第四章 三角函数、解三角形第四讲 正、余弦定理及解三角形1.[2021湖北省四地七校联考]在一幢20m高的楼顶测得对面一座塔吊顶的仰角为60°,塔基的俯角为45°,如图4-4-1,那么这座塔吊的高是( )A.20(1+33)mB.20(1+3)mC.10(6+2)mD.20(6+2)m图4-4-12.[2021南京市学情调研]在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若2bcosC≤2a-c,则角B的取值范围是( ) A.(0,π3]B.(0,2π3]C.[π3,π)D.[2π3,π)3.[2021贵阳市四校第二次联考]已知△ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若bsinA=2csinB,cosB=14,b=3,则△ABC的面积为( )A.915B.91516C.31516D.9164.[2020南昌三模]在△ABC中,角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,若ca+b+ba+c=1,则下列说法不一定成立的是( )A.△ABC可能为正三角形B.角A,B,C成等差数列C.角B可能小于π3D.B+C为定值5.[2020大同市高三调研]在△ABC中,B=π4,BC边上的高等于13BC,则sin∠BAC= . 6.[2021洛阳市统考]在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若2c-ba=sinCtanA-cosC.(1)求A;(2)若b=32,c=2,点D为BC的中点,求a及AD.第9页共9页\n7.[2020长春市质检]△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=btanA,a>b.(1)求证:△ABC是直角三角形.(2)若c=10,求△ABC的周长的取值范围.8.[2020惠州市模拟]已知△ABC的内角A,B,C满足sinA-sinB+sinCsinC=sinBsinA+sinB-sinC.(1)求角A;(2)若△ABC的外接圆的半径为1,求△ABC的面积S的最大值.9.[2021江西重点中学第二次联考]在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若sinBsinC=3sinA,△ABC的面积为332,a+b=33,则c=( )第9页共9页\nA.21B.3C.21或3D.21或310.[2021晋南高中联考]平面四边形ABCD为凸四边形,且∠A=60°,AD⊥DC,AB=3,BD=2,则BC的取值范围为( )A.[72,2)B.(72,2)C.(2,7)D.[72,7)11.[2021福建五校第二次联考]锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c且a=1,bcosA-cosB=1,若A,B变化时,sinB-2λsin2A存在最大值,则正数λ的取值范围是( )A.(0,33)B.(0,12)C.(33,22)D.(12,1)12.[2020四川五校联考]在△ABC中,角A的平分线交BC于点D,BD=2CD=2,则△ABC面积的最大值为( )A.32B.22C.3D.413.[2020陕西省百校联考]在△ABC中,D为AC的中点,若AB=463,BC=2,BD=5,则cos∠ABC= ,sinC=. 14.[2020福建宁德模拟]海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象,被誉为“地球给人类保留宇宙秘密的最后遗产”,我国拥有世界上已知最深的海洋蓝洞.若要测量如图4-4-2所示的海洋蓝洞的口径(即A,B两点间的距离),现取两点C,D,测得CD=80m,∠ADB=135°,∠BDC=∠DCA=15°,∠ACB=120°,则图4-4-2中海洋蓝洞的口径为 m. 图4-4-215.[2021陕西百校联考]已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.(1)若A≠π2,且csin2A=4cosAsinC,求a的值;(2)若sinA,sinB,sinC成等差数列,求B的最大值.16.在△ABC中,角A与角B的内角平分线交于点i,且5+4cos(A+B)=4sin2C.(1)求角C的大小;(2)若△ABC的外接圆半径为4,求△ABi周长的最大值.