第四章 三角函数、解三角形第一讲 三角函数的基本概念、同角三角函数的基本关系与诱导公式练好题·考点自测1.已知下列命题:①第二象限角大于第一象限角;②不论是用角度制还是用弧度制度量一个角,它们与扇形的半径的大小无关;③若sinα=sinβ,则α与β的终边相同;④若cosθ<0,则θ是第二或第三象限的角.其中正确的个数是( )A.1B.2C.3D.42.sin2·cos3·tan4的值( )A.小于0B.大于0C.等于0D.不存在3.已知点P(cos300°,sin300°)是角α终边上一点,则sinα-cosα=( )A.32+12B.-32+12C.32-12D.-32-124.[2019全国卷Ⅰ,7,5分]tan255°=( )A.-2-3B.-2+3C.2-3D.2+35.[2020全国卷Ⅱ,2,5分][理]若α为第四象限角,则( )A.cos2α>0B.cos2α<0C.sin2α>0D.sin2α<06.已知sinα+cosα=12,α∈(0,π),则1-tanα1+tanα=( )A.-7B.7C.3D.-3图4-1-1第5页共5页\n7.[2019北京,8,5分]如图4-1-1,A,B是半径为2的圆周上的定点,P为圆周上的动点,∠APB是锐角,大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为( )A.4β+4cosβ B.4β+4sinβC.2β+2cosβ D.2β+2sinβ8.[2018全国卷Ⅰ,11,5分]已知角α的顶点为坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边上有两点A(1,a),B(2,b),且cos2α=23,则|a-b|=( )A.15B.55C.255D.1拓展变式1.在一块顶角为120°、腰长为2的等腰三角形厚钢板废料OAB中用电焊切割成扇形,现有如图4-1-3所示两种方案,既要充分利用废料,又要切割时间更短,则方案 更优. 2.(1)[2021洛阳市联考]已知角α的顶点为坐标原点,始边与x轴非负半轴重合,终边与直线y=3x重合,且sinα<0,P(m,n)是角α终边上一点,且|OP|=10(O为坐标原点),则m-n等于( )A.2B.-2C.4D.-4(2)[2017北京,12,5分][理]在平面直角坐标系xOy中,角α与角β均以Ox为始边,它们的终边关于y轴对称.若sinα=13,则cos(α-β)= . 3.(1)[2020全国卷Ⅰ,9,5分][理]已知α∈(0,π),且3cos2α-8cosα=5,则sinα=( )A.53B.23C.13D.59(2)[2016全国卷Ⅲ,5,5分][理]若tanα=34,则cos2α+2sin2α=( )A.6425B.4825C.1D.1625(3)[2018全国卷Ⅱ,15,5分][理]已知sinα+cosβ=1,cosα+sinβ=0,则sin(α+β)= . 4.(1)[2017全国卷Ⅲ,6,5分]函数f(x)=15sin(x+π3)+cos(x-π6)的最大值为( )A.65B.1C.35D.15(2)设f(α)=2sin(π+α)cos(π-α)-cos(π+α)1+sin2α+cos(3π2+α)-sin2(π2+α)(1+2sinα≠0),则f(-23π6)= . 第5页共5页\n5.已知tanα=2,则cos(52π+2α)=( )A.35B.45C.-35D.-45答案第一讲 三角函数的基本概念、同角三角函数的基本关系与诱导公式1.A 举反例:第一象限角370°不小于第二象限角100°,故①错;易知②正确;由于sinπ6=sin5π6,但π6与5π6的终边不相同,故③错;当θ=π时,cosθ=-1,此时θ既不是第二象限角,也不是第三象限角,故④错.综上可知只有②正确,故选A.2.A 因为π2<2<3<π<4<3π2,所以2rad和3rad的角是第二象限角,4rad的角是第三象限角,所以sin2>0,cos3<0,tan4>0,所以sin2·cos3·tan4<0.3.D 由点P(cos300°,sin300°)是角α终边上一点,可得sinα-cosα=sin300°-cos300°=-32-12.4.D 由正切函数的周期性可知,tan255°=tan(180°+75°)=tan75°=tan(30°+45°)=33+11-33=2+3,故选D.5.D ∵α为第四象限角,∴sinα<0,cosα>0,∴sin2α=2sinαcosα<0.故选D.6.A 解法一 sinα+cosα=12,两边同时平方得1+2sinαcosα=14,所以sinαcosα=-38<0,又α∈(0,π),所以sinα>0,则cosα<0,所以sinα-cosα>0.因为(sinα-cosα)2=1-2sinαcosα=74,所以sinα-cosα=72.所以1-tanα1+tanα=1-sinαcosα1+sinαcosα=cosα-sinαcosα+sinα=-7212=-7,故选A.解法二 因为sinα+cosα=12,所以2sin(α+π4)=12,sin(α+π4)=24<22,又α∈(0,π),故α+π4∈(3π4,π),则cos(α+π4)=-1-sin2(α+π4)=-144.所以tan(α+π4)=1+tanα1-tanα=-17,所以1-tanα1+tanα=-7.