第2讲同角三角函数的基本关系与诱导公式1．若α∈，sinα＝－，则cos(－α)＝( )A．－ B.C.D．－解析：选B.因为α∈，sinα＝－，所以cosα＝，即cos(－α)＝.2．(2022·哈尔滨模拟)已知sin(π＋θ)＝－cos(2π－θ)，|θ|<，则θ等于( )A．－B．－C.D.解析：选D.因为sin(π＋θ)＝－cos(2π－θ)，所以－sinθ＝－cosθ，所以tanθ＝.因为|θ|<，所以θ＝.3．已知sin＝，则cos＝( )A.B．－C.D．－解析：选D.cos＝sin＝sin＝－sin＝－.4．(2022·石家庄一模)已知cosα＝k，k∈R，α∈，则sin(π＋α)＝( )A．－B.C．±D．－k解析：选A.由cosα＝k，α∈得sinα＝，所以sin(π＋α)＝－sinα＝－，故选A.6\n5．(2022·郑州一模)已知θ为第二象限角，sinθ，cosθ是关于x的方程2x2＋(－1)x＋m＝0(m∈R)的两根，则sinθ－cosθ等于( )A.B.C.D．－解析：选B.因为sinθ，cosθ是方程2x2＋(－1)x＋m＝0(m∈R)的两根，所以sinθ＋cosθ＝，sinθcosθ＝.可得(sinθ＋cosθ)2＝1＋2sinθcosθ，即＝1＋m，所以m＝－.因为θ为第二象限角，所以sinθ＞0，cosθ＜0，即sinθ－cosθ＞0.因为(sinθ－cosθ)2＝(sinθ＋cosθ)2－4sinθ·cosθ＝－2m＝1－＋＝，所以sinθ－cosθ＝＝.6．(2022·太原模拟)已知sinα＋cosα＝，α∈，则tanα＝( )A．－1B．－C.D．1解析：选D.由sinα＋cosα＝得(sinα＋cosα)2＝1＋2sinαcosα＝2，即2sinαcosα＝1，又因为α∈，所以cosα≠0，所以＝＝1，解得tanα＝1，故选D.7．化简＋＝________.解析：原式＝＋＝－sinα＋sinα＝0.答案：08．若＝2，则sin(θ－5π)sin＝________．解析：由＝2，得sinθ＋cosθ＝2(sinθ－cosθ)，两边平方得1＋2sinθcosθ＝4(1－2sinθcosθ)，6\n故sinθcosθ＝，所以sin(θ－5π)sin＝sinθcosθ＝.答案：9．sinπ·cosπ·tan的值是________．解析：原式＝sin·cos·tan＝··＝××(－)＝－.答案：－10．设函数f(x)＝sinx＋cosx，f′(x)是f(x)的导数，若f(x)＝2f′(x)，则＝________．解析：因为f(x)＝sinx＋cosx，所以f′(x)＝cosx－sinx，所以sinx＋cosx＝2(cosx－sinx)，即3sinx＝cosx，得tanx＝，于是＝＝tan2x－2tanx＝－＝－.答案：－11．已知sinα＝，求tan(α＋π)＋的值．解：因为sinα＝＞0，所以α为第一或第二象限角．tan(α＋π)＋＝tanα＋＝＋＝.(1)当α是第一象限角时，cosα＝＝，6\n原式＝＝.(2)当α是第二象限角时，cosα＝－＝－，原式＝＝－.12.在△ABC中，若sin(2π－A)＝－sin(π－B)，cosA＝－cos(π－B)，求△ABC的三个内角．解：由已知得sinA＝sinB，cosA＝cosB，两式平方相加得2cos2A＝1.即cosA＝或cosA＝－.(1)当cosA＝时，cosB＝，又角A、B是三角形的内角，所以A＝，B＝，所以C＝π－(A＋B)＝.(2)当cosA＝－时，cosB＝－.又角A、B是三角形的内角，所以A＝，B＝，不合题意．综上知，A＝，B＝，C＝.1．(2022·武汉联考)若A，B是锐角△ABC的两个内角，则点P(cosB－sinA，sinB－cosA)在( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：选B.因为△ABC是锐角三角形，则A＋B>，所以A>－B>0，B>－A>0，所以sinA>sin＝cosB，sinB>sin＝cosA，所以cosB－sinA<0，sinB－cosA>0，所以点P在第二象限．2．(2022·南昌高三摸底)设θ为第二象限角，若tan＝，则cosθ＝________．6\n解析：因为tan＝，所以＝，即＝，所以tanθ＝－.因为θ为第二象限角，所以sinθ＞0，cosθ＜0，所以＝－，解得cosθ＝－.答案：3．已知sinα＝1－sin，求sin2α＋sin＋1的取值范围．解：因为sinα＝1－sin＝1－cosβ，所以cosβ＝1－sinα.因为－1≤cosβ≤1，所以－1≤1－sinα≤1，0≤sinα≤2，又－1≤sinα≤1，所以sinα∈[0，1]．所以sin2α＋sin＋1＝sin2α＋cosβ＋1＝sin2α－sinα＋2＝＋.(*)又sinα∈[0，1]，所以当sinα＝时，(*)式取得最小值；当sinα＝1或sinα＝0时，(*)式取得最大值2，故所求范围为.4．已知f(x)＝(n∈Z)．(1)化简f(x)的表达式；(2)求f＋f的值．解：(1)当n为偶数，即n＝2k(k∈Z)时，f(x)＝＝＝＝sin2x(n＝2k，k∈Z)；当n为奇数，即n＝2k＋1(k∈Z)时，f(x)＝6\n＝＝＝＝sin2x(n＝2k＋1，k∈Z)．综上得f(x)＝sin2x.(2)由(1)得f＋f＝sin2＋sin2＝sin2＋sin2＝sin2＋cos2＝1.6
