课后限时集训(七十二) 合情推理与演绎推理建议用时：25分钟一、选择题1．2018年科学家在研究皮肤细胞时发现了一种特殊的凸多面体，称之为“扭曲棱柱”.对于空间中的凸多面体，数学家欧拉发现了它的顶点数、棱数与面数存在一定的数量关系．凸多面体顶点数棱数面数三棱柱695四棱柱8126五棱锥6106六棱锥7127根据上表所体现的数量关系可得有12个顶点，8个面的扭曲棱柱的棱数是( )A．14B．16C．18D．20C [由题意易知同一凸多面体顶点数、棱数与面数的规律为：棱数＝顶点数＋面数－2，所以12个顶点，8个面的扭曲棱柱的棱数＝12＋8－2＝18.故选C．]2.二维空间中，圆的一维测度(周长)l＝2πr，二维测度(面积)S＝πr2；三维空间中，球的二维测度(表面积)S＝4πr2，三维测度(体积)V＝πr3，应用合情推理，若四维空间中，“超球”的三维测度V＝8πr3，则其四维测度W＝( )A．2πr4B．3πr4C．4πr4D．6πr4A [二维空间中，圆的一维测度(周长)l＝2πr，二维测度(面积)S＝πr2，(πr2)′＝2πr，三维空间中，球的二维测度(表面积)S＝4πr2，三维测度(体积)V＝πr3，＝4πr2，四维空间中，“超球”的三维测度V＝8πr3，∵(2πr4)′＝8πr3，∴“超球”的四维测度W＝2πr4.故选A．]3．中国古代十进位制的算筹记数法在世界数学史上是一个伟大的创造．据史料推测，算筹最晚出现在春秋晚期战国初年．算筹记数的方法是：个位、百位、万位…的数按纵式的数码摆出；十位、千位、十万位…的数按横式的数码摆出，如7738可用算筹表示为1～9这9个数字的纵式与横式的表示数码如图所示，则3log264的运算结果可用算筹表示为( )\nA BC DD [根据题意，3log264＝36＝729，用算筹记数表示为，故选D．]4．已知an＝logn＋1(n＋2)(n∈N*)，观察下列运算：a1·a2＝log23·log34＝·＝2；a1·a2·a3·a4·a5·a6＝log23·log34·…·log78＝··…·＝3；…若a1·a2·a3·…·ak(k∈N*)为整数，则称k为“企盼数”，试确定当a1·a2·a3·…·ak＝2019时，“企盼数”k为( )A．22019＋2B．22019C．22019－2D．22019－4C [a1·a2·a3·…·ak＝＝2019，lg(k＋2)＝lg22019，故k＝22019－2.]5．甲、乙、丙、丁四名同学一起去向老师询问数学学业水平考试成绩等级．老师说：“你们四人中有2人A等，1人B等，1人C等，我现在给甲看乙、丙的成绩等级，给乙看丙的成绩等级，给丙看丁的成绩等级”．看后甲对大家说：“我知道我的成绩等级了”．根据以上信息，则( )A．甲、乙的成绩等级相同B．丁可以知道四人的成绩等级C．乙、丙的成绩等级相同D．乙可以知道四人的成绩等级D [由题意，四个人所知的只有自己看到的，以及甲最后所说的话，甲知道自己的等级，则甲已经知道四个人等级，其甲、乙的成绩等级不一定是相同的，所以A是不对的，乙、丙的成绩等级不一定是相同的，所以C是不正确的，丁没有看任何人的成绩等级，所以丁不可能知道四人的成绩等级，所以B是不对的，只有乙可能知道四人的成绩等级，所以D是正确的．]6．大于1的自然数的三次幂可以分解成若干个奇数的和，比如23＝3＋5,33＝7＋9＋11,43＝13＋15＋17＋19，…，按此规律，可得453的分解和式中一定不含有( )A．2069B．2039C．2009D．1979D [根据题中规律，443可以分解成44个奇数的和，443\n的分解和式中最后一个奇数是44×45－1＝1979，所以453＝1981＋1983＋…＋2069.故选D．]7．A，B两人拿两颗骰子做抛掷游戏，规则如下：若掷出的点数之和是3的倍数，则由原掷骰子的人继续掷；若掷出的点数之和不是3的倍数，就由对方接着掷．