第四章 三角函数、解三角形第六节 正弦定理和余弦定理A级·基础过关|固根基|1.在△ABC中，若＝，则B的大小为( )A．30°B．45°C．60°D．90°解析：选B 由正弦定理知，＝，∴tanB＝1.∵0°<B<180°，∴B＝45°.故选B．2．在△ABC中，2acosA＋bcosC＋ccosB＝0，则角A的大小为( )A．B．C．D．解析：选C 由余弦定理得，2acosA＋b·＋c·＝0，即2acosA＋a＝0，∴cosA＝－，又A∈(0，π)，∴A＝.故选C．3．(2019届宝鸡一模)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b＝，c＝4，cosB＝，则△ABC的面积等于( )A．3B．C．9D．解析：选B ∵b＝，c＝4，cosB＝，∴sinB＝＝，∴由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，可得7＝a2＋16－2×a×4×，整理可得a2－6a＋9＝0，解得a＝3，∴S△ABC＝acsinB＝×3×4×＝.故选B．4．(2019届湘东六校联考)若△ABC的三个内角满足6sinA＝4sinB＝3sinC，则△ABC是( )\nA．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．以上都有可能解析：选C 由题意，利用正弦定理可得6a＝4b＝3c，则可设a＝2k，b＝3k，c＝4k，k>0，则cosC＝<0，所以C是钝角，所以△ABC是钝角三角形，故选C．5．(2019届昆明市高三诊断测试)在平面四边形ABCD中，∠D＝90°，∠BAD＝120°，AD＝1，AC＝2，AB＝3，则BC＝( )A．B．C．D．2解析：选C 如图，在△ACD中，∠D＝90°，AD＝1，AC＝2，所以∠CAD＝60°.又∠BAD＝120°，所以∠BAC＝∠BAD－∠CAD＝60°.在△ABC中，由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos∠BAC＝7，所以BC＝.故选C．6．(2020届湖北部分重点中学联考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，＋＝，若b2＋c2－a2＝bc，则tanB的值为( )A．－B．C．－3D．3解析：选C 因为＋＝，所以由正弦定理得＋＝＝1，即＋＝1.又b2＋c2－a2＝bc，所以由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，可得cosA＝，则sinA＝＝，则tanA＝＝，解得tanB＝－3，故选C．7．(2020届四川五校联考)在△ABC中，角A的平分线交BC于点D，BD＝2CD＝2，则△ABC面积的最大值为( )A．3B．2C．3D．4解析：选C 如图，由BD＝2CD＝2，知BC＝3，由角平分线定理，得＝＝2，设AC＝x，∠BAC＝2α，α∈，则AB＝2x\n，由余弦定理，得32＝4x2＋x2－2·2x·x·cos2α，即x2＝.S△ABC＝·2x·x·sin2α＝x2·sin2α＝＝＝＝＝≤＝3，当且仅当＝9tanα，即tanα＝时取等号，故△ABC面积的最大值为3.8．(2020届合肥调研)在△ABC中，A＝2B，AB＝，BC＝4，CD平分∠ACB交AB于点D，则线段AD的长为________．解析：解法一：因为A＝2B，BC＝4，所以由正弦定理＝，得＝＝，所以cosB＝且AC>2，由余弦定理AC2＝BC2＋AB2－2BC·ABcosB，得AC2＝42＋－2×4××，即9AC3－193AC＋336＝0，得(AC－3)(3AC－7)(3AC＋16)＝0，解得AC＝或AC＝3.当AC＝时，△ABC为等腰三角形，且cosB＝，2B＝2∠ACB＝A，由三角形内角和定理A＋B＋∠ACB＝π，得B＝，与cosB＝矛盾，舍去；当AC＝3时，由三角形的角平分线定理，得＝，即＝，解得AD＝1.综上可得，AD＝1.解法二：因为A＝2B，BC＝4，所以由正弦定理＝，得＝＝，所以cosB＝，则cosA＝cos2B＝2cos2B－1＝－1.在△ABC中，sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB，由正弦定理可得ACcosA＋BCcosB＝AB，即AC·＋4·＝，解得AC＝－(舍去)或AC＝3，由三角形的角平分线定理，得＝，即＝，解得AD＝1.答案：19．