第9页共9页\n17.在△ABC中,AB=4,BC=3,则当函数f(B)=cos2B-cos(B+π3)-3sin(B+π3)+5取得最小值时,AC=( )A.13B.23C.4D.218.在△ABC中,若sin(π2-B)=cos2A,则AC-BCAB的取值范围为( )A.(-1,12)B.(13,12)C.(12,23)D.(13,23)19.[2020洛阳市联考]已知a,b,c分别是△ABC的内角A,B,C的对边,且满足(a+b+c)(sinB+sinC-sinA)=bsinC.(1)求角A的大小;(2)设a=3,S为△ABC的面积,求S+3cosBcosC的最大值.答案第四讲 正、余弦定理及解三角形1.B 由题图知BE的长度即所求塔吊的高.易知四边形ABCD为正方形,∴CD=BC=AD=20m.在Rt△DCE中,∠EDC=60°,∴EC=CD·tan∠EDC=203(m),∴这座塔吊的高BE=BC+CE=(20+203)=20(1+3)(m).故选B.第9页共9页\n2.A 由2bcosC≤2a-c及余弦定理,得2b·a2+b2-c22ab≤2a-c,整理,得a2+c2-b2ac≥1,即2cosB≥1,所以cosB≥12,所以B∈(0,π3],故选A.3.B 因为bsinA=2csinB,所以由正弦定理得a=2c,因为cosB=14,b=3,所以由余弦定理b2=a2+c2-2accosB,得9=4c2+c2-2×2c×c×14,解得c=32,所以a=3.因为B∈(0,π),所以sinB=1-cos2B=154,所以△ABC的面积S△ABC=12acsinB=12×3×32×154=91516,故选B.4.B 由ca+b+ba+c=1,得c(a+c)+b(a+b)(a+b)(a+c)=1,即c2+b2+ac+ab=a2+bc+ab+ac,即a2=b2+c2-bc,由余弦定理得cosA=b2+c2-a22bc=12,由于0<A<π,所以A=π3,所以B+C=2π3为定值.当且仅当A=B=C=π3时,△ABC是正三角形,故△ABC可能为正三角形.若角A,B,C成等差数列,则2B=A+C=π3+C,又B+C=2π3,所以B=C=π3,即当且仅当B=C=A=π3时,角A,B,C成等差数列,故角A,B,C可能成等差数列,故B选项错误.因为B+C=2π3,所以角B可能小于π3.故选B.5.31010 解法一 记内角A,B,C的对边分别为a,b,c,作AD⊥BC交BC于点D,则AD=13a,△ABC的面积S=12×a×13a=12acsinB,可得a=322c.由余弦定理b2=a2+c2-2accosB,得b=102c.由正弦定理得322csin∠BAC=102csinB,所以sin∠BAC=31010.解法二 作AD⊥BC交BC于点D,则AD=13BC,设BC=3,则AD=1.由B=π4,可知BD=1,则DC=2,AC=5.由正弦定理得sin∠BACsinπ4=35,所以sin∠BAC=35×22=31010.6.(1)由题意及正弦定理,原式可化为2sinC-sinB=sinA(sinCtanA-cosC),即2sinC-sin(A+C)=sinA(sinCtanA-cosC),所以2sinC-sinAcosC-cosAsinC=sinCsin2AcosA-sinAcosC,化简可得2sinC-cosAsinC=sinCsin2AcosA,因为sinC≠0,(此条件不能省略)所以sin2AcosA+cosA=2,即sin2A+cos2A=2cosA,所以cosA=22,又0<A<π,所以A=π4.(2)由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccosA=18+4-12=10,所以a=10.解法一 因为D是BC的中点,所以BD=a2=102.第9页共9页\n又cosB=a2+c2-b22ac=-1010,所以AD2=AB2+BD2-2AB·BD·cosB=172,所以AD=172=342.解法二 因为D为BC中点,所以AD=12(AB+AC),所以AD2=14(AB+AC)2,即AD2=14(AB2+AC2+2AB·AC)=14(4+18+2×32×2×22)=344,所以AD=342.7.(1)在△ABC中,由正弦定理可知sinA=sinB·sinAcosA,因为sinA≠0,所以sinB=cosA.所以sinB=sin(A+π2),所以B=A+π2或B+A+π2=π,由a>b,知A>B,所以B+A+π2=π,即A+B=π2,所以△ABC是直角三角形.