由A开始掷，设第n次由A掷的概率为Pn，则Pn与Pn－1(n≥2)的关系式是( )A．Pn＝Pn－1B．Pn＝－Pn－1＋C．Pn＝－Pn－1＋D．Pn＝－Pn－1＋C [第n次由A掷应该有两种情况：①第(n－1)次由A掷，第n次继续由A掷，此时概率为Pn－1＝Pn－1；②第(n－1)次由B掷，第n次由A掷，此时概率为(1－Pn－1)＝(1－Pn－1)．由于这两种情况是互斥的，因此Pn＝Pn－1＋(1－Pn－1)，其中n≥2.将Pn＝Pn－1＋(1－Pn－1)整理得，Pn＝－Pn－1＋.]二、填空题8．在△ABC中，AB＝c，AC＝b，BC＝a，若I为△ABC内切圆的圆心，则由S△IAB＋S△IBC＋S△ICA＝S△ABC得到，△ABC内切圆的半径r＝.将此结论类比到空间中，得到：在三棱锥DABC中，若S△ABC＝SD，S△BCD＝SA，S△CDA＝SB，S△DAB＝SC，则三棱锥DABC内切球的半径R＝. [因为V三棱锥OABC＋V三棱锥OBCD＋V三棱锥OCDA＋V三棱锥ODAB＝V三棱锥DABC(O为三棱锥DABC内切球的球心)，所以·SD·R＋·SA·R＋·SB·R＋·SC·R＝V三棱锥DABC，解得R＝.]9．将正奇数按如图所示的规律排列：13 5 79 11 13 15 1719 21 23 25 27 29 31……则2019在第行，从左向右第个数．32 49 \n[根据排列规律可知，第一行有1个奇数，第2行有3个奇数，第3行有5个奇数……可得第n行有2n－1个奇数，前n行总共有＝n2个奇数，当n＝31时，共有n2＝961个奇数，当n＝32时，共有n2＝1024个奇数，所以2019是第1010个奇数，在第32行第49个数．]10．甲、乙、丙三位教师分别在延安、咸阳、宝鸡的三所中学里教不同的学科A，B，C，已知：①甲不在延安工作，乙不在咸阳工作；②在延安工作的教师不教C学科；③在咸阳工作的教师教A学科；④乙不教B学科．可以判断乙工作的地方和教的学科分别是，.宝鸡 C [由③得在咸阳工作的教师教A学科；又由①得乙不在咸阳工作，所以乙不教A学科；由④得乙不教B学科，结合③乙不教A学科，可得乙必教C学科，所以由②得乙不在延安工作，由①得乙不在咸阳工作；所以乙在宝鸡工作，综上，乙工作的地方和教的学科分别是宝鸡和C学科.]1．如图，将平面直角坐标系的格点(横、纵坐标均为整数的点)按如下规则标上数字标签：原点处标0，点(1,0)处标1，点(1，－1)处标2，点(0，－1)处标3，点(－1，－1)处标4，点(－1,0)处标5，点(－1,1)处标6，点(0,1)处标7，……，以此类推，则标20192的格点的坐标为( )A．(1010,1009)B．(1009,1008)C．(2019,2018)D．(2018,2017)A [点(1,0)处标1，即12；点(2,1)处标9，即32；点(3,2)处标25，即52；……，由此推断点(n＋1，n)处标(2n＋1)2，当2n＋1＝2019时，n＝1009，故标20192的格点的坐标为(1010,1009)．故选A．]2．“现代五项”是由现代奥林匹克之父顾拜旦先生创立的运动项目，包含射击、击剑、游泳、马术和越野跑五项运动．已知甲、乙、丙共三人参加“现代五项”．规定每一项运动的前三名得分都分别为a，b，c(a>b>c且a，b，c∈N*)，选手最终得分为各项得分之和．已知甲最终得22分，乙和丙最终各得9分，且乙的马术比赛获得了第一名，\n则游泳比赛的第三名是( )A．甲B．乙C．丙D．乙和丙都有可能B [因为只有甲、乙、丙三人参赛，故射击击剑游泳马术越野跑总分甲5552522乙111519丙222129总分为5(a＋b＋c)＝22＋9＋9＝40，所以a＋b＋c＝8，只有两种可能5>2>1或4>3>1.显然4>3>1不符，因为即使五个第一名也不够22分．