|＋|PB|取得最大值15.答案 D2.在平面直角坐标系xOy中，经过点(0，)且斜率为k的直线l与椭圆＋y2＝1有两个不同的交点，则k的取值范围为( )A.B.C.D.∪解析 由已知可得直线l的方程为y＝kx＋，与椭圆的方程联立，整理得x2＋2kx＋1＝0，因为直线l与椭圆有两个不同的交点，所以Δ＝8k2－4＝4k2－2＞0，解得k＜－或k＞，即k的取值范围为∪.答案 D3.(2022·榆林模拟)若双曲线－＝1(a＞0，b＞0)与直线y＝x无交点，则离心率e的取值范围是( )A.(1，2)B.(1，2]C.(1，)D.(1，]7\n解析 因为双曲线的渐近线为y＝±x，要使直线y＝x与双曲线无交点，则直线y＝x应在两渐近线之间，所以有≤，即b≤a，所以b2≤3a2，c2－a2≤3a2，即c2≤4a2，e2≤4，所以1＜e≤2.答案 B4.在直线y＝－2上任取一点Q，过Q作抛物线x2＝4y的切线，切点分别为A，B，则直线AB恒过的点是( )A.(0，1)B.(0，2)C.(2，0)D.(1，0)解析 设Q(t，－2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，抛物线方程变为y＝x2，则y′＝x，则在点A处的切线方程为y－y1＝x1(x－x1)，化简得y＝x1x－y1；同理，在点B处的切线方程为y＝x2x－y2.又点Q(t，－2)的坐标满足这两个方程，代入得－2＝x1t－y1，－2＝x2t－y2，则说明A(x1，y1)，B(x2，y2)都满足方程－2＝xt－y，即直线AB的方程为y－2＝tx，因此直线AB恒过点(0，2).答案 B5.(2022·湖北卷)已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且∠F1PF2＝，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( )A.B.C.3D.2解析 设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2(r1＞r2)，|F1F2|＝2c，椭圆长半轴长为a1，双曲线实半轴长为a2，椭圆、双曲线的离心率分别为e1，e2，由(2c)2＝r＋r－2r1r2cos，得4c2＝r＋r－r1r2.由得∴＋＝＝.令m＝＝＝＝，当＝时，mmax＝，∴＝，即＋的最大值为.答案 A二、填空题6.(2022·平顶山模拟)若双曲线x2－＝1(b＞0)的一条渐近线与圆x2＋(y－2)27\n＝1至多有一个公共点，则双曲线离心率的取值范围是________.解析 双曲线的渐近线方程为y＝±bx，则有≥1，解得b2≤3，则e2＝1＋b2≤4，得1＜e≤2.答案 (1，2]7.(2022·成都模拟)已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，过椭圆上一点M作直线MA，MB分别交椭圆于A，B两点，且斜率分别为k1，k2，若点A，B关于原点对称，则k1·k2的值为________.解析 由e2＝1－＝，得＝，设M(x，y)，A(m，n)，B(－m，－n)，则k1·k2＝·＝，①把y2＝b2，n2＝b2代入①式并化简，可得k1·k2＝－.答案 －8.抛物线y2＝8x的焦点为F，点P(x，y)为该抛物线上的动点，又点A(－2，0)，则的最大值为________.解析 由点P(x，y)在抛物线y2＝8x上，得y2＝8x(x≥0).由抛物线的定义可得|PF|＝x＋2，又|PA|＝＝，所以＝＝＝.当x＝0时，＝1；当x≠0时，＝，因为x＋≥2＝4，当且仅当x＝，即x＝2时取等号，7\n故x＋＋4≥8，0＜≤1，所以∈(1，].综上，∈[1，].所以的最大值为.答案 三、解答题9.(2022·南阳模拟)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的短轴长为2，离心率为.过点M(2，0)的直线l与椭圆C相交于A、B两点，O为坐标原点.(1)求椭圆C的方程；(2)求·的取值范围；(3)若B点关于x轴的对称点是N，证明：直线AN恒过一定点.(1)解 易知b＝1，e＝＝得a2＝2c2＝2a2－2b2，故a2＝2.故方程为＋y2＝1.(2)解 设l：y＝k(x－2)，与椭圆C的方程联立，消去y得(1＋2k2)x2－8k2x＋8k2－2＝0.由Δ＞0得0≤k2＜.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝.∴·＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋k2(x1－2)(x2－2)＝(1＋k2)x1x2－2k2(x1＋x2)＋4k2＝＝5－∵0≤k2＜，∴＜≤7，故所求范围是.(3)证明 由对称性可知N(x2，－y2)，定点在x轴上.直线AN：y－y1＝(x－x1)，令y＝0得：7\nx＝x1－＝＝＝＝1，∴直线AN过定点(1，0).10.已知椭圆M的对称轴为坐标轴，焦点是(0，)，(0，－)，又点A(1，)在椭圆M上.(1)求椭圆M的方程；(2)已知直线l的斜率为，若直线l与椭圆M交于B、C两点，求△ABC面积的最大值.解 (1)由已知椭圆的焦点为(0，－)，故设椭圆方程为＋＝1，将点A(1，)代入方程得＋＝1，整理得a4－5a2＋4＝0，解得a2＝4或a2＝1(舍)，故所求椭圆方程为＋＝1.(2)设直线BC的方程为y＝x＋m，设B(x1，y1)，C(x2，y2)，代入椭圆方程并化简得4x2＋2mx＋m2－4＝0，由Δ＝8m2－16(m2－4)＝8(8－m2)＞0，可得m2＜8，①由x1＋x2＝－m，x1x2＝，故|BC|＝|x1－x2|＝又点A到BC的距离为d＝.故S△ABC＝|BC|·d＝≤·＝.当且仅当2m2＝16－2m2，即m＝±2时取等号(满足①式)，所以△ABC面积的最大值为.7\n11.(2022·天津卷)已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左焦点为F(－c，0)，离心率为，点M在椭圆上且位于第一象限，直线FM被圆x2＋y2＝截得的线段的长为c，|FM|＝.(1)求直线FM的斜率；(2)求椭圆的方程；(3)设动点P在椭圆上，若直线FP的斜率大于，求直线OP(O为原点)的斜率的取值范围.解 (1)由已知，有＝，又由a2＝b2＋c2，可得a2＝3c2，b2＝2c2.设直线FM的斜率为k(k＞0)，F(－c，0)，则直线FM的方程为y＝k(x＋c).由已知，有＋＝，解得k＝.(2)由(1)得椭圆方程为＋＝1，直线FM的方程为y＝(x＋c)，两个方程联立，消去y，整理得3x2＋2cx－5c2＝0，解得x＝－c，或x＝c.因为点M在第一象限，可得M的坐标为.由|FM|＝＝.解得c＝1，所以椭圆的方程为＋＝1.(3)设点P的坐标为(x，y)，直线FP的斜率为t，得t＝，即y＝t(x＋1)(x≠－1)，与椭圆方程联立.消去y，整理得2x2＋3t2(x＋1)2＝6，又由已知，得t＝＞，解得－＜x＜－1，或－1＜x＜0.7\n设直线OP的斜率为m，得m＝，即y＝mx(x≠0)，与椭圆方程联立，整理得m2＝－.①当x∈时，有y＝t(x＋1)＜0，因此m＞0，于是m＝，得m∈.②当x∈(－1，0)时，有y＝t(x＋1)＞0.因此m＜0，于是m＝－，得m∈.综上，直线OP的斜率的取值范围是∪.7