(2)△ABC的周长L=10+10sinA+10cosA=10+102sin(A+π4),由a>b可知,π4<A<π2,因此22<sin(A+π4)<1,即20<L<10+102.故△ABC的周长的取值范围为(20,10+102).8.(1)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,则由正弦定理和已知条件,得a-b+cc=ba+b-c,化简得b2+c2-a2=bc,由余弦定理得cosA=b2+c2-a22bc=12,∵0<A<π,∴A=π3.(2)记△ABC外接圆的半径为R,由正弦定理得asinA=2R,得a=2RsinA=2sinπ3=3,由余弦定理得a2=3=b2+c2-bc≥2bc-bc=bc,即bc≤3(当且仅当b=c时取等号),故S=12bcsinA≤12×3×32=334(当且仅当b=c时取等号).即△ABC的面积S的最大值为334.9.D 因为sinBsinC=3sinA,sinB≠0,所以sinC=3sinAsinB=3ab,又△ABC的面积为332,所以12absinC=32a2=332,解得a=3.又a+b=33,所以b=23,sinC=32,当0<C<π,所以cosC=12或cosC=-12.当cosC=12时,c=a2+b2-2abcosC=3,当cosC=-12时,c=a2+b2-2abcosC=21.故选D.10.D 在△ABD中,设AD=x,则由余弦定理得BD2=AB2+AD2-2AB·ADcos∠A,即x2-3x-1=0,得AD=x=3+72.已知AD⊥CD,∠A=60°,延长AB,DC交于点E,所以在Rt△ADE中,∠E=30°,AE=2AD=3+7,因为AB=3,所以BE=7,所以当BC⊥CD时,BC最短,第9页共9页\n此时,在Rt△BCE中,BC=12BE=72.在△BDE中,BD=2,BE=7,所以BC<BE=7,所以BC的取值范围是[72,7).故选D.11.A ∵a=1,∴bcosA-acosB=a,由正弦定理得sinB·cosA-sinA·cosB=sinA,即sin(B-A)=sinA,∴B-A=A或B-A=π-A,∴B=2A或B=π(舍).∵△ABC为锐角三角形,∴0<A<π2,0<B=2A<π2,π2<A+B=3A<π,解得π6<A<π4.解法一 sinB-2λsin2A=sin2A-λ(1-cos2A)=sin2A+λcos2A-λ=1+λ2sin(2A+φ)-λ(其中tanφ=λ).∵π3<2A<π2,∴要使sinB-2λsin2A取得最大值,只需存在φ,满足2A+φ=π2,∴0<φ<π6,∴tan0<λ=tanφ<tanπ6,即0<λ<33.故选A.解法二 sinB-2λsin2A=sin2A-2λsin2A,令f(A)=sin2A-2λsin2A(π6<A<π4),则f'(A)=2cos2A-2λsin2A=2λcos2A(1λ-tan2A).当tan2A<1λ时,f'(A)>0,f(A)单调递增,当tan2A>1λ时,f'(A)<0,f(A)单调递减,∴当tan2A=1λ时,f(A)取得最大值,∵1λ=tan2A∈(3,+∞),∴λ∈(0,33),故选A.12.C 如图D4-4-3,由BD=2CD=2,知BC=3,由角平分线定理,得ABAC=BDCD=2,设AC=x,∠BAC=2α,α∈(0,π2),则AB=2x,由余弦定理,得32=4x2+x2-2·2x·x·cos2α,即x2=95-4cos2α.图D4-4-3S△ABC=12·2x·x·sin2α=x2·sin2α=9sin2α5-4cos2α=9×2sinαcosα5-4×(cos2α-sin2α)=9×2tanα1+tan2α5-4×1-tan2α1+tan2α=18tanα1+9tan2α=181tanα+9tanα≤1821tanα×9tanα=3,当且仅当1tanα=9tanα,即tanα=13时取等号.故△ABC面积的最大值为3.13.66 210521 依题意得BD=12(BA+BC),所以BD2=14(BA+BC)2,即BA2+BC2+2BA·BC=4BD2,即(463)2+22+2×463×2cos∠ABC=4×(5)2,解得cos∠ABC=66,所以sin∠ABC=306.因为(BA+BC)2+(BA-BC)2=2(BA2+BC2),所以4×(5)2+|CA|2=2[(463)2+22],解得|CA|=2213.