第5页共5页\n7.B 如图D4-1-1,设点O为圆心,连接PO,OA,OB,AB,在劣弧AB上取一点C,则阴影区域面积为△ABP和弓形ACB的面积和.因为A,B是圆周上的定点,所以弓形ACB的面积为定值,故当△ABP的面积最大时,阴影区域面积最大.又AB的长为定值,故当点P为优弧APB的中点时,点P到弦AB的距离最大,此时△ABP面积最大,阴影区域面积也最大.下面计算当点P为优弧APB的中点时阴影区域的面积.因为∠APB为锐角,且∠APB=β,所以∠AOB=2β,∠AOP=∠BOP=180°-β,则阴影区域的面积S=S△AOP+S△BOP+S扇形OAB=2×12×2×2sin(180°-β)+12×22×2β=4β+4sinβ,故选B.图D4-1-18.B 由题意知a1=b2,即b=2a.因为cos2α=2cos2α-1=23,所以cos2α=56,即(1a2+1)2=56,所以a2=15,则|a-b|=|-a|=|a|=55.1.一 由已知可知A=B=π6,AM=BN=1,AD=2,则方案一中扇形的弧长为2×π6=π3,方案二中扇形的弧长为1×2π3=2π3;方案一中扇形的面积为12×22×π6=π3,方案二中扇形的面积为12×12×2π3=π3.由此可见:两种方案中利用废料面积相等,方案一中切割时间更短.因此方案一更优.2.(1)A 因为P(m,n)在直线y=3x上,所以n=3m ①,又sinα<0,所以m<0,n<0.由|OP|=10,得m2+n2=10 ②.联立①②,并结合m<0,n<0,可得m=-1,n=-3,所以m-n=2.(2)-79 解法一 因为角α与角β的终边关于y轴对称,所以α+β=2kπ+π,k∈Z,所以cos(α-β)=cos(2kπ+π-2α)=-cos2α=-(1-2sin2α)=-[1-2×(13)2]=-79.解法二 因为sinα=13>0,所以角α为第一象限角或第二象限角.当角α为第一象限角时,可取其终边上一点(22,1),则cosα=223,又点(22,1)关于y轴对称的点(-22,1)在角β的终边上,所以sinβ=13,cosβ=-223,此时cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ=223×(-223)+13×13=-79;当角α为第二象限角时,可取其终边上一点(-22,1),则cosα=-223,因为点(-22,1)关于y轴对称的点(22,1)在角β的终边上,所以sinβ=13,cosβ=223,此时cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ=(-223)×223+13×13=-79.综上可得,cos(α-β)=-79.第5页共5页\n3.(1)A ∵3cos2α-8cosα=5,∴3(2cos2α-1)-8cosα=5,∴3cos2α-4cosα-4=0,解得cosα=2(舍去)或cosα=-23.∵α∈(0,π),∴sinα=1-cos2α=53.故选A.(2)A 解法一 由tanα=sinαcosα=34,cos2α+sin2α=1,得sinα=35,cosα=45或sinα=-35,cosα=-45,则sin2α=2sinαcosα=2425,则cos2α+2sin2α=1625+4825=6425.故选A.解法二 cos2α+2sin2α=cos2α+4sinαcosαcos2α+sin2α=1+4tanα1+tan2α=1+31+916=6425.故选A.(3)-12 解法一 ∵sinα+cosβ=1,cosα+sinβ=0,∴sin2α+cos2β+2sinαcosβ=1 ①,cos2α+sin2β+2cosαsinβ=0 ②,①②两式相加可得sin2α+cos2α+sin2β+cos2β+2(sinαcosβ+cosαsinβ)=1,∴sin(α+β)=-12.解法二 由已知可得sinα=1-cosβ,cosα=-sinβ,由同角三角函数关系式可得sin2α+cos2α=(1-cosβ)2+(-sinβ)2=1,整理得cosβ=12,所以sinα=12.又cosα=-sinβ,所以cosαsinβ=-cos2α=sin2α-1=-34,故sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=-12.4.(1)A 因为cos(x-π6)=cos[(x+π3)-π2]=sin(x+π3),所以f(x)=65sin(x+π3),于是f(x)的最大值为65,故选A.(2)3 因为f(α)=(-2sinα)(-cosα)+cosα1+sin2α+sinα-cos2α=2sinαcosα+cosα2sin2α+sinα=cosα(1+2sinα)sinα(1+2sinα)=1tanα,所以f(-23π6)=1tan(-23π6)=1tan(-4π+π6)=1tanπ6=3.5.D 由诱导公式可得,cos(5π2+2α)=cos[2π+(π2+2α)]=cos(π2+2α)=-sin2α=-2sinαcosαsin2α+cos2α=-2sinαcosαcos2αsin2α+cos2αcos2α=-2tanαtan2α+1=-2×222+1=-45.故选D.第5页共5页