(2019年天津卷)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b＋c＝2a，3csinB＝4asinC．\n(1)求cosB的值；(2)求sin的值．解：(1)在△ABC中，由正弦定理＝，得bsinC＝csinB，又由3csinB＝4asinC，得3bsinC＝4asinC，即3b＝4a.又因为b＋c＝2a，得到b＝a，c＝a.由余弦定理可得，cosB＝＝＝－.(2)由(1)可得，sinB＝＝，从而sin2B＝2sinBcosB＝－，cos2B＝cos2B－sin2B＝－，故sin＝sin2Bcos＋cos2Bsin＝－×－×＝－.10．(2020届石家庄摸底)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，bcosA＋a＝c，D是BC边上的点．(1)求角B；(2)若AC＝7，AD＝5，DC＝3，求AB的长．解：(1)由bcosA＋a＝c及正弦定理，得sinBcosA＋sinA＝sinC，即sinBcosA＋sinA＝sin(A＋B)，所以sinBcosA＋sinA＝sinAcosB＋cosAsinB，即sinA＝sinAcosB．∵sinA≠0，∴cosB＝，∴B＝.(2)在△ADC中，AC＝7，AD＝5，DC＝3，∴cos∠ADC＝＝＝－，∴∠ADC＝.在△ABD中，AD＝5，B＝，∠ADB＝，由＝，得AB＝＝＝＝.11．(2019年江苏卷)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.\n(1)若a＝3c，b＝，cosB＝，求c的值；(2)若＝，求sin的值．解：(1)因为a＝3c，b＝，cosB＝，由余弦定理cosB＝，得＝，即c2＝.所以c＝.(2)因为＝，由正弦定理＝，得＝，所以cosB＝2sinB，从而cos2B＝(2sinB)2，即cos2B＝4(1－cos2B)，故cos2B＝.因为sinB>0，所以cosB＝2sinB>0，从而cosB＝.因此sin＝cosB＝.B级·素养提升|练能力|12.(2020届惠州调研)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且内角满足＝.(1)求角A；(2)若△ABC的外接圆半径为1，求△ABC的面积S的最大值．解：(1)由题意及正弦定理可得＝，化简得b2＋c2－a2＝bc，由余弦定理得cosA＝，∴cosA＝＝.又0<A<π，∴A＝.(2)记△ABC外接圆的半径为R，由正弦定理得＝2R，即a＝2RsinA＝2sin＝，由余弦定理得3＝b2＋c2－bc≥2bc－bc＝bc，即bc≤3(当且仅当b＝c时取等号)，\n故S＝bcsinA≤×3×＝(当且仅当b＝c时取等号)，即△ABC的面积S的最大值为.13．(2019年全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知asin＝bsinA.(1)求B；(2)若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求△ABC面积的取值范围．解：(1)由题设及正弦定理，得sinAsin＝sinBsinA.因为sinA≠0，所以sin＝sinB．由A＋B＋C＝180°，可得sin＝cos，故cos＝2sincos.因为cos≠0，故sin＝，因此B＝60°.(2)由题设及(1)知，△ABC的面积S△ABC＝acsinB＝a.由正弦定理得a＝＝＝＋.由于△ABC为锐角三角形，故0°<A<90°，0°<C<90°.由(1)知，A＋C＝120°，所以30°<C<90°，故<a<2，从而<S△ABC<.所以△ABC面积的取值范围是.14．(2019届长春市第二次质量监测)如图，在△ABC中，AB＝3，∠ABC＝30°，cos∠ACB＝.(1)求AC的长；(2)作CD⊥BC，连接AD，若AD∶CD＝2∶3，求△ACD的面积．解：(1)因为cos∠ACB＝，所以sin∠ACB＝，由正弦定理得AC＝·sin∠ABC＝2.(2)因为CD⊥BC，所以∠ACD＝90°－∠ACB，所以cos∠ACD＝sin∠ACB＝.设AD＝2m\n，则CD＝3m.由余弦定理得AD2＝AC2＋CD2－2×AC×CDcos∠ACD，即4m2＝4＋9m2－2×2×3m×，解得m＝1或m＝.当m＝1时，CD＝3，sin∠ACD＝，S△ACD＝·AC·CD·sin∠ACD＝；当m＝时，CD＝，sin∠ACD＝，S△ACD＝·AC·CDsin∠ACD＝.综上，△ACD的面积为或.