由正弦定理ABsinC=ACsin∠ABC,得sinC=AB·sin∠ABCAC=210521.14.805 由已知得,在△ACD中,∠ACD=15°,∠ADC=150°,所以∠DAC=15°,由正弦定理得AC=80sin150°sin15°=406-24=40(6+2)(m).第9页共9页\n在△BCD中,∠BDC=15°,∠BCD=135°,所以∠DBC=30°,由正弦定理CDsin∠CBD=BCsin∠BDC,得BC=CDsin∠BDCsin∠CBD=80×sin15°12=160sin15°=40(6-2)(m).在△ABC中,由余弦定理,得AB2=1600×(8+43)+1600×(8-43)+2×1600×(6+2)×(6-2)×12=1600×16+1600×4=1600×20=32000,解得AB=805m.故题图中海洋蓝洞的口径为805m.15.(1)因为csin2A=4cosAsinC,所以2csinAcosA=4cosAsinC,因为A≠π2,所以cosA≠0,所以csinA=2sinC,所以c=2sinCsinA=2ca,所以a=2.(2)因为sinA,sinB,sinC成等差数列,所以2sinB=sinA+sinC,由正弦定理可得2b=a+c,由余弦定理可得cosB=a2+c2-b22ac=a2+c2-(a+c2)22ac=3a24+3c24-ac22ac=38(ca+ac)-14.因为ca>0,ac>0,所以cosB=38(ca+ac)-14≥38×2ca·ac-14=12,当且仅当ca=ac,即a=c时,“=”成立.因为cosB<1,所以cosB∈[12,1),因为B∈(0,π),(角B的范围要写上)所以B∈(0,π3],所以B的最大值为π3.16.(1)∵A+B+C=π,∴A+B=π-C,∴cos(A+B)=-cosC.∵5+4cos(A+B)=4sin2C,∴5-4cosC=4(1-cos2C),即4cos2C-4cosC+1=0,解得cosC=12,又0<C<π,∴C=π3.(2)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,∵△ABC的外接圆半径为4,∴由正弦定理得csinC=8.∵C=π3,∴c=43,∠ABC+∠BAC=2π3,又角A与角B的内角平分线交于点i,∴∠ABi+∠BAi=π3,∴∠AiB=2π3.设∠ABi=θ,则0<θ<π3,∠BAi=π3-θ.在△ABi中,由正弦定理BIsin(π3-θ)=AIsinθ=ABsin∠AIB=8,第9页共9页\n得Bi=8sin(π3-θ),Ai=8sinθ,∴△ABi的周长为43+8sin(π3-θ)+8sinθ=8sin(θ+π3)+43.∵0<θ<π3,∴π3<θ+π3<2π3,∴当θ+π3=π2,即θ=π6时,△ABi的周长取得最大值,为8+43,∴△ABi周长的最大值为8+43.17.A 由题意知函数f(B)=2cos2B-1-2cos(B+π3-π3)+5=2cos2B-2cosB+4=2(cosB-12)2+72,所以当cosB=12时,函数f(B)取得最小值,此时,由余弦定理,得AC=AB2+BC2-2AB·BCcosB=42+32-2×4×3×12=13.18.B 因为sin(π2-B)=cos2A,所以cosB=cos2A,又A,B,C为△ABC的内角,所以B=2A,A≠π3.由正弦定理得AC-BCAB=sinB-sinAsinC=sinB-sinAsin(A+B)=sin2A-sinAsinAcos2A+cosAsin2A=2sinAcosA-sinAsinA(2cos2A-1)+2sinAcos2A=2cosA-14cos2A-1=12cosA+1,由0<B<π,0<C<π,得0<2A<π,0<π-3A<π,得0<A<π3,故12<cosA<1,所以AC-BCAB的取值范围为(13,12),故选B.19.(1)∵(a+b+c)(sinB+sinC-sinA)=bsinC,∴由正弦定理,得(a+b+c)(b+c-a)=bc,即b2+c2-a2=-bc.由余弦定理,得cosA=b2+c2-a22bc=-12.又A∈(0,π),∴A=23π.(2)根据a=3,A=23π及正弦定理可得bsinB=csinC=asinA=332=2,∴b=2sinB,c=2sinC,∴S=12bcsinA=12×2sinB×2sinC×32=3sinBsinC,∴S+3cosBcosC=3sinBsinC+3cosBcosC=3cos(B-C).故当B=C,B+C=π3,即B=C=π6时,S+3cosBcosC取得最大值3.第9页共9页
