专题检测（八）等差数列、等比数列A组——“6＋3＋3”考点落实练一、选择题1.(2019·全国卷Ⅲ)已知各项均为正数的等比数列{an}的前4项和为15，且a5＝3a3＋4a1，则a3＝( )A.16 B.8C.4D.2解析：选C 由题意知解得∴a3＝a1q2＝4.故选C.2.(2019·湖南省五市一校联考)已知数列{an}满足2an＝an－1＋an＋1(n≥2)，a2＋a4＋a6＝12，a1＋a3＋a5＝9，则a1＋a6＝( )A.6B.7C.8D.9解析：选B 法一：由题意知，数列{an}是等差数列，设公差为d，则解得所以a1＋a6＝a1＋a1＋5d＝7，故选B.法二：由题意知，数列{an}是等差数列，将a2＋a4＋a6＝12与a1＋a3＋a5＝9相加可得3(a1＋a6)＝12＋9＝21，所以a1＋a6＝7，故选B.3.(2019·福州市质量检测)等比数列{an}的各项均为正实数，其前n项和为Sn.若a3＝4，a2a6＝64，则S5＝( )A.32B.31C.64D.63解析：选B 法一：设首项为a1，公比为q，因为an＞0，所以q＞0，由条件得解得所以S5＝31，故选B.法二：设首项为a1，公比为q，因为an＞0，所以q＞0，由a2a6＝a＝64，a3＝4，得q＝2，a1＝1，所以S5＝31，故选B.4.数列{an}中，a1＝2，a2＝3，an＋1＝an－an－1(n≥2，n∈N*)，那么a2019＝( )A.1B.－2\nC.3D.－3解析：选A 因为an＋1＝an－an－1(n≥2)，所以an＝an－1－an－2(n≥3)，所以an＋1＝an－an－1＝(an－1－an－2)－an－1＝－an－2(n≥3).所以an＋3＝－an(n∈N*)，所以an＋6＝－an＋3＝an，故{an}是以6为周期的周期数列.因为2019＝336×6＋3，所以a2019＝a3＝a2－a1＝3－2＝1.故选A.5.(2019届高三·西安八校联考)若等差数列{an}的前n项和为Sn，若S6>S7>S5，则满足SnSn＋1<0的正整数n的值为( )A.10B.11C.12D.13解析：选C 由S6>S7>S5，得S7＝S6＋a7<S6，S7＝S5＋a6＋a7>S5，所以a7<0，a6＋a7>0，所以S13＝＝13a7<0，S12＝＝6(a6＋a7)>0，所以S12S13<0，即满足SnSn＋1<0的正整数n的值为12，故选C.6.已知数列{an}满足an＋2－an＋1＝an＋1－an，n∈N*，且a5＝，若函数f(x)＝sin2x＋2cos2，记yn＝f(an)，则数列{yn}的前9项和为( )A.0B.－9C.9D.1解析：选C 由已知可得，数列{an}为等差数列，f(x)＝sin2x＋cosx＋1，∴f＝1.∵f(π－x)＝sin(2π－2x)＋cos(π－x)＋1＝－sin2x－cosx＋1，∴f(π－x)＋f(x)＝2，∵a1＋a9＝a2＋a8＝…＝2a5＝π，∴f(a1)＋…＋f(a9)＝2×4＋1＝9，即数列{yn}的前9项和为9.二、填空题7.(2019·全国卷Ⅰ)记Sn为等比数列{an}的前n项和，若a1＝1，S3＝，则S4＝________.解析：设等比数列的公比为q，则an＝a1qn－1＝qn－1.∵a1＝1，S3＝，∴a1＋a2＋a3＝1＋q＋q2＝，即4q2＋4q＋1＝0，∴q＝－，\n∴S4＝＝.答案：8.(2019·北京高考)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2＝－3，S5＝－10，则a5＝________，Sn的最小值为________.解析：∵a2＝a1＋d＝－3，S5＝5a1＋10d＝－10，∴a1＝－4，d＝1，∴a5＝a1＋4d＝0，∴an＝a1＋(n－1)d＝n－5.令an<0，则n<5，即数列{an}中前4项为负，a5＝0，第6项及以后为正.∴Sn的最小值为S4＝S5＝－10.答案：0 －109.设某数列的前n项和为Sn，若为常数，则称该数列为“和谐数列”.若一个首项为1，公差为d(d≠0)的等差数列{an}为“和谐数列”，则该等差数列的公差d＝________.解析：由＝k(k为常数)，且a1＝1，得n＋n(n－1)d＝k，即2＋(n－1)d＝4k＋2k(2n－1)d，整理得，(4k－1)dn＋(2k－1)(2－d)＝0，∵对任意正整数n，上式恒成立，∴得∴数列{an}的公差为2.答案：2三、解答题10.(2019·北京高考)设{an}是等差数列，a1＝－10，且a2＋10，a3＋8，a4＋6成等比数列.(1)求{an}的通项公式；(2)记{an}的前n项和为Sn，求Sn的最小值.解：(1)设{an}的公差为d.