所以a＝5，b＝2，c＝1.所以由上面可知，甲马术第二名，其余四个选项都是第一名，总共22分．由于丙马术第三名，记1分，所以其余四项均第二名，记2分，共9分．乙马术第一名，记5分，其余四项均第三名，记1分，共9分．所以选B．]3．对于实数x，[x]表示不超过x的最大整数，观察下列等式：[]＋[]＋[]＝3，[]＋[]＋[]＋[]＋[]＝10，[]＋[]＋[]＋[]＋[]＋[]＋[]＝21，……按照此规律第n个等式的等号右边的结果为．2n2＋n [因为[]＋[]＋[]＝1×3，[]＋[]＋[]＋[]＋[]＝2×5，[]＋[]＋[]＋[]＋[]＋[]＋[]＝3×7，……，以此类推，第n个等式的等号右边的结果为n(2n＋1)，即2n2＋n.]4．对于三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，给出定义：设f′(x)是函数y＝f(x)的导数，f″(x)是f′(x)的导数，若方程f″(x)＝0有实数解x0，则称点(x0，f(x0))为函数y＝f(x)的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．若f(x)＝x3－x2＋3x－，则函数f(x)的对称中心为，f＋f＋f＋f＋…＋f＝. 2018 [f′(x)＝x2－x＋3，f″(x)＝2x－1，由f″(x)＝0，即2x－1＝0，解得x＝.\nf＝×－×＋3×－＝1.由题中给出的结论，可知函数f(x)＝x3－x2＋3x－的对称中心为.所以f＋f＝2，即f(x)＋f(1－x)＝2.故f＋f＝2，f＋f＝2，f＋f＝2，……，f＋f＝2.所以f＋f＋f＋f＋…＋f＝×2×2018＝2018.]1．为了提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设原信息为a1a2a3，传输信息为h1a1a2a3h2，其中h1＝a1a2，h2＝h1a3，运算规则为：00＝0,01＝1,10＝1,11＝0.例如：原信息为111，则传输信息为01111.传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息错误的是( )A．01100B．11010C．10110D．11000D [A选项原信息为110，则h1＝a1a2＝11＝0，h2＝h1a3＝00＝0，所以传输信息为01100，A选项正确；B选项原信息为101，则h1＝a1a2＝10＝1，h2＝h1a3＝11＝0，所以传输信息为11010，B选项正确；C选项原信息为011，则h1＝a1a2＝01＝1，h2＝h1a3＝11＝0，所以传输信息为10110，C选项正确；D选项原信息为100，则h1＝a1a2＝10＝1，h2＝h1a3＝10＝1，所以传输信息为11001，D选项错误．故选D．]2．某种平面分形图如图所示，一级分形图是由一点出发的三条线段，长度均为1，\n两两夹角为120°；二级分形图是从一级分形图的每条线段的末端出发再生成两条长度为原来的的线段，且这两条线段与原线段两两夹角为120°，…，依此规律得到n级分形图．(1)n级分形图中共有条线段；(2)n级分形图中所有线段长度之和为．(1)3×2n－3(n∈N*) (2)9－9×(n∈N*)[(1)由题图知，一级分形图中的线段条数为3＝3×2－3，二级分形图中的线段条数为9＝3×22－3，三级分形图中的线段条数为21＝3×23－3，按此规律，n级分形图中的线段条数为an＝3×2n－3(n∈N*)．(2)∵从分形图的每条线段的末端出发再生成两条长度为原来的的线段，∴n级分形图中第n级的所有线段的长度和为bn＝3×(n∈N*)，∴n级分形图中所有线段长度之和为Sn＝3×＋3×＋…＋3×＝3×＝9－9×(n∈N*)．]