因为a1＝－10，所以a2＝－10＋d，a3＝－10＋2d，a4＝－10＋3d.因为a2＋10，a3＋8，a4＋6成等比数列，所以(a3＋8)2＝(a2＋10)(a4＋6).所以(－2＋2d)2＝d(－4＋3d).\n解得d＝2.所以an＝a1＋(n－1)d＝2n－12.(2)由(1)知，an＝2n－12.则当n≥7时，an>0；当n≤6时，an≤0.所以Sn的最小值为S5＝S6＝－30.11.(2019·广西梧州、桂林、贵港等期末)设Sn为等差数列{an}的前n项和，a2＋a3＝8，S9＝81.(1)求{an}的通项公式；(2)若S3，a14，Sm成等比数列，求S2m.解：(1)∵∴故an＝1＋(n－1)×2＝2n－1.(2)由(1)知，Sn＝＝n2.∵S3，a14，Sm成等比数列，∴S3·Sm＝a，即9m2＝272，解得m＝9，故S2m＝182＝324.12.(2019·广州市调研测试)设Sn为数列{an}的前n项和，已知a3＝7，an＝2an－1＋a2－2(n≥2).(1)证明：数列{an＋1}为等比数列；(2)求数列{an}的通项公式，并判断n，an，Sn是否成等差数列？解：(1)证明：∵a3＝7，a3＝3a2－2，∴a2＝3，∴an＝2an－1＋1，∴a1＝1，＝＝2(n≥2)，∴数列{an＋1}是首项为a1＋1＝2，公比为2的等比数列.(2)由(1)知，an＋1＝2n，∴an＝2n－1，∴Sn＝－n＝2n＋1－n－2，∴n＋Sn－2an＝n＋(2n＋1－n－2)－2(2n－1)＝0，\n∴n＋Sn＝2an，即n，an，Sn成等差数列.B组——大题专攻强化练1.(2019·湖南省湘东六校联考)已知数列{an}满足an＋1－3an＝3n(n∈N*)且a1＝1.(1)设bn＝，证明：数列{bn}为等差数列；(2)设cn＝，求数列{cn}的前n项和Sn.解：(1)证明：由已知得an＋1＝3an＋3n，得bn＋1＝＝＝＋1＝bn＋1，所以bn＋1－bn＝1，又a1＝1，所以b1＝1，所以数列{bn}是首项为1，公差为1的等差数列.(2)由(1)知，bn＝＝n，所以an＝n·3n－1，cn＝，所以Sn＝＝＝－.2.(2019·全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和.已知S9＝－a5.(1)若a3＝4，求{an}的通项公式；(2)若a1>0，求使得Sn≥an的n的取值范围.解：(1)设{an}的公差为d.由S9＝－a5得a1＋4d＝0.由a3＝4得a1＋2d＝4.于是a1＝8，d＝－2.因此{an}的通项公式为an＝10－2n.(2)由(1)得a1＝－4d，故an＝(n－5)d，Sn＝.由a1>0知d<0，故Sn≥an等价于n2－11n＋10≤0，解得1≤n≤10，所以n的取值范围是{n|1≤n≤10，n∈N}.3.(2019·全国卷Ⅱ)已知数列{an}和{bn}满足a1＝1，b1＝0，4an＋1＝3an－bn＋4，4bn＋1＝3bn－an－4.\n(1)证明：{an＋bn}是等比数列，{an－bn}是等差数列；(2)求{an}和{bn}的通项公式.解：(1)证明：由题设得4(an＋1＋bn＋1)＝2(an＋bn)，即an＋1＋bn＋1＝(an＋bn).又因为a1＋b1＝1，所以{an＋bn}是首项为1，公比为的等比数列.由题设得4(an＋1－bn＋1)＝4(an－bn)＋8，即an＋1－bn＋1＝an－bn＋2.又因为a1－b1＝1，所以{an－bn}是首项为1，公差为2的等差数列.(2)由(1)知，an＋bn＝，an－bn＝2n－1，所以an＝[(an＋bn)＋(an－bn)]＝＋n－，bn＝[(an＋bn)－(an－bn)]＝－n＋.4.已知数列{an}的首项a1＝3，a3＝7，且对任意的n∈N*，都有an－2an＋1＋an＋2＝0，数列{bn}满足bn＝a，n∈N*.(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(2)求使b1＋b2＋…＋bn＞2020成立的最小正整数n的值.解：(1)令n＝1得，a1－2a2＋a3＝0，解得a2＝5.又由an－2an＋1＋an＋2＝0知，an＋2－an＋1＝an＋1－an＝…＝a2－a1＝2，故数列{an}是首项a1＝3，公差d＝2的等差数列，于是an＝2n＋1，bn＝a＝2n＋1.(2)由(1)知，bn＝2n＋1.于是b1＋b2＋…＋bn＝(21＋22＋…＋2n)＋n＝＋n＝2n＋1＋n－2.令f(n)＝2n＋1＋n－2，易知f(n)是关于n的单调递增函数，又f(9)＝210＋9－2＝1031，f(10)＝211＋10－2＝2056，故使b1＋b2＋…＋bn＞2020成立的最小正整数n的值